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文档简介
1、第14卷第1期解放军理工大学学报(自然科学版)V0114 No12013年2月JounlaJ of PLA Umversi锣of Sdence and低hnology(Natural Sdence EditicIn)Feb2013一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法陈亦望,张口靳秀海,戴蒙口口,(解放军理工大学野战工程学院,江苏南京210007)摘要:为了提高电大尺寸目标电磁计算效率,提出了一种用于克服时域有限差分算法稳定条件限制、降低 计算所需内存的新方法。证明了即使在无源区域,局部一维时域有限差分法所给出的电磁场量不满足零散 度关系,并推导了该散度关系的具体表达式。基于该非零散度关系
2、和麦克斯韦旋度方程,将三维局部一维时 域有限差分法与减缩时域有限差分法相结合,从而得到三维的局部一维减缩时域有限差分法。通过仿真计 算证明该方法与LO口FDTD方法的计算结果一致,具有良好的计算稳定性。 关键词:节约内存;非零散度;局部一维时域有限时域差分法;减缩时域有限差分法中图分类号:0441文献标识码:ADOI:103969jissn10093443201105170LOcaIIy OnedimenSiOnaI reduced FDTD methOd fOr saVing memOryCHEN Y分m口ng,zHANG Ptn,J lN xiuhni,DAl Meng(CoUege of
3、 Field Engineering,PLA Unjvof Sci&Tech,Nanjing 210007,China)Abstract:A new memorrefficient finite-difference time-domain(FDTD)method was presented for impro ving the electromagnetic computational efficiency of electrically large obj ects,which not only overcomes the courant_friedrich_levy condition,
4、but also reduces the memory requirementIt is proven that the diver gence relationship of electric-field and magnetic_field is no价zero even in charge_free regions,when the e一1ectricfield and magnetirfield are calculated with 3一D locally onedimensional finitedifference timedomain (3D-LOD-FDTD)method,a
5、nd the concrete expression of the divergence relationship is derivedBased onthe nonzero divergence relationship and MaxwelI curl equations,the 3一D LOD-FDTD which is unconditionallv stabIe is combined with the reduced finite_difference timedomain(RFDTD)method The result of the new method is the same
6、as the L0肛FDTD,and it is proved stable by simulationKey wOrds:saving memory;noTrzero divergence;LODFDTD;RFDTD时域有限差分方法(finite difference time do占用内存较大。近来,文献4,5提出的局部一维时main method,FDTD)已经广泛应用于电磁散射计域有限差分法(10cally onedimensional FDTD,算领域1。然而,传统FDTD方法的计算资源量非 LOnFDTD)也被应用到电磁计算中来。由于 常大,并且受到CFL(courantfried
7、richs一1ewy)稳定L0胁FDTD方法比ADIFDTD方法的计算公式简 条件的限制,使得计算效率不高,计算时间较长,这 单,占用内存较少,计算效率得到提升4。 一切都给使用FDTD方法进行电大尺寸目标电磁虽然L0肛FDTD方法摆脱了CFL条件限制, 仿真计算带来困难。为了突破CFL稳定条件的限 具有更高的计算效率,但是由于其求解过程中仍然 制,文献2,3提出了交替隐式时域有限差分算法 需要求解方程组,所以LO胁FDTD方法计算所需 (alternating-directionimplicitFDTD,ADI 内存量依然比传统FDTD方法要大,相对有限的计 FDTD),提高了计算速度,但是
8、计算公式较为复杂, 算机资源制约了LOD方法的应用。收稿日期:z01l0517 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10372038)作者简介:陈亦望教授,主要研究电磁伪装技术,pinzhangtenyahoocomcn万方数据48解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷减缩时域有限差分法(reduced FDTD,RFDTD)是一种有效减少内存使用量的方法。在文其中,a。一丢=嘉以=去。献6中,RFDTD已经用于改进二维ADH7DTD对式(1)应用近似:a【,归(【,井1一矿),方法,但该文假设在无源区电场或磁场仍为零散度u抖(【,州+矿)2,得到crank-Nicols。n形式:关系,这将
9、导致大时间步长计算时计算的发散。(J一等A一等B)【,州=(卜卜等A+等B)矿,1LOmFDTD计算时电、磁场分量的(2) 空间散度其中,J为单位矩阵。式(2)近似表示为 以三维空间为例对本文提出的LO胁RFDTD (I一等A)(I一等B)【,州=(J+等A)(J+方法进行说明。本文首先依据文献7原理,给出更争渺,(3)简单的完整形式三维LO胁FDTD公式。式(3)可通过2个时间步骤进行计算:11三维LO肛HTD公式推导子时间步1:扎一孢+丢MaxweU方程组在各向同性、无损耗介质空间的形式为(J一争)【,一=(I+争渺,(4)VHe筹,VE=一户筹,d。a芒。将各场分量代人式(4),得 式中
10、:E为电场,H为磁场。E,=E:+尝a,H一+筹a,(5)在直角坐标系中可表示为罢=Au+姒(1)E,一E;一参日,一长(6)式中:【,一(E:E,E。E。H,H:)T。E,=E:一筹垆,一尝a,(7)o。o。a,H,=H:一差妒一一差a,(8)厶口一“。ooooo一土a,1H,=H;+争E一+挚(9)O00一一a。OOA=日,=H:+象垆,+差a,既(10)。0O0OO子时间步2:扎+丢一竹+1O0OOOl(I一争炉1一(J+等B)U杆,(11)a。O0OOO卢将各场分量代人式(11)得到:。eE,1一E一一象H尹1一参H,(12)OOoo一三a:OeE岁1=E一+参H,1+鲁H,(13)O
11、OoL。OO1eE:+1=p丢+象H岁1十熬H一(14)二e。Z 一。O00O一a:0口=1H,1=H一+挚E尹1+挚E一(15)0一a:OO0O厶口二血1一a:0OO00H岁1=H一一挚掣一挚E,(16)卢1O一一a,O0OOH,1一日一一挚E广1一挚E,o(17)F厶麒一上上。万方数据第1期陈亦望,等:一种节约内存的局部一维减缩时域有限差分方法 49文献7已证明,以上方法无条件稳定。对于二在空间网格(i,歹)处,咒+12时间步的E,和 维情况,以TE波为例,有E:=H,一H,=o,则仅需H,分别由式(25)(27)计算,具体形式为 把【,=(E:E,H。)T代入(1)(4)(11)式,即可
12、退化E芦172(i,J,志)一E尹172(i,歹一1,愚)一 为文献4的二维LOnFDTD形式。竽E寸,z(i,J,是)一E,-z(i一1,j,是)一12电、磁场分量空间散度关系笔E,-z(i,最)一E:+-z(i,歹,矗一1)一基于经典电磁场计算理论,在元空间电荷的区域电、磁场散度为o6。,即VEO,(18)乏之H,v2(i,志)一H,“2(i,歹,志一1)一V日一0。(19)H,172(i,j一1,忌)+H,172(i,一1,五一1),将传统FDTD三维Yee,s各场量计算式代人式(29)(18)(19)计算,可证明当电、磁场的各场量采用传统H172(i,J,忌)=H尹172(i,J一1,
13、忌)一FDTD格式计算时,式(18)(19)的空间离散形式成笺H,2(i,_f,愚)一H,-2(i一1,f,是)一立。但是,当采用L0pFDTD法计算时,式(18)jC(19)的空间离散形式不再成立。下面是LO胁芸H,-z(i,J,七)一H,z(i,歹,五一1)+FDTD算法下电、磁场分量的空间散度关系。ZlZ在时间步咒+12时,对于电场散度有瓦惫E,2(i一1,歹,足)一VE一1胆=a。E,172+a,E岁172+a:E=+1门,(20)将式(5)(7)代人式(20),有E,172(i一1,j,愚一1)一E172(i一1,歹一1,最)+V儿=VE“一筹a,a:Hy2一筹a,a,E,172(i
14、一1,J一1,志一1)。(30)在空间网格(i,歹)处,扎+1时间步的E:和H:(21)分别由式(26)(28)计算,具体形式为 在时间步扎+1时刻时,对于电场散度有E:+1(i,J,志)一E,1(i,_,忌一1)一VE井1一a;E,1+a,E尹1+a;E,1,(22)将(12)(14)代人(22)式,有是E,1(i,_f,忌)一E,1(i一1,歹,忌)一VE抖1一VE计l2+尝a,a。E,1+尝a,a:H,V2。等E尹小五)一E尹,歹一1,踟+(23)由式(21)(23)可得:蒜H扎研,五)一H,1(i,j,是一1)一H,1(i,J一1,足)+VE抖l一筹a,a:H1=VE计“2+筹a,a:
15、H,12一H,1(i,歹一1,五一1),(31)VE。+等a,a:H:= =H:“(i,j,忌)=H,1(i,愚一1)一篓H,t(i,J,是)一H,1(i一1,五)一vEq肛+等妒:H-l2=o,(24)式(24)最后一项为O,是由于no的时间步,各场瓮H矿1(i,j,忌)一H尹1(i,J一1,忌)一分量均为0。因此由式(24)可得夏芸万E,1(i一1,歹,矗)一vE计“2=一等a,a:H,2,(25)E岁1(i一1,忌一1)一E岁1(i一1,歹一1,矗)+E,1(i一1,歹一1,五一1)。(32)VE抖l一一等a,a;H,1。(26)同理,对于二维波可得到类似的电、磁场散度的率间表达形式。同
16、理,可得磁场空间散度关系V H抖l2一差a,a:E,“2,(27)2LoDFDTD与RFDTD结合VH抖l一差a,a。E,1。(28)以三维波情况为例,设计算区域为N。N,万方数据解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷N;的无电荷矩形空间区域。传统FDTD计算时,需可知,LOpR-FDTD方法所需内存最少为LOD要6个三维数组分别存储E:、E,、E。以及H:、H,、FDTD方法的23,仅为传统FDTD方法耗用内存H;分量。当采用LODFDTD计算时,需要12个量的133倍。 三维数组分别存储以+12子时间步的6个电、磁场该算法有4个分量(E,(f,五)、HF(i,忌)、 分量和扎+1时间步的
17、6个电、磁场分量。将E。(i,J)、H。(i,歹)不需要使用三维数组储存所LODFDTD与R-FDTD结合,在”+12时间步,需 有计算空间的场值,而仅需要二维数组储存在特定 要4个三维数组存储E,、E:分量以及H。、H。分 方向上不断更新的某个场值。为了更清晰地描述该 量,而仅用2个二维数组EF(f,五)、H芦(i,五)分别 算法的计算过程,根据在计算中的相互依赖关系,可 存储歹一c(c=1, ,N,)的网格上的E,分量和H, 将计算公式分为2组,其中,包含EF和H。(i,J)的 分量;同理,在行+1时间步,需要4个三维数组存储 式(5)(6)(10)(13)(15)和(17)为第1组,包含
18、 E、E,分量以及H。、H,分量,而仅用2个二维数 H。(i,忌)和E。(i,歹)的式(7)(9)(12)(14)和组E。(i,J)、H。(i,_)分别存储忌一c(c=1, ,(16)为第2组。下面以第1组为例,具体算法的伪匠互歪耍囹匿亟三圈N:)的网格上的E:分量和H。分量。由以上分析代码如图1所示。lllIDo五=l,N。Do J=l,N,IDo i=1,N;肋i=l,N。I利用式(6)计算利用式(17)计算lE茹(i,五):E;+(i,1,志),IH争(i,j)=H,(i,J,1),l利用式(32)更新H:(i,1)利用式(29)更新E一(i,1)lEnd doEnd dolEnd do
19、End dol Do五一l,N。Do j=1,N,Do i=1,N。利用式(5)计算E,T(i,j,女),利用式(32)更新H:(i,1)End do End do End do(a)子时间步n一行+(b)子时间步n+一挖+1:图13D LODR_FDTD伪代码Fig1 The pseudo code of 3D L0肛RTDTD万方数据第1期陈亦望,等:一种节约内存的局部一雏减缩时域有限差分方法 51同理,第2组的计算流程可仿照以上步骤得出。 由图2(a)可以看到,LO胁RFDTD方法是无 由于RFDTD方法只是针对计算时内存的存储方 条件稳定的。图2(b)中,LO肛RFDTD方法与其 式和
20、内存的使用方法进行改进,并不会改变LO胁 他方法的计算结果具有较好的一致性。本例计算中 FDTD方法的计算特点,因此在使用LO胁RFDTD LO肛R-FDTD计算所用内存比LODFDTD计算 方法时的空间步长和时间步长取值与LO肛FDTD 所用内存节约了137。方法的相应取值相同。表1给出了使用FDTD、LO肛FDTD和LOnR-FDTD方法的计算数据,表中,CPU时间比为3仿真计算与验证t啪tLoDRFm。和LO分FDTD相比,本文提出的为了评估LO胁RFDTD方法的有效性和准确 方法可将内存使用量进一步降低。由于方程复杂程性,本文采用该方法分别计算TE波的二维自由空度增加,计算时间有所增加
21、,但增加量不大。 间和三维自由空间传播情况,并将计算结果与传统裹l不同方法计算比较FDTD、LO肛FDTD方法的计算结果相比较。TIb1 ct衄坤凼岫of嗍ofmfl舢tm舳31三维模型计算CPU时间比内存使用量MB时间步敷采用文献8所设计的实验,计算一个2 cm1 cm2 cm的矩形真空腔体,网格设为缸一y一z=1 m。将计算空间划分为201020个网格。时间步缸LODR一4岔吼=4缸啪,扯cFL为达到32稳定性验证计算CFL稳定性条件时的单位时间步长,扯为使用FDTD方法时的单位时间步长,出。oD。为使用 由MaxweU电磁场连续方程可推知,无源区域 LODRFDTD时的单位时间步长。仿真
22、时间长度 电场、磁场的散度只能为o。但是,由于引入了式 为8 000时间步。观察点位于(8,5,16),激励源位 (2)(4)(11)的近似方法导致误差,造成采用较大时 于(8,5,10),设置为Gaussian脉冲点源。图2为分 间步长时发散。本文提出的非零散度关系可视为对别使用FDTD,LO肛FDTD和LO胁R-FDTD计算 此误差的一种补偿。为了说明非零散度关系可以改的时域电场波形。善LO胁RFDTD算法的稳定性,进行以下实验:对。 5于FDTD,时间步选取受CFL条件的限制,这里取。 0出=192 ps,LOnR-FDTDl和LOD艮FDTD2o 5分别表示引入散度非。关系的算法和按照
23、散度为。o 0的算法。两者的时间步长取扯。=缸:=8出。仿真Ep趔霹翘 咖 5结果如图3所示。由图可以看到,按照散度为。计叫 0算的LODRFDTD2很快发散,而引入散度为。的叫 5算法是稳定的。020406080fus(a)LOD-RFDTD方法时域波形300+LODRF1)TDl一LODRF啪2200100卤。一100200f,us3种方法比较图3 LODRF【)TDl与LODRFDTD2稳定性比较图2电场时域图像Fig3 comparin of the stability betwn Lo肛R-FI)1D】Fig2 Time-cIomain electrbfidd wavefomand
24、L0肛R-FI)TD2万方数据52解放军理工大学学报(自然科学版)第14卷(10):200320074结语3zHENG Fenghua,CHEN Zhizhang,zHANG JiazongA fiIlitedifference timedomain method without theCoumnt stability conditionsJIEEE Microwave and本文证明了即使在无源区域,局部一维时域有Guided Wave Letters,1999,9(11):441-443限差分方法(LO胁FDTD)的电、磁场量也不满足零4SHIBAYAMA J,MURAKI M,YAMAU
25、CHI J,et a1散度关系,同时,推导了该散度关系的具体表达式。Efficient impIicit FDTD algorithm based on locaUy基于推导出的非零散度关系,提出了一种新的局部ondimensional schemeJEkctroIlics Letters,2005, 一维缩减时域有限差分方法(LO肛RFDTD),并给41(19):10461047 出了其三维计算公式。该方法不仅保留了LO胁5 TAN Eng-leongAcceleration of LOD-FDTD methI耐FDTD的无条件稳定性,增大了时间步长,减少了总usirlg fundament
26、al scheme on graphics pmcessor units 计算时间,而且使计算所需内存比LO胁FDTD减JIEEE Microwave and wireless C0mpo腮nts Let 少平均可达33。通过二维、三维问题的实验计ters,20lO,20(12):648650 算,该方法与LO肛FDTD的计算结果一致,具有良6KONDYLIS G D,FLAVIIS F D,POTTIE G J,et a1Amemor、卜efficient formulation of the fimtedifference好的计算稳定性。提出的新方法可用于计算区域较time-domain method for the1ution of Maxwell equa大、计算内存相
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