：数列教材分析与教学建议

1、第二章：“数列”教材分析与教学建议房山区实验中学张红娟一、基本特色用函数的观点和递推的观点理解数列，加强数列与函数的联系。应用代数的基本方法和技能解数列问题。数列的相关计算，贯彻算法思想，引导学生进行编程计算。二、值得研讨的问题.数列在高中数学中的教育价值。.在数列的教学中如何培养学生的计算推理能力。三、地位与作用数列是一个古老的数学问题，也是近代数学研究的重要对象。在整个中学数学教学内容中，数列处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用，由于不少关于恒等变形、解方程

2、（组）以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力，学习数列有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想以及分析和解决问题的综合能力，是培养学生数学能力的良好素材，数列与函数、三角、不等式、数娄归纳法、解析几何、应用问题等有着广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的良好素材。四、本章重点、难点.重点：（1）数列的概念；（2）等差数列的通项公式与前 n项和公式；（3）等比数列的通项公式与前 n项和公式。.难点：（1）等差数列的通项公式与前 n项和公式的推导及应用；（2）等比数列的通项公式与前 n项

3、和公式的推导及应用。五、教学内容安排本章共有三大节，教学约需12课时，具体分配如下:节次内容课时2.1数列2课时2.1 . 1等差数列1课时2.1 . 2数列的递推公式1课时2.2等差数列4课时2.2 . 1等差数列2课时2. 2. 2等差数列的前n项和2课时2. 3等比数列4课时2. 3. 1等比数列2课时2. 3. 2等比数列的前n项和2课时小结与复习2课时六、教学时需注意的问题（一）把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生

4、负担.事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一（上）学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高.最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如在学习数列的递推公式时，不要去 搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉 及过多的技巧.（二）有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识.在高中没有系统深入学习的机会.而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学

5、习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联 系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。（三）适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识 上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面：.数列概念与函数概念的联系。

6、相应于数列的函数是一种定义域为正整数集（或它的前n个数组成的有限子集）的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数，从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围,但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值.基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质.数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式.而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n,就可以通过递推公式确定相应的 f（n）。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。.等差数列与一次函数、二次函数的联系。从等差数列的通项公式可以知道

7、，公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式.于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为 什么两项可以确定一个等差数列。此外，首项为 a、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document n（n -1） , 2 ddSn =na1d =An+Bn（A=,B= a1） HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 22即当d#0时，Sn是n的二次函数式，于是可以运用二

8、次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题.如可以根据二次函数的图象了解Sn的增减变化、极值等情况。.等比数列与指数型函数的联系。由于首项为a,、公比为q（q #1）的等比数列的通项公式可以写成Sn = al（1 _q）=kqn-k,（k= -a ）,它与指数函1-qq- 1数y=ax有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。（四）注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质（等差还是等比）、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（等比）中项.具体问题里成等差（等比）数列的三个数的设法等.因此在教学与复习时可采用

9、对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别.顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列。教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 （等比）数列和解决其他问题的一种基本方法 ,要让学生注意，这里的“等 差”（“等比”），是对任意相邻两项来说的。上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和（之积）等于该项的2倍（平方）.利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数

10、列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化.非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在。(五)注意培养学生初步综合运用观察、分析、归纳、猜想、证明、数学建模等方法及应用能力，突出学生的数据 处理、转化化归、代数推理和数学思想方法的提炼和运用能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力.事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方 法(或举反例)来检验所提出的猜想.应该指出，能够充分进行上述研究方

11、法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里 却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。(六)注意在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得 到提高。比如，等差数列和等比数列通项公式的推导方法比公式本身重要。推导这些公式，能突出数学方法，提高学生思 维能力。(七)加强推理论证和计算能力的训练考虑到新课标更加重视对学生逻辑思维能力和计算能力的培养，在前面两个模块中已经渗透了一部分，因此 本章在推理论证方面有所加强。(八)注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想

12、方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。教材注意从 函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决,不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组，然后求 解，利用的是函数与方程的思想；关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现.观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示.为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件。推 导等差、等比数列通项公式的方法也很重要，要高度重视。七、分节分析(一)2. 1数列(2课时)教材对一般数列的概念，

13、要求较高。建议安排两节课。这一节学好了，下面两节，就可引导学生自主探索学习。2. 1. 1数列(概念).教学要求(1)理解数列、数列通项及其相关概念；(2)理解通项公式是函数关系，能用函数和映射的观点认识数列，了解递增和递减数列的概念。.内容分析(1)数列的概念：按昭一定次序排成的一列数。每一个数叫数列的项。(2)数列的表示：a-a2 , , , an;通项公式表示；递推公式表示。(3)通项公式：数列的第 n项an与序号n之间的一个函数关系式 an = f(n)。(4)数列的分类：按项数：有穷数列与无穷数列；类比函数的单调性：递增数列、递减数列、常数列；摆动数列。.本节重点、难点(1)重点：(

14、1)数列的概念；(2)数列的通项公式。(2)难点：求数列的通项公式。.教学建议(1)引导学生从集合与映射的角度认识数列是一种特殊的函数，特殊在定义域不连续，故图象是一引起孤立的点。(2)举例引出数列的概念。书中 7个例子，数的排列都是有规律的，其实数列的各项也可能是随机的，没有什么规律。(3)可先写出几个通项公式的例子，再给出一般通项公式的函数表示：an=f (n) o对应法则f可用公式、列表或图象给.一 .一 八.一-一 -.、*. .出，定义域为非零自然数或其子集。教学时，要注意函数定义域的表述。符号N+与N表示正整数或非0自然数。(4)例1可由学生自己完成。例 2中的3个小题，都要通过观

15、察，并分析数的性质，有一定的难度。教学时可由教师引导，由学生完成。设计例 3和思考与讨论是为了加强数列与函数的联系。用研究函数性质的方法研究数列的性质。对例3的教学要给予重视。(5)引导学生明白已知几项，如何归纳数列的通项公式。5.例题分析2.1.2数列的递推公式课标对递推公式没有明确要求，考虑到它在认识数列中的作用，课本把它单列一节作为选学。建议大家还是把它作为必学内容。.教学要求：(1)理解用递推公式定义数列的方法；(2)能用数列的递推公式和首项，写出数列的后续各项。.内容分析(1)数列的递推公式：已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an(或前几

16、项)之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。(2)数列的递推公式也是给出数列的一种方法。.本节重点、难点(1)重点：理解数列递推公式的意义。(2)难点：数列递推公式的应用。.教学建议：(1)通过实例引入数列的递推公式。数列的递推公式应包括数列的首项值和公式本身。让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列。(2)通过例1及其边注中的提问，让学生进一步体会，数列两种表示方法的特色。用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定的难度，但学生应有这个能力。(3)也可以不代入 a1的值，由依次计算的结果，可能更容易看到an与n的函数关系

17、：内烧 1%a、23 1一的 * 1-2的 * 1-3的；1 -4%* 1-5-1) 2 3-2(4)例2的难度更大些，要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力。这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握。其实，学生只须掌握点的坐标概念、会求两个已知函数的函数值，就能够理解此题的解法。具体讲解时，可把R、P2、R的坐标都写出来让学生观察，发现an与a+1间的关系。(5)练习A、B全做。习题2-1B选做。探索与研究留给学有余力的学生做。(6)引导学生重视本节课的教学。(二)2. 2等差数列(4课时)2.2.1等差数列(2课时)1 .教学要求：(1)掌握等差数列的递推定义：an- an-1 =

18、d或an=an-1+d,掌握等差数列的通项公式；(2)掌握等差中项的概念，用等差中项的概念，进一步理解等差数列的特征性质：从第二项起，每一项都是前后项的等差中项；(3)理解等差数列与一次函数的关系：等差数列是一次函数在非零自然数集(或其子集)上的限定。(4)要求学生能按算法的思路，解与等差数列的有关问题。2.内容分析(1)定义：an + - an =d(n 之 1, d是常数)；(2)通项公式：an=a1+(n1d, an=am+(nm)d；(3)等差中项：若x,A,y成等差数列，则 A叫x, y的等差中项，且 A=匕Y ；2(4)证明数列an 为等差数列的方法： 定义法：an书-an =d(

19、n之1, d是常数)；中项法：2an =an+an书(n 2 )；(5)等差数列的性质若 m+n = p+q,则 am +an = ap +为；若 m + n = 2p ,则 am +an =2ap ；an a1 =an . an=奇数项aa3，a5，.也是等差数列，其首项为 a1 ,公差为2d ；偶数项a2e4,%,.也是等差数列，其首项为 a2,公差为2d ；an _2m，an _m，an , Hn4m , Hnd2m , 也是等差数列；Sn,S2n -Sn, 83n -0n,S4n 一n，也是等差数列。.本节重点、难点(1)重点：等差数列的概念； 等差数列的通项公式。(2)难点：对等差数

20、列的概念和通项公式的理解。.教学建议(1)引导学理解等差数列的概念：an书-an =d(n21,d是常数)，让学生体会两点：第一，从第二项起，每一项与其前一项的差均可以写成 an+ -an =d(n 1);第二，差等于同一个常数 d。(2)先用归纳的方法猜想等差数列的通项公式，再用迭加法加以证明，归纳猜想和迭加都很重要，引导学生认真领会和应用。(3)等差数列的通项公式可改写成：an =dn+(a1-d ),再联想一次函数 y = kx + b (k,b是常数)，可以得到：数列n )是等差数列的充要条件是：an=kn+b (k,b是常数)两个独立的条件可以确定等差数列的通项公式；表示等差数列图象

21、的点均在一条直线上，这条直线的斜率为doan- an-1 =dan=an-1 +d）。(4)用实例给出等差数列的递推公式，先用语言叙述，再用公式(5)讲解例1,巩固定义。(6)引导学生用归纳法，推导通项公式。(7)例2到例5,都是等差数列通项公式的灵活运用。在数列问题中，最好明确解方程的思路。如例1,依题意可列方程组曰-35t g =43 LI +然后解方程组求do这样，可培养学生按算法步骤解问题的良好习惯。(8)练习A、B全做。练习B第2题，引导学生进一步深入思考等差数列的一些常用性质。学生完成作业后，最好课上讨论一下，扩展学生对等差数列的理解。a a )(9)关于等差中项常见的有：an =

22、 n 2 -na：2,nwN+，还有an =?(n - p之1,n, pw N + )。(10)本节教材突出数学建模、类比、归纳猜想、迭加法等数学方法，注意渗透和强化。.例题分析2. 2. 2等差数列的前n项和(2课时).教学要求：(1)熟练掌握求等差数列的前n项和的公式；(2)掌握求和公式的推导的方法。.内容分析 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document (1)等差数列的前n项和公式：前n项和公式：sn =也匕2 ；sn =na1+n(n1)d ； 22(n -m 1)(am an)(n -m 1)(n -m)d(从第m项

23、到第n项的和)J Sn _m- nam-22公式的变形，a十叱曰2/1一/an2 +bn,是关于n的二次函数，没有常数项。一s1，n=1(3)已知sn,利用关系式an =_求通项。Sn -Sn,n 之2,nW N +.本节重点、难点(1)重点：等差数列前 n项和公式。(2)难点：等差数列前 n项和公式的推导和应用。.教学建议(1)教材引入等差数列的前 n项和公式是通过一个实例引入的，通过实例，使学生理解等差数列前n项和的意义，并了解倒序相加法求和，在此基础上推导等差数列的求和公式，体现了由具体到抽象的认知规律，体现了知识的形成过程，要高度重视。(2)在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式

24、性质和数运算的通性(交换律与结合律)。养成学生逻辑思维的 习惯。n的一次函数，一个为 n的二次函数，并且这个二次(3)通过思考与讨论，分析通项公式与求和公式之间的关系。一个为函数没有常数项。(4)引导学生思考，如何由求和公式求通项公式。(5)例1直接应用求和公式求和，属于等差数列中，由a1,an,n,d,sn五个量知三求二的问题。(6)例2,介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系。从具体到抽象，讨论的是同一个问题，研究的是以下一组问题：s, n 1已知数列bn的前n项和公式Sn ,利用公式an =；Sn -Sn_i，n 2,n= N +等差数列的前n项和是关于n的二次函数

25、，且没有常数项，sn=an2+bn (a,b是常数)，同样，当一个数列的前n项和是sn =an2+bn ( a, b是常数)形式时，这个数列一定是等差数列。类比二次函数，等差数列前 n项和存在最值问题：方法1：类似于二次函数，利用配方法求项点的坐标，要注意 nw N +；an 0an 0方法2：先求通项公式，若 n数列白前n项和最大，若，n ,则数列的前n项和最小。&n 4 W 0n 书之0研究以上一组问题，重在思维的训练、技能的提高，最终落实到“等差数列的前n项和公式是sn = an2+bn(a,b是常数)”的认识上。(7)例3,是一道有关“教育储蓄”、“零存整取”的问题，是等差数列的简单应

26、用，是重点问题，分析题中的数量关系，得出算式求解。(8)习题2-2B的3、4、5、6都有一定的难度，建议选做。(9)探索与研究留给学有余力的学生选做。(三)2. 2等比数列(4课时).2.1等比数列.教学要求：(1)掌握等比数列的递推定义：an+1=anq,掌握等比数列的通项公式；(2)掌握等比中项的的概念，用等比中项的概念，进一步理解等比数列的特征性质：从第二项起(除去末项)，每一项都是前后项的等比中项；(3)理解等比数列与指数函数的关系，等比数列是指数函数在非零自然数集(或其子集)上的限定；(4)要求学生能按算法的思路，解与等比数列的有关问题。.内容分析a 一(1)等比数列的定义：-an-

27、=q(n之2,q为常数)；an 4(2)通项公式： an =a1qnJ； an =amqn(3)等比中项：若x,G,y成等比数列，则 G叫x, y的等比中项，且 G2=xy；(4)证明数列an 为等比数列的方法：定义法：9n =q(n 22,q为常数)；an2中项法：an =an,an4(n至2 )；(5)等比数列的性质若 m +n = p +q ,贝U am an =ap ,aq ；2右 m + n = 2p ,贝U am an = ap ；an、a1 = an间广奇数项ai,a3,a5,.也是等比数列，其首项为a1，公比为q2；偶数项azaa,.也是等比数列，其首项为a2,公比为q2;an

28、Nm，an 口，Hn , Hn加，Hn也m，也是等比数列； Sn，S2n -Sn，83n -Vn，S4n S3n ,，也是等比数列。.本节重点、难点(1)重点：等差数列的概念； 等差数列的通项公式。(2)难点：对等差数列的概念和通项公式的理解。.教学建议(1)用实例给出等比数列的递推定义，先用语言叙述，再用公式亘土 = q(n之1, q为常数)表达；an(2)引导学生等比数列的通项公式是an =a1qn=qn =cqn Cn/O ,是指数型函数；q q )(3)引导学生理解等比数列的首项a1 ,公比q均不等于0；(4)引导学生了理解等比数列也有递增、递减、摆动等性质；(5)引导学生用归纳的方法

29、，推导等比数列的通项公式。(6)讲解例1,巩固等比数列的定义。(7)分析通项公式与指数函数间的关系，并引导学生思考，由求和公式如何求通项公式？(8)通过例2给出了等比数列的另一个公式：an =amqnR,引导学生理解；(9)用等比中项的概念，进一步分析等比数列的性质。(10)例3,都是等比数列通项公式的灵活运用。在解数列问题中，最好明确已知及已知与未知的关系，根据列方程和 解方程的思路来解。(11)例4,已知a1, a5,未知的是公比q, a2, st, 34,依题意可列方程组& = 4g“4:4/=4/14然后解方程组求q和插入的三项，这样，可培养学生按算法步骤解问题的良好习惯。本题是应用下

30、列知识解题：an=amqn；等比数列的定义；等比中项(11)讲解等比数时，最好与等差数列类比进行，帮助学生理解所学知识；(12)练习A、B全做。练习B第2题，引导学生进一步深入思考等差数列的一些常用性质，学生完成作业后，最好课上 讨论一下，扩展学生对等差数据列的理解。5.例题分析2.2.2等比数列的前n项和1 .教学要求：(1)熟练掌握求比数列的前 n项和的公式，掌握求和公式的推导的方法；(2)掌握由初始值、增长率求总和的计算方法。2.内容分析na1 (q =1 )(n -m +1 R(q =1)(1) n 项和公式：sn=a1(1.q小，部: am (1 - q)-(q#1)：(q#1)、1

31、 -q11-q(20推导等比数列前n项和的方法：迭加法。.本节重点、难点(1)重点：等比数列前 n项和公式。(2)难点：等比数列前 n项和公式的推导和应用。.教学建议(1)推导等比数列前 n项和的方法有两种：课本使用方法：迭加法； sn = a1 +a2 +a3 +.+an =a1 +a1q +a1q2 +.a1qnA ,两边同乘以 q 得23nqsn - a1 q a1 qa1q.a1qna q n1两式相减得，(1 q Sn =a1 a1q ,故 Sn = a1 (1 -qn、-(q 0 1)11-q两种方法，都是从整体入手，构造出关于sn的方程，解方程得sn的表达式。(2)在讲求和公式推

32、导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)。培养学生逻辑思维的习惯，培养学生的代数运算技能。(3)课本开头的引例是一个很好的实际问题，要重视它人作用。(4)例1、例2、例3为求和公式的直接应用，引导学生在分析题意的基础上，正确运用公式计算，并注意一题多解， 培养学生解题能力。(5)例4为等比数列应用的一个典型例子。通过数量分析，理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法。(6)习题2-2B的3、4、5、6都有一定的难度，选做。(7)练习A B全做。习题2-3A全做，B选做。B中的第4题可选为复习课的例题。(8)建议增加一课时作全章小结。如课时允许，可增加一节习题课。要注意总结数列问题的代数方法。小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题。可适当增加。如：三角形的三内角成等差数列，试判断三角形的形状。10个正三角形的面积之已知一个边长为a的正三角形，以此正三角形的高线为边作第二个正三角形，依此类推，求前和。(9)建议通过习题课，总结归纳求