一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法

1、第14卷第1期解放军理工大学学报(自然科学版)V0114 No12013年2月JounlaJ of PLA Umversi锣of Sdence and低hnology(Natural Sdence EditicIn)Feb2013一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法陈亦望，张口靳秀海，戴蒙口口，(解放军理工大学野战工程学院，江苏南京210007)摘要：为了提高电大尺寸目标电磁计算效率，提出了一种用于克服时域有限差分算法稳定条件限制、降低 计算所需内存的新方法。证明了即使在无源区域，局部一维时域有限差分法所给出的电磁场量不满足零散 度关系，并推导了该散度关系的具体表达式。基于该非零散度关系

2、和麦克斯韦旋度方程，将三维局部一维时 域有限差分法与减缩时域有限差分法相结合，从而得到三维的局部一维减缩时域有限差分法。通过仿真计 算证明该方法与LO口FDTD方法的计算结果一致，具有良好的计算稳定性。 关键词：节约内存；非零散度；局部一维时域有限时域差分法；减缩时域有限差分法中图分类号：0441文献标识码：ADOI：103969jissn10093443201105170LOcaIIy OnedimenSiOnaI reduced FDTD methOd fOr saVing memOryCHEN Y分m口ng，zHANG Ptn，J lN xiuhni，DAl Meng(CoUege of

3、 Field Engineering，PLA Unjvof Sci&Tech，Nanjing 210007，China)Abstract：A new memorrefficient finite-difference time-domain(FDTD)method was presented for impro ving the electromagnetic computational efficiency of electrically large obj ects，which not only overcomes the courant_friedrich_levy condition，

4、but also reduces the memory requirementIt is proven that the diver gence relationship of electric-field and magnetic_field is no价zero even in charge_free regions，when the e一1ectricfield and magnetirfield are calculated with 3一D locally onedimensional finitedifference timedomain (3D-LOD-FDTD)method，a

5、nd the concrete expression of the divergence relationship is derivedBased onthe nonzero divergence relationship and MaxwelI curl equations，the 3一D LOD-FDTD which is unconditionallv stabIe is combined with the reduced finite_difference timedomain(RFDTD)method The result of the new method is the same

6、as the L0肛FDTD，and it is proved stable by simulationKey wOrds：saving memory；noTrzero divergence；LODFDTD；RFDTD时域有限差分方法(finite difference time do占用内存较大。近来，文献4，5提出的局部一维时main method，FDTD)已经广泛应用于电磁散射计域有限差分法(10cally onedimensional FDTD，算领域1。然而，传统FDTD方法的计算资源量非 LOnFDTD)也被应用到电磁计算中来。由于 常大，并且受到CFL(courantfried

7、richs一1ewy)稳定L0胁FDTD方法比ADIFDTD方法的计算公式简 条件的限制，使得计算效率不高，计算时间较长，这 单，占用内存较少，计算效率得到提升4。 一切都给使用FDTD方法进行电大尺寸目标电磁虽然L0肛FDTD方法摆脱了CFL条件限制， 仿真计算带来困难。为了突破CFL稳定条件的限 具有更高的计算效率，但是由于其求解过程中仍然 制，文献2，3提出了交替隐式时域有限差分算法 需要求解方程组，所以LO胁FDTD方法计算所需 (alternating-directionimplicitFDTD，ADI 内存量依然比传统FDTD方法要大，相对有限的计 FDTD)，提高了计算速度，但是

8、计算公式较为复杂， 算机资源制约了LOD方法的应用。收稿日期：z01l0517 基金项目：国家自然科学基金资助项目(10372038)作者简介：陈亦望教授，主要研究电磁伪装技术，pinzhangtenyahoocomcn万方数据48解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷减缩时域有限差分法(reduced FDTD，RFDTD)是一种有效减少内存使用量的方法。在文其中，a。一丢=嘉以=去。献6中，RFDTD已经用于改进二维ADH7DTD对式(1)应用近似：a【，归(【，井1一矿)，方法，但该文假设在无源区电场或磁场仍为零散度u抖(【，州+矿)2，得到crank-Nicols。n形式：关系，这将

9、导致大时间步长计算时计算的发散。(J一等A一等B)【，州=(卜卜等A+等B)矿，1LOmFDTD计算时电、磁场分量的(2) 空间散度其中，J为单位矩阵。式(2)近似表示为 以三维空间为例对本文提出的LO胁RFDTD (I一等A)(I一等B)【，州=(J+等A)(J+方法进行说明。本文首先依据文献7原理，给出更争渺，(3)简单的完整形式三维LO胁FDTD公式。式(3)可通过2个时间步骤进行计算：11三维LO肛HTD公式推导子时间步1：扎一孢+丢MaxweU方程组在各向同性、无损耗介质空间的形式为(J一争)【，一=(I+争渺，(4)VHe筹，VE=一户筹，d。a芒。将各场分量代人式(4)，得 式中

10、：E为电场，H为磁场。E，=E：+尝a，H一+筹a，(5)在直角坐标系中可表示为罢=Au+姒(1)E，一E；一参日，一长(6)式中：【，一(E：E，E。E。H，H：)T。E，=E：一筹垆，一尝a，(7)o。o。a，H，=H：一差妒一一差a，(8)厶口一“。ooooo一土a，1H，=H；+争E一+挚(9)O00一一a。OOA=日，=H：+象垆，+差a，既(10)。0O0OO子时间步2：扎+丢一竹+1O0OOOl(I一争炉1一(J+等B)U杆，(11)a。O0OOO卢将各场分量代人式(11)得到：。eE，1一E一一象H尹1一参H，(12)OOoo一三a：OeE岁1=E一+参H，1+鲁H，(13)O

11、OoL。OO1eE：+1=p丢+象H岁1十熬H一(14)二e。Z 一。O00O一a：0口=1H，1=H一+挚E尹1+挚E一(15)0一a：OO0O厶口二血1一a：0OO00H岁1=H一一挚掣一挚E，(16)卢1O一一a，O0OOH，1一日一一挚E广1一挚E，o(17)F厶麒一上上。万方数据第1期陈亦望，等：一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法 49文献7已证明，以上方法无条件稳定。对于二在空间网格(i，歹)处，咒+12时间步的E，和 维情况，以TE波为例，有E：=H，一H，=o，则仅需H，分别由式(25)(27)计算，具体形式为 把【，=(E：E，H。)T代入(1)(4)(11)式，即可

12、退化E芦172(i，J，志)一E尹172(i，歹一1，愚)一 为文献4的二维LOnFDTD形式。竽E寸，z(i，J，是)一E，-z(i一1，j，是)一12电、磁场分量空间散度关系笔E，-z(i，最)一E：+-z(i，歹，矗一1)一基于经典电磁场计算理论，在元空间电荷的区域电、磁场散度为o6。，即VEO，(18)乏之H，v2(i，志)一H，“2(i，歹，志一1)一V日一0。(19)H，172(i，j一1，忌)+H，172(i，一1，五一1)，将传统FDTD三维Yee，s各场量计算式代人式(29)(18)(19)计算，可证明当电、磁场的各场量采用传统H172(i，J，忌)=H尹172(i，J一1，

13、忌)一FDTD格式计算时，式(18)(19)的空间离散形式成笺H，2(i，_f，愚)一H，-2(i一1，f，是)一立。但是，当采用L0pFDTD法计算时，式(18)jC(19)的空间离散形式不再成立。下面是LO胁芸H，-z(i，J，七)一H，z(i，歹，五一1)+FDTD算法下电、磁场分量的空间散度关系。ZlZ在时间步咒+12时，对于电场散度有瓦惫E，2(i一1，歹，足)一VE一1胆=a。E，172+a，E岁172+a：E=+1门，(20)将式(5)(7)代人式(20)，有E，172(i一1，j，愚一1)一E172(i一1，歹一1，最)+V儿=VE“一筹a，a：Hy2一筹a，a，E，172(i

14、一1，J一1，志一1)。(30)在空间网格(i，歹)处，扎+1时间步的E：和H：(21)分别由式(26)(28)计算，具体形式为 在时间步扎+1时刻时，对于电场散度有E：+1(i，J，志)一E，1(i，_，忌一1)一VE井1一a；E，1+a，E尹1+a；E，1，(22)将(12)(14)代人(22)式，有是E，1(i，_f，忌)一E，1(i一1，歹，忌)一VE抖1一VE计l2+尝a，a。E，1+尝a，a：H，V2。等E尹小五)一E尹，歹一1，踟+(23)由式(21)(23)可得：蒜H扎研，五)一H，1(i，j，是一1)一H，1(i，J一1，足)+VE抖l一筹a，a：H1=VE计“2+筹a，a：

15、H，12一H，1(i，歹一1，五一1)，(31)VE。+等a，a：H：= =H：“(i，j，忌)=H，1(i，愚一1)一篓H，t(i，J，是)一H，1(i一1，五)一vEq肛+等妒：H-l2=o，(24)式(24)最后一项为O，是由于no的时间步，各场瓮H矿1(i，j，忌)一H尹1(i，J一1，忌)一分量均为0。因此由式(24)可得夏芸万E，1(i一1，歹，矗)一vE计“2=一等a，a：H，2，(25)E岁1(i一1，忌一1)一E岁1(i一1，歹一1，矗)+E，1(i一1，歹一1，五一1)。(32)VE抖l一一等a，a；H，1。(26)同理，对于二维波可得到类似的电、磁场散度的率间表达形式。同

16、理，可得磁场空间散度关系V H抖l2一差a，a：E，“2，(27)2LoDFDTD与RFDTD结合VH抖l一差a，a。E，1。(28)以三维波情况为例，设计算区域为N。N，万方数据解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷N；的无电荷矩形空间区域。传统FDTD计算时，需可知，LOpR-FDTD方法所需内存最少为LOD要6个三维数组分别存储E：、E，、E。以及H：、H，、FDTD方法的23，仅为传统FDTD方法耗用内存H；分量。当采用LODFDTD计算时，需要12个量的133倍。 三维数组分别存储以+12子时间步的6个电、磁场该算法有4个分量(E，(f，五)、HF(i，忌)、 分量和扎+1时间步的

17、6个电、磁场分量。将E。(i，J)、H。(i，歹)不需要使用三维数组储存所LODFDTD与R-FDTD结合，在”+12时间步，需 有计算空间的场值，而仅需要二维数组储存在特定 要4个三维数组存储E，、E：分量以及H。、H。分 方向上不断更新的某个场值。为了更清晰地描述该 量，而仅用2个二维数组EF(f，五)、H芦(i，五)分别 算法的计算过程，根据在计算中的相互依赖关系，可 存储歹一c(c=1， ，N，)的网格上的E，分量和H， 将计算公式分为2组，其中，包含EF和H。(i，J)的 分量；同理，在行+1时间步，需要4个三维数组存储 式(5)(6)(10)(13)(15)和(17)为第1组，包含

18、 E、E，分量以及H。、H，分量，而仅用2个二维数 H。(i，忌)和E。(i，歹)的式(7)(9)(12)(14)和组E。(i，J)、H。(i，_)分别存储忌一c(c=1， ，(16)为第2组。下面以第1组为例，具体算法的伪匠互歪耍囹匿亟三圈N：)的网格上的E：分量和H。分量。由以上分析代码如图1所示。lllIDo五=l，N。Do J=l，N，IDo i=1，N；肋i=l，N。I利用式(6)计算利用式(17)计算lE茹(i，五)：E；+(i，1，志)，IH争(i，j)=H，(i，J，1)，l利用式(32)更新H：(i，1)利用式(29)更新E一(i，1)lEnd doEnd dolEnd do

19、End dol Do五一l，N。Do j=1，N，Do i=1，N。利用式(5)计算E，T(i，j，女)，利用式(32)更新H：(i，1)End do End do End do(a)子时间步n一行+(b)子时间步n+一挖+1：图13D LODR_FDTD伪代码Fig1 The pseudo code of 3D L0肛RTDTD万方数据第1期陈亦望，等：一种节约内存的局部一雏减缩时域有限差分方法 51同理，第2组的计算流程可仿照以上步骤得出。 由图2(a)可以看到，LO胁RFDTD方法是无 由于RFDTD方法只是针对计算时内存的存储方 条件稳定的。图2(b)中，LO肛RFDTD方法与其 式和

20、内存的使用方法进行改进，并不会改变LO胁 他方法的计算结果具有较好的一致性。本例计算中 FDTD方法的计算特点，因此在使用LO胁RFDTD LO肛R-FDTD计算所用内存比LODFDTD计算 方法时的空间步长和时间步长取值与LO肛FDTD 所用内存节约了137。方法的相应取值相同。表1给出了使用FDTD、LO肛FDTD和LOnR-FDTD方法的计算数据，表中，CPU时间比为3仿真计算与验证t啪tLoDRFm。和LO分FDTD相比，本文提出的为了评估LO胁RFDTD方法的有效性和准确 方法可将内存使用量进一步降低。由于方程复杂程性，本文采用该方法分别计算TE波的二维自由空度增加，计算时间有所增加

21、，但增加量不大。 间和三维自由空间传播情况，并将计算结果与传统裹l不同方法计算比较FDTD、LO肛FDTD方法的计算结果相比较。TIb1 ct衄坤凼岫of嗍ofmfl舢tm舳31三维模型计算CPU时间比内存使用量MB时间步敷采用文献8所设计的实验，计算一个2 cm1 cm2 cm的矩形真空腔体，网格设为缸一y一z=1 m。将计算空间划分为201020个网格。时间步缸LODR一4岔吼=4缸啪，扯cFL为达到32稳定性验证计算CFL稳定性条件时的单位时间步长，扯为使用FDTD方法时的单位时间步长，出。oD。为使用 由MaxweU电磁场连续方程可推知，无源区域 LODRFDTD时的单位时间步长。仿真

22、时间长度 电场、磁场的散度只能为o。但是，由于引入了式 为8 000时间步。观察点位于(8，5，16)，激励源位 (2)(4)(11)的近似方法导致误差，造成采用较大时 于(8，5，10)，设置为Gaussian脉冲点源。图2为分 间步长时发散。本文提出的非零散度关系可视为对别使用FDTD，LO肛FDTD和LO胁R-FDTD计算 此误差的一种补偿。为了说明非零散度关系可以改的时域电场波形。善LO胁RFDTD算法的稳定性，进行以下实验：对。 5于FDTD，时间步选取受CFL条件的限制，这里取。 0出=192 ps，LOnR-FDTDl和LOD艮FDTD2o 5分别表示引入散度非。关系的算法和按照

23、散度为。o 0的算法。两者的时间步长取扯。=缸：=8出。仿真Ep趔霹翘 咖 5结果如图3所示。由图可以看到，按照散度为。计叫 0算的LODRFDTD2很快发散，而引入散度为。的叫 5算法是稳定的。020406080fus(a)LOD-RFDTD方法时域波形300+LODRF1)TDl一LODRF啪2200100卤。一100200f，us3种方法比较图3 LODRF【)TDl与LODRFDTD2稳定性比较图2电场时域图像Fig3 comparin of the stability betwn Lo肛R-FI)1D】Fig2 Time-cIomain electrbfidd wavefomand

24、L0肛R-FI)TD2万方数据52解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷(10)：200320074结语3zHENG Fenghua，CHEN Zhizhang，zHANG JiazongA fiIlitedifference timedomain method without theCoumnt stability conditionsJIEEE Microwave and本文证明了即使在无源区域，局部一维时域有Guided Wave Letters，1999，9(11)：441-443限差分方法(LO胁FDTD)的电、磁场量也不满足零4SHIBAYAMA J，MURAKI M，YAMAU

25、CHI J，et a1散度关系，同时，推导了该散度关系的具体表达式。Efficient impIicit FDTD algorithm based on locaUy基于推导出的非零散度关系，提出了一种新的局部ondimensional schemeJEkctroIlics Letters，2005， 一维缩减时域有限差分方法(LO肛RFDTD)，并给41(19)：10461047 出了其三维计算公式。该方法不仅保留了LO胁5 TAN Eng-leongAcceleration of LOD-FDTD methI耐FDTD的无条件稳定性，增大了时间步长，减少了总usirlg fundament

26、al scheme on graphics pmcessor units 计算时间，而且使计算所需内存比LO胁FDTD减JIEEE Microwave and wireless C0mpo腮nts Let 少平均可达33。通过二维、三维问题的实验计ters，20lO，20(12)：648650 算，该方法与LO肛FDTD的计算结果一致，具有良6KONDYLIS G D，FLAVIIS F D，POTTIE G J，et a1Amemor、卜efficient formulation of the fimtedifference好的计算稳定性。提出的新方法可用于计算区域较time-domain method for the1ution of Maxwell equa大、计算内存相