新教材高一数学必修第二册暑假作业第12练《空间直线、平面的垂直》（解析版）

1、第12练 空间直线、平面的垂直【知识梳理】知识点一 直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面互相垂直，记作l，其中l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面，ll垂直于内的任一条直线（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线与平面垂直的性质：定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示为：a，bab由定义可知：a，bab

2、知识点二 平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直一选择题（共7小题）1平面平面，直线，则ABC与相交D以上都有可能【分析】在正方体中找到两个垂直平面，找出于平行的直线，判断与的关系即可【解答】解：在正

3、方体中设平面为，平面为，平面，平面，、正确；平面，平面，正确；故选：【点评】本题考查直线与平面的位置关系，是基础题2在正方体中，分别为，的中点，则A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【分析】对于，易知，平面，从而判断选项正确；对于，由选项及平面平面可判断选项错误；对于，由于与必相交，容易判断选项错误；对于，易知平面平面，而平面与平面有公共点，由此可判断选项错误【解答】解：对于，由于，分别为，的中点，则，又，且，平面，平面，则平面，又平面，平面平面，选项正确；对于，由选项可知，平面平面，而平面平面，在该正方体中，试想运动至时，平面不可能与平面垂直，选项错误；对于，在平面上，易知与必相交，故平

4、面与平面不平行，选项错误；对于，易知平面平面，而平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，选项错误故选：【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题3已知，是两个不同平面，是空间中的直线，若，则“”是”的A充分而非必要条件B必要而非充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线与平面垂直的性质定理，判断命题“若，则”、“若，则”真假即可【解答】解：命题“若，则”为真命题；若，则或，命题“若，则”为假命题；若，则“”是”的充分不必要条件故选：【点评】本题以命题的形式考查空间中线面位置关系，掌握充分必要条件的概念是解决本题的关键4已知平面和直线

5、有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线，使得且”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合充分必要条件的概念，即可得到结果【解答】解：若直线与平面垂直，则垂直内的任意一条直线，若平面内存在两条夹角为的直线，则且，若平面内存在两条夹角为的直线，使得且，由线面垂直的判定定理可知直线与平面垂直，所以“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线，使得且”的充分必要条件故选：【点评】本题考查了线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，属于基础题5已知直线和平面，满足，则AB或CD【分析】由线面、面面位置关系

6、，结合平面的基本性质判断线面关系即可【解答】解：直线和平面，满足，若，则，否则故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断线面关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题6已知，是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概含判断即可【解答】解：当直线，且，则，与相交，故充分性不成立；当直线，且，时，故必要性成立， “ “是“ 的必要而是不充分条件故选：【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位

7、置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题7已知，为空间中的两个平面，为两条异面直线，且平面，平面若直线满足，则A，B与相交，且交线垂直于C，D与相交，且交线平行于【分析】由面面平行及线面垂直：结合平面基本性质有与题设矛盾；：易得或，再由线线垂直、线面位置关系得到或，相交；对于、：若，过上一点作交于，连接，利用线面垂直的判定证面、面，进而判断、位置关系即可【解答】解：若，由平面，平面易知：与，异面矛盾，错误；若，平面，则有或，又且，则或，相交，错误；若，过上一点作交于，连接，由知：，又，则面，由则，又，则，所以面，综上，故与相交，且交线平行于，正确，错误；故选：【点评】本题考查了空间中直线与

8、平面、平面与平面的位置关系的判断，属于中档题二多选题（共4小题）8在所有棱长都相等的正三棱柱中，点是三棱柱的顶点，、是所在棱的中点，则下列选项中直线与直线垂直的是ABCD【分析】根据线面垂直的推论“三垂线定理“即可求解【解答】解：对，在底面内垂直于在底面内的射影，；对，在底面内不垂直于在底面内的射影，不垂直；对，如图在后侧面内垂直于在后侧面内的射影，；对，在后侧面内不垂直于在后侧面内的射影，不垂直故选：【点评】本题考查线面垂直以及其推论“三垂线定理“，属基础题9在三棱锥中，、分别为、的中点，则以下结论正确的是A平面平面B平面平面C平面D三棱锥的外接球表面积为【分析】对于，利用逆推方式要证明面面

9、垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在即可判断；对于，根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断；对于，根据线面平行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断；对于，要求三棱锥外接球的表面积，首先找出外接球的球心，在利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球的半径，再利用球的表面积公式即可判断【解答】解：对于，设与的交点为，则，若平面平面，那么根据面面垂直的性质定理，必有平面，此时须有成立，又因为是的中点，此时须有成立，上式显然不成立，故不正确；对于，由于，为的中点，所以，故平面，而平面，所以平面平面，故正确；对于，由，分别为，的中点，得，平面，平面

10、，所以因此平面，故正确；对于，作平面垂足为，则为正三角形的重心，所以，设三棱锥的外接球球心为，则在上，连接，设三棱锥的外接球半径为，则在中，解得，因此其外接球表面积为，故正确故选：【点评】本题主要考查面面垂直的证明，线面平行的证明，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题10已知空间中的两条直线，和两个平面，则的充分条件是A，B，C，D，【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可【解答】解：对于选项，则有内的一条直线，因为，所以，又，所以，即条件，能够得到，所以选项是的充分条件；对于选项，不一定能够得出结论，也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项，所以，又因为，

11、所以，因此该选项正确；对于选项，因为，所以，或，又因为，所以故选：【点评】本题主要考查空间中的平行关系与垂直关系，属于基础题11设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可【解答】解：当时，可以成立，本选项结论不正确；：当时，若，此时，成立，因此本选项结论不正确；：当时，若，此时，成立，因此本选项结论不正确；：因为，所以，所以，而，所以，而，因此，所以本选项结论正确，故选：【点评】本题主要考查空间中的线面关系，面面关系等知识，属于基础题三填空题（共4小题）12如图，在四

12、棱锥中，底面为正方形，底面，设是线段上一动点，下面有四条结论：无论在什么位置，面；无论在什么位置，面面；点到平面的最小距离是；直线与平面的最大夹角是以上正确结论的序号是 【分析】利用空间几何体的性质，结合各选项的条件逐项求解判断即可【解答】解：若面，又平面，平面面；，又易得为的中点，故为的中点，故在中点时，有面成立，故错误；底面，又底面，又，平面，又平面，故面面；无论在什么位置，面面；故正确；当与重合时，点在平面内，故点到平面的最小距离是0，故错误；面面；又点在平面内，故到平面的距离小于等于，又，故点到平面的最大距离是；设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，则，故故正确故答案为：【点评】本题

13、考查线面平行的判断，面面垂直的证明，线面角的求法，属中档题13如图，在棱长为1的正方体中，点、分别为棱、的中点，是底面上的一点，若平面，则下面的4个判断点的轨迹是一段长度为的线段；线段的最小值为；与一定异面其中正确判断的序号为 【分析】先证明平面平面，可判断的轨迹是线段，结合选项和几何性质一五判断即可【解答】解：分别连接，同理，平面平面，平面，且是底面上的一点，点在上，点的轨迹是一段长度为的线段，故正确；当为中点时，线段最小，最小值为，故错误；在正方体中，平面，又平面，故正确；当与重合时，与平行，故错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

14、考查运算求解能力，是中档题14在长方体中，已知，若在线段上存在点，使得，则实数的取值范围是 ，【分析】由线面垂直的判定和性质，推得，设，由，可得，再结合二次函数的值域求法，求出的取值范围【解答】解：因为平面，平面，可得，由，可得平面，所以，在矩形中，设，则，由，可得，即，当时，取得最大值1，即的最大值为1；当或2时，取得最小值0，但由于，所以的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，以及解直角三角形，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题15已知所在的平面，且，连接，则图中直角三角形的个数是4【分析】直接由线面垂直的性质及线面垂直的判定得答案【解答】解：由所在的平面

15、，得，均为直角三角形，由，可知为直角三角形，所在的平面，又，且面，则为直角三角形故图中直角三角形的个数是4故答案为4【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，是中档题四解答题（共5小题）16已知几何体如图所示，其中四边形为矩形，为等边三角形，且，点为棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理证明；（2）利用等体积法求解【解答】（1）证明：四边形为矩形，即，又，平面，平面，又平面，为等边三角形，点为棱的中点，又，平面，又平面，平面平面（2）解：由（1）知，设点到平面的距离为，解得，点到平面的距离为【点评】

16、本题主要考查面面垂直的证明，点面距离的计算，等体积法的应用等知识，属于中等题17如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线（1）证明：平面；（2）若平面，证明：平面平面【分析】（1）利用线面平行的判断定理，即可证明线线平行；（2）要证明面面垂直，即证明线面垂直，利用垂直关系，即证明平面【解答】解：（1）因为四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面（2）证明：，在中，由余弦定理得：，平面，平面，是平面两相交直线，平面，平面，平面，平面平面【点评】本题考查线面平行及面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题18在四棱锥中，

17、底面为直角梯形，分别为，的中点，（1）证明：平面平面；（2）若与所成角为，求三棱锥的体积【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得；（2）由题可得为与所成角，又由条件可得平面，可得，进而利用棱锥体积公式即得【解答】证明：（1），分别为的中点，又，平面，又平面，平面平面，解：（2）连接，由，四边形为平行四边形，所以是异面直线与所成的角，则，所以，因为分别为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，为，则【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的运算能力，属于中档题19如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是，的中点（1）求证：平面平面；（2）若

18、，求点到平面的距离【分析】（1）证明平面平面，即证面，再利用面面垂直判定定理即可；（2）利用等体积法，表示出体积的等式解方程即可【解答】证明：（1）在直三棱柱中，面，又面，为等边三角形，为的中点，又，面，面，面，面，平面平面；解：（2）在中，在中，设点到平面的距离为，由（1）知面，则，即，解得【点评】本题考查了面面垂直的证明和点到平面距离的计算，属于中档题20如图，已知三棱柱的棱长均为2，（1）证明：平面平面；（2）设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线距离【分析】（1）取的中点，连接，利用勾股定理证明，从而证得平面，然后利用面面垂直的判定定理证明即可（2）以所在直线为轴，以所

19、在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设，得到点的坐标，求出平面与平面的法向量，由余弦徝可确定值，然后利用点到直线的距离公式计算即可【解答】证明：（1）取的中点，连接，所以，由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以，由，所以，所以平面；平面，所以平面平面；解：（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，所以，设，可得，设平面的法向量为，则，即，取，所以，因为为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，解得，所以，所以点到直线距离【点评】本题考查面面垂直及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题一选择题（共5小题）21在四棱锥中，面，底面为

20、正方形，且，过点作的垂面分别交，于点，则四边形的面积为ABCD【分析】将四棱锥补成正方体，在等边三角形中可求出结果【解答】解：根据题目中的条件可将四棱锥补成正方体，如图所示，因为平面，所以，又因为，所以平面，所以，同理，因为，所以平面，则为的中点，为的中点，因为，会平面，所以为正三角形的中心，如图，所以，所认故选：【点评】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积的计算，确定截面的形状是解答的关键22在正方体中，为底面的中心，为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是A平面B平面C平面平面D三棱锥的外接球体积为【分析】作图，由，平面，可判断；根据为等腰三角形和勾股定理可证明平面

21、，可判断；由平面可判断；由墙脚型可补形成长方体得到外接球半径，判断【解答】解：如图，对于，由题意得，平面，不可能与平面平行，故错误；对于，由题意得，又，平面，平面，故正确；对于，由题意知平面垂直，而与平面相交，平面不可能与平面垂直，故错误；对于，设三棱锥的外接球半径为，则，从而，故错误故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23如图，已知三棱柱的底面为正三角形，侧棱垂直于底面，为中点，则下列判断不正确的是AB与是异面直线C面面D面【分析】根据异面直线的定义结合三棱柱的性质即可判断；证明平面，根据线面垂直的性质即可判断；由

22、平面，利用面面垂直的判定定理即可判断；由平面，即可得与面不平行，从而判断【解答】解：对于，在三棱柱中，平面，所以平面，又，所以 与 是异面直线，故正确；对于，因为垂直于底面，平面，所以，又因为正三角形，且为中点，所以，又，所以平面，又，所以，故正确；对于，因为平面，平面，所以平面平面，故正确；对于，因为平面，所以与面不平行，又，所以与面不平行，故错误故选：【点评】本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生的推理能力，属于中档题24如图正方体中，则下列说法不正确的是A时，平面平面B时，平面平面C面积最大时，D面积最小时，【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断；

23、推导出，求出关于的表达式，利用二次函数的性质判断【解答】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，0，1，1，1，0，0，1，0，线段的中点为，设平面的法向量，则，取，则，对于，设平面的法向量，1，1，则，取，得，平面平面，解得，故正确；对于，设平面的法向量为，0，则，取，得，平面平面，解得，故正确；对于，则，当时，取最大值，则的面积最大，故正确；当时，取最小值，则的面积最小，故错误故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题25，是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是A若，则B若，

24、则C若，则D若，则【分析】对于，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得；对于，与相交、平行或异面；对于，与平行或异面；对于，与相交、平行或【解答】解：，是三条不同的直线，是三个不同的平面，对于，若，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故正确；对于，若，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，则与平行或异面，故错误；对于，若，则与相交、平行或，故错误故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题二解答题（共1小题）26如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，分别是棱，的中点（1）证明：平面平面（2）求三棱锥的体积【分析】（1

25、）先证明平面，再证明，可得平面，进而得证；（2）结合图象可知三棱锥的体积为三棱锥体积的，由此计算可得解【解答】解：（1）证明：因为是直角三角形，且，所以因为平面，且平面，所以因为平面，平面，且，所以平面因为，分别是棱，的中点，所以，因为平面，所以平面因为平面，所以平面平面（2）因为，所以因为平面，且，所以三棱锥的体积连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积因为是棱的中点，所以三棱锥的体积因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为【点评】本题考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题一选择题（共1小题）27如图，在中，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，

26、设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于ABCD【分析】过点作平面，交延长线于点，连结，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角取得最小值时，线段的长【解答】解：过点作平面，交延长线于点，连结，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在中，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段上的动点，则，0，0，0，2，0，设，0，即，0，0，1，2，令，由，得，时，时，当时，取最大值，此时与所成角取得最小值，故选：【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二填空题（共

27、1小题）28如图，平面，为中点，点为平面内动点，且到直线的距离为，则的最大值为 【分析】由题意推出到直线的距离为的的轨迹是圆柱面，得到的轨迹是椭圆，然后结合椭圆的性质可得的最大值【解答】解：空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心，则，于是，为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，且为故答案为：【点评】本题考查面面垂直的性质和椭圆的性质，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题三解答题（共4小题）29如图所示，在三棱柱中，点在平面的射影为点（1）求证：；（2）若点在平面上运动，求的最小值【分析】（1）证明平面，原题即得证；（2）的最小值即为点到平面的距离，利用求解【解答】（1）证明：因为平面，平面，故，因为；由余弦定理，故，所以；又，平面；故平面；而平面，故（2）解：依题意，的最小值即为点到平面的距离，因为平面，故，则，又，故为等边三角形，则，故，而，故【点评】本题考查线面垂直，及点到面的距离，考查学生的综合能力，属于中档题30如图，在三棱锥中，底面，（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小【分析】（1）根据线线垂直得线面垂直，再由线面垂直得面面垂直即可证明，（2）由题意求出，的长，再建立直角坐标系