新高考数学二轮专题《导数》第10讲 导数解答题之零点问题（解析版）

1、第10讲 导数解答题之零点问题1已知函数，是常数，且 （）讨论零点的个数；（）证明：，【解析】证明：（），解得，或时，若，若，有一个零点，时，000由上表可知，在区间，有一个零点，又，任取，在区间有一个零点，从而有两个零点，时，在上单调递增，有一个零点，时，0，00由上表可知，在区间有一个零点，在区间，有一个零点，从而有两个零点，（）证明：取，由（1）知在上单调递增，取，则，化简得，取，由（1）知在区间上单调递减，取，由得，即，综上，2已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递

2、减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，则，求导，由（1），解得：，的取值范围方法二：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当

3、时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围3已知函数，（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（）由题，（1）当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（2）当 时，当，时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（3）当时，恒成立，函数在上单调递增；（4）当时，当时，函数单调递增，当，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增；（）当时，有唯一零点，不符合题意；由（）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，且时，；时，函数必有两个零点；当 时，故，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时

4、，函数单调递增，又，函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，又，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点4已知函数（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增（如右上图）；当时，（如右下图）若，则恒成立，即有在上递增；若时，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；（）由（）可得当时，在递减；在递增，且（1），；当时或找到一个使得对于恒成立，有两个零点；当时，所以只有一个零点；当时

5、，若时，在，递减，在，递增，又当时，所以不存在两个零点；当时，在，单调增，在单调增，在，单调减，只有等于0才有两个零点，而当时，所以只有一个零点不符题意综上可得，有两个零点时，的取值范围为5已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）的定义域为，若，则，所以在上是单调递减若，则由得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增（2）若，至多有一个零点，不符合题意；若，当时，取得最小值当时，只有一个零点；当时，没有零点；当时，又，故在有一个零点设整数满足，则，故在有一个零点综上，的取值范围是6已知函数，当为何值时，轴为曲线的切线；用，表示，中的最小值，设函数，讨

6、论零点的个数【解析】解：设曲线与轴相切于点，则，解得，因此当时，轴为曲线的切线；当时，函数，故在时无零点当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，因此只考虑在内的零点个数即可当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故当时，取得最小值若，即，则在内无零点若，即，则在内有唯一零点若，即，由，（1），当时，在内有两个零点当时，在内有一个零点综上可得：时，函数有一个零点当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三

7、个零点7已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数【解析】解：（1）设曲线与轴相切与点，则，即，当时，轴为曲线的切线（2）令，则，由，得，当时，为增函数；当，时，为减函数，当，即时，有一个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点，综上，或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当，有三个零点8已知函数（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）设函数，讨论在区间上零点的个数【解析】解：（1）的导数为，设切点为，可得，即，解得，；（2），当时，在递增，可得，（1），有一个零点；当时，在递减，（1）

8、，在无零点；当时，在递增，在，递减，可得在的最大值为，若，即，在无零点；若，即，在有一个零点；若，即，（1），当时，在有两个零点；当时，在有一个零点；综上可得，时，在无零点；当或时，在有一个零点；当时，在有两个零点9已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1），当即时，恒成立，故在上单调递增，当时，即或时，方程的两根分布为，当时，结合二次函数的性质可知，时，函数单调递增， ，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，时，结合二次函数的性质可知， 0，时，函数单调递增，（2）因为，则，当时，则，即在上单调递增且，故在上没有零点，因为有两个零点，所以在时有两个零点，当时，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；当时，易得，函数在上单调递减，在，上单调递增，又时，时，故，解可得，综上可得，的范围10已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若函