不同余项型泰勒公式的证明与应用讲解

1、不同型余项泰勒公式的证明与应用TheproofsandapplicationsofTaylorformulawithdifferenttypesofremainders专业:作者:指导老师:湖南理工学院数学学院二o四年五月岳阳湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文 摘要本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词：余项；泰勒公式；证明；应用AbstractInthispaper,weresearchdifferenttypesofTaylorformulas，andgivetheproofofvariousTaylorr

2、emainderformula,focusontheapplicationsofthedifferenttypesofTaylorremainderformula.Keywords：Remainderterm；Taylorformula；Proof；Application目录摘要I关键词ABSTRACII0引言1泰勒公式简介1带四种余项泰勒公式的证明2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明.3 HYPERLINK l bookmark68 o Current D

3、ocument 带积分型余项泰勒公式的证明4带柯西型余项泰勒公式的证明5泰勒公式的应用53.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用.53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用.93.3带积分型余项泰勒公式的应用12带柯西型余项泰勒公式的应用.13参考文献15湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 页共15页第 页共15页0引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型

4、余项，带柯西型余项的泰勒公式1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的n+1次导数)的导数求得.但对于正整数n,如果函数f(x)在闭区间a,b上有连续n阶可导，还满足(a,b)n+1阶可导则可任取xea,b是一定点,则对任意xea,b下式成立f(x)=f(a)+2(x-a)+(x-a)2+f(n)(a)(x-a)n+R(x)1!2!n!nR(x)表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开:n1)-x2xneaxex=1+x+.+xn+1+R(x).2!n!(n+1)!n丿2)=1+x+x2+.+xn+R(x).n3)

5、vx2x4cosx=1+一_4!2!x6-可+-+(14)x3sinx=x+3!x5-.+(1)n5!x2n+1(2n+1)!+Rn(x).5)(1+x)“1+ax+a(a-1)x2+.+a(a-1).(a-n+1)xn+R(x)n!2!n!n2带四种余项泰勒公式的证明面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)7(x)+o(x-x0)n)，即TOC o 1-5 h zf(x)f(x)+f(x)(x-x)+fx)(x-x)2+.+f()(x_x(x-x)n+o(x-x)n)(1)n!02!0n!00.证明设R(x

6、)f(x)+T(x),Q(x)(x一x)nnnn0现在只需证lim0.xtx0Qlx丿由关系式fk(x)T(k)(x),n1,2,.TOC o 1-5 h z0n0可知R(x)R(x).R(n)(x)0.n0n0n0并容易知Q(x)Q(x).Q(n)(x)0,Q(n)(x)n!.n0n0n0n0因为f(n)(x)存在，0所以在点x的某领域U(x)内f存在n-1阶导函数f(x).于是，当00 xeU(x)且xTx,允许连续使用洛必达法则n-1次，得到00R(x)R(x)limnlimnxtQ(x)xtxQ(x)n0n十R(n-1)(x)=limnxTx0)(x)0n=limXTx0f(n-1)(

7、x)-f(nT)(x)-fn(X)(X-X)004n!(X-X)0=limn!nXTX0=0f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)-(x)0X-X0定理所证的(1)式称为函数f在点X0处的泰勒公式,Rn(x)=f(X)-Tn(x)则称为泰勒公式的余项，形如0(X-X)n)的余项称为佩亚诺型余项.即(1)又称带有佩亚诺型余项的泰0勒公式2.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明定理2如果一个函数在a,b上有直至n阶的连续导数，在(a,b)之间有(n+1)阶的导数，则任意给出的x，xea,b，至少有一点gw(a,b)，使得：f(x)fn(x)f(X)二f(X0)+f(X0)(X-X0)+寺(X-X0)

8、2+令(X-X0)n+(X-X0)n丄证明设辅助函数f(n)(t)nF(t)=f(x)-f(tf(t)(x-1+(x-1)即证明的2)式为F(X0)-特G(X0)或者S二吒加则F(t)与6(t)在x,x上连续，在(x,x)内可导.00(t)=-e(X-t)n,n!nG(t)二-(n+1)(x-t)丰0.因为F(x)=G(x)=0，所以由柯西中值定理证明得F(X。)=F(X。)-F(x)=F(g)=f(n+1*g)G(X0)G(X0)-G(x)-g(g)(n+1)!湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 页共15页第 页共15页其中gw(x0,x)u(a,b),(2)式则称为泰勒公式

9、，该泰勒公式的余项为Rn(x)=f(x)-Tn(x)=(x-x0)n+1，=x0+9(x-x0)，Rn(x)=f(x)-Tn(x)(n+：)(x-x0)n+1,g=x0+9(x-x0).(091)则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式2.3带积分型余项泰勒公式的证明定理3若函数f(x)在点x的领域U(x)内有连续的n+1阶导数，则VxuU(x),0f(x)=f(xo)+晋(x-xo)+n!f(n)(xo)(x-xo)n+R(x)-其中R(x)nJxf(+1)(s)(x-s)nds为积分型余项，且n!x00(x-x)n+1R(x)=0J1fn+1(x+t(x-x)(1-t)n

10、dtnn!0003)证明使用Newton-Leibniz公式和使用分部积分法，得f(x)=f(x)+Jxf(t)dt=f(x)-Jxf(t)d(x-t)00 x0 x0=f(x)+f(x)(x-x)+Jxf(x-t)dt0001x0=f(x)+f(x)(x-x)-Jxf(t)d(x-1)20002x0011x=f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+Jxf(t)d(x-1)2dt0002002xx0f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+.+fn(x-x)n+000200n!0+Jxf(n+1)(t)(x-t)ndtn!x0然后做变量代换s=x+1(x-x)则得到式(3

11、).002.4带柯西型余项泰勒公式的证明定理4若函数f(x)在点x的领域U(x)内有连续n+1阶导数，则VxeU(x)，有0f(x)=f(x)+fW)(x-x)+.+-2(x-x)n+R(x).01!0n!0(091)特别当x=0，0则又有简其中R(x)=f(n+1)(x+9(x-x)(1-9)n(x-x)n+1,nn!000单形式R(x)=f(n+l)(9x)(l-9)nxn+1n!(090，设辅助函数0(t)=f(x)-才八;(xt),k!k=0此时令对0(t)与申(t)应用柯西中值公式，知存在ge(0,x)使得n!R(x)=0(x)-0(0)=0(g)=f(n+1)(g)(x-g)nxn

12、+10(x)-0(0)0(g)此时，令g=9x(091).即得到式(4).3泰勒公式的应用带佩亚诺型余项泰勒公式的应用3.1.1利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法.若f(x)在点x0及邻域U(x0)内具有n阶连续导数，且1)f(x)=f(x)二=f(n-1)(x)=0,f(n)(x)丰0，0000若n为奇数，则x不是极值点;0(2)若n为偶数，则当/(n)(x)0,f(x)为极小值.0000证明由已知条件及泰勒公式有f(x)=f(x)+fx2(x-x)n+o(x-x)n，贝V0n!00f

13、(x)-f(x)=-2(x-x)n+o(x-x)n0n!00由于f(n)(x)丰0，则存在点x的某一邻域U(x)，使得xeU(x)时式(1)等号右端由第0000一项符号决定若n为奇数，在点x的某一邻域U(x)内，当xx时，(x-x)n0；0000若n为偶数且f(n)(x)0时，有f(x)-f(x)0即对一切xeU(x)f(x)0，f(x)为极小值.000当xx，(x-x)n0，即x的左右侧，式(1)的右端异号，所以x是非极值0000点.例1求函数f(x)=x4(x+2)3的极值.8解由于f(x)=x3(x+2)2(7x+8)，所以x=0,x=-2,x=-7是函数的驻点，求f(x)8的二阶导数f

14、(x)=6x2(x+2)(7x2+16x+8)得f(0)=0,f(-2)=0,f(-7)0，所以f(x)在x=-时取得极大值.73.1.2未定极限与无穷小的应用在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开.例2求极限limCSx-旷2.20sin4x极限中分母的次数是4,现在把cosx，e-7展开到x的4次幂,cosx=1一x2+x4+o(x4)2!4!x2x21x2e2=1+()2+o(x4)22!2故cosx一e2limxtosin4x(丄x4+0(x4)=lim4!80 x4112.例3求极限lim；1+x+、1x一2.5x2分析因为分子中有根号

15、项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.解将耳1+x和1x在x=0处点的麦克劳林公式展开x2项得J1+x=1+o(x2)和心1x=1+o(x2).28281+x+x2limTOC o 1-5 h zxtOx2x2(I+x1)+(：1x1)=limxtOxx2xx2(1+o(x2)+(1+o(x2)=lim2_828xtOx2=lim+o(x2)8xtOx2例4确定a的值，使得函数xx2+x2ex3sinx+2sinxcosx与x为同阶无穷小.湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文6)第 页共15页6)第 页共15页a=3因为x-x2+x

16、2ex-3sinx+2sinxcosx=x-x2+x2(1+x+o(x3)-3(x-+o(x3)+(2x-8-+O(x3)266=6x3+o(x3).例5已知极限limx-arCtanx=c，其中k,c为常数，且c丰0，求k,c.xt0 xkx-arctanxlimxtO因为c为常数，所以k-3二0,xk1-=limxt0kxk-1x2=lim!xt0kxk-11=limlxt0kxk-3=lim-.xt0kxk-3即k=3，因此c=33.1.3求行列式的值要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰

17、勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.例66求n阶行列式xyyyzxyyD=.z.zxyzzzzx5)解记f(x)=D按泰勒公式在z处展开:n，f(x)=f(z)+罟(x-z)+埒(x-z)2+斗n1!2!n!湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 #页共15页第 页共15页第 页共15页易知D=kz-y0z-y7)由(7)得，f(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,.,n时都成立根据行列式求导的规则，有kn-2TOC o 1-5 h zf(x)=nf(x),f(x)=(n-l)f(x)，广(x)=2f(x),f(x)=1(因为/(x)=x).n

18、n-1nTn-22111于是f(x)在x=z处的各阶导数为nf(z)=f(z)|=nf(z)=nz(z-y)n-2nnx=zn-1f(z)=f(z)|=nf(z)=n(n-1)z(z-y)n-3nnx=zn-1fn-1(z)二fn-11二n(n-1”2f(z)二n(n-1)2znnx=z1f(n)(z)=n(n-1”2n把以上各导数代入(6)式中,有nn(n-1)f(x)=z(z-y)n-1+z(z-y)n-2(x-z)+z(z-y)n-3(x-z)2n1!2!n(n-12)/、n(n-1”21/、+z(x-z)n-1+(xz)n.若z工y,有f(x)=z(x-y)n-y(x-z)nnz-y(

19、n-1)!n!若z二y,有/(x)=(x-y)n-1x+(n-1)y,n带拉格朗日型余项泰勒公式的应用3.2.1证明中值公式例7设f(x)在区间上三阶可导，试证3ce(a,b)使得f(b)=f(a)+f(乎)(b-a)+右f(c)(b-a)3.证明设下式成立的实数f(b)f(a)f(2)(ba)24f(c)(ba)3=0现在就要证明3ce(a,b),使得k=f(c)(10),令11)g(x)-/(x)-/(a)-/(2)(x-a)-24(x-a)3则g(a)-g(b)-0,由罗尔定理，e(a,b)使得g(g)-0由(11)式得12)f(G-f(学)+f(学)(竽)-8(a-g)2-02228上

20、式是关于k的方程，则f(g)在点圧处的泰勒公式2k1f(g)-f(宁)-厂(于)(子)+2小)(子)213)3ce(a,b)，比较(12)(13)式有(a-g)2-f(c)(a-g)2，则k-f(c)，从而得到88(8).322证明不等式和等式在证明不等式的问题中，我们经常遇到题中的有高阶导数，我们就可以选择合适的泰勒展开点，而且展开的最高阶导数不得超过题中给出的最高阶导数，最后用高阶导数的放大有界性进行放缩，得到要证明的不等式.对泰勒公式的展开点x和被展开点的x0的选择是有讲究的，因为展开的阶数和项数都可能根据需要而改变.例8设函数f(x)在闭区间0,1上二阶可导，在开区间(0,1)内取到最

21、大值-，且2二阶导数满足If(x)l2，证明If(0)+f(1)12证明设xe(0,1)为函数最大值点，则f(x)-1且f(x)-0把函数f(x)在x-0,10020处的值用x处的带拉格朗日余项的泰勒公式表示，且最高导数为2，则0f(0)-f(x)+f(x)(0-x)+1f临)(0-x)2-1+1f临)x2,ge(0,x),000210221010f(1)-f(x)+f(x)(1-x)+1f(g)(1-x)2-1+1f(g)(1-x)2,ge(x,1).000220222020于是If(0)I+If(1)I1+x2+(1-x)21+1=2不等式得证.00例9证明limnsin(2兀en!)-2

22、兀xT8证明由泰勒公式，可知湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 页共15页第 页共15页n11e=lk+时e00nhe=丄+1+k=0k!(n+1)!(n+2)!1e0n+1,0e1,n+1将上述两式两边相减，得e0.=+e0.(n+1)!n+1(n+1)!(n+2)!n+1e0n=1+e0n+1(n+2)!lime0”=1+lim-e0n+1x*xt(n+2)!n+12兀en!=2兀(1+111+.+1!2!于是=2kk+王eq,(n+1)!k=n!(1+丄+丄+.+丄),1!2!n!nsin(2兀en!)=nsin丄en+1=2兀弋ee”sin(二ee”)/(二ee,)n+

23、1n+1n+1limnsin(2兀en!)=lim2兀e0nsin2e0n)/(丄e0n)x*xTsn+1n+1n+1=2兀3.2.3计算近似值的应用一些数值的近似计算和函数的近似计算式可以利用泰勒公式得到函数的近似计算式利用f(x)麦克劳林展开得到f(0)fn(0)f(x)心f(0)+f(0)X+2rX2+Xnn!误差是余项R(x)n湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 页共15页第 页共15页例10计算lg11的值,准确到10-5.解lg11=lg(1O+1)=1+lg(1+10)=1+ln10ln(1+10)因为x2x3xnxn+1ln(1+x)x+(1)n1+(1)n23

24、n(n+1)(1+0 x)n+100-1要使|(-1)n10-(n+1)|10-n+1105-(n+1)=104-n,取n=4,故lg11=1+(-+)1.041396ln10102003000400003.3带积分型余项泰勒公式的应用3.3.1定积分计算当题目或者问题条件出现具有二阶导二阶以上的连续导，可以考虑泰勒公式.例11计算f1ex(1-x)ndx(ngN+)0解设f(x)=ex贝yf(n+叽x)=ex由公式有f1ex(1-x)ndx=n!(ei一eo一eol一.一eoln)on!=n!(e一2一-.一丄)2!n!.例12计算f1xm(1-x)ndx0.j1Xm(1-X)ndx=jlX

25、m+n+im!丿d,(1-x)ndx(m+n+1)!,m!=n!_(m+n+1)!n!m!(m+n+1)!3.4带柯西型余项型泰勒公式的应用3.4.1初等函数的幂级数的展开式中的应用例13证明若函数f(x)在区间(a,+s)内可导，且limf(x)+f(x)=0，则xslimf(x)=0证明令F(x)=f(x)ex,G(x)=ex，显然，G(x)丰0已知limf(x)+f(x)=0,xs即ve0,3A0,VxA，有If(x)+f(x)lA，根据柯西中值定理，有F(x)-F(A)=F(C)G(x)-G(A)=G(C)f(x)f(A)eA-x=f(x)exf(A)eA=f(c)+f(c)1-eA-

26、xex-eA或If(x)IA，VxA，有eA-xe与eA-xA，有1If(x)IIf(A)Ie+2e=(If(A)I+2)8,即limf(x)=0 xT8例14设函数f(x)在a,b上可微，且a与b同号，证明：玉w(a,b)，使得(1)2gf(b)-f(a)=(b2-a2)f程).湖南理工学院本科毕业论文湖南理工学院本科毕业论文第 页共15页第 页共15页b(2)f(a)-f(b)=g(In-)广化).a证明(1)将原不等式变形为f-f)二学知，只要引入辅助函数g(x)二x2.由TOC o 1-5 h zb2一a22g于f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，所以北w(a,b)f(b)f(a)二f忆)b2一a22g即2gf(b)一f(a)二(b2-a2)f生).(2)将原不等式变形为f(b)一f(a)二半知，只要引入辅助函数g(x)=lnlxI，InIbI-lnlaI1由于f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，所以北w(a,b)，使f(b)一f(a)f代)”)lnlbI-lnlaI二T)，即bbf(b)-f(a)=7lnIIf(g)Mln(-)fg)aa总结从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间是可以转换的，但是，不同的余项型在解决不同的类型的问题时有