全书的版第三章习题课

1、习题课导数的应用明目标、知重点会利用导数函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)1若函数 yx22bx6 在(2,8)内是增函数，则()Ab2 Cb2ABb21sin 3x 在 x2已知 yasin x3 Aa22 3Ca 3B3处有极值，则Ba2()Da03设函数 g(x)x(x21)，则 g(x)在区间0,1上的最小值为()2 3D. 3A1B0C93Cg(x)x3x，由 g(x)3x210，解得 x1 3，x2 3 舍去)3 (3当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表：所以当 x 3时，3g(x)有最小值 g 32 3. 3 94.设函数 f(x)在定义域内可导，y

2、f(x)的图像，则导函数 yf(x)x00， 33 3 3 3，1 31g(x)0g(x)0极小值0的图像可能为()D应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像5 若 f(x) 在(a ， b) 内存在导数， 则“f(x)0” 是“f(x) 在(a ， b) 内单调递减” 的条件充分不必要对于导数存在的函数 f(x)，若 f(x)0，则 f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数 f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有 f(x)0，如 f(x)x3 在 R 上是单调递减的，但 f(x)0.题型一 函数与其导函数之间的关系 an 对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2 处的

3、切线与y 轴交点的纵坐标为an，则数列例1n1的前 n 项和的公式是2n12由 ky|x22n1(n2)，得切线方程为 y2n2n1(n2)(x2)，令 x0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0(n1)2n，所以 an 2n，n1212n an 则数列的前 n 项和 Sn2n12.n112与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键训练 1如图，曲线 yf(x)上任一点 P 的切线 PQ 交 x 轴于 Q，过 P 作 PT 垂1直于 x 轴于 T，若PTQ 的面积为2，则 y 与 y的关系满足( AyyByy Cyy2 Dy2yD)S1y|QT|1，PTQ22|QT|1，Q(x1，0)，根据导

4、数的几何意义，yyy0kPQ1 y，y2y.故选D.xxy题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例 2已知函数 f(x)ax3(a1)x248(a2)xb 的图像关于原点成中心对称求 a，b 的值；求 f(x)的单调区间及极值；当 x1,5时，求函数的最值解 (1)函数 f(x)的图像关于原点成中心对称，则 f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是 2(a1)x22b0 恒成立，a10，解得 a1，b0.b0(2)由(1)得 f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令 f(x)0，得 x14，x24

5、，令 f(x)0，得4x0，得 x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对 f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函数的最大值为47，最小值为128.与感悟 (1)函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解 f(x)0 得增区间，解 f(x)0 得减区间(2)求极值时一般需确定 f(x)0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(3)求闭区间上可导函数的最

6、值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得训练 2已知函数 yax3bx2，当 x1 时，有极大值 3. (1)求 a，b 的值；求函数的极小值；求函数在1,1的最值解 (1)y3ax22bx，当 x1 时，y|x13a2b0，y|x1ab3，3a2b0即，解得 a6，b9.ab3(2)y6x39x2，y18x218x，令 y0，得 x0，或 x1，y 极小值y|x00.(3)由(1)知，函数 yf(x)6x39x2，又 f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函数的最大值为 15，最小值为 0.题型三 导数的综合应用例 3已知函数 f(x)x3ax

7、1.若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围；是否存在实数 a，使 f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由解 (1)f(x)3x2a，因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 f(x)0 在 R 上恒成立即 3x2a0 在 R 上恒成立即 a3x2，而 3x20，所以 a0.当 a0 时，f(x)x31 在 R 上单调递增，符合题意所以 a 的取值范围是(，0(2)假设存在实数 a，使 f(x)在(1,1)上单调递减，则 f(x)0 在(1,1)上恒成立即 3x2a0 在(1,1)上恒成立，即 a3x2，又因为在(1,1)上，03x23

8、，所以 a3.当 a3 时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以 f(x)在(1,1)上单调递减，即 a3 符合题意，所以存在实数 a，使 f(x)在(1,1)上单调递减，且 a 的取值范围是3，)与感悟 在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使 f(x)恒等于 0，若不能恒等于 0，则参数的这个值应舍去；若 f(x)能恒等于 0，则由 f(x)0(或 f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定113训练 3(1)若函数 f(x)4x ax3 的单

9、调递减区间是2，2，则实数 a 的值是多少？(2)若函数 f(x)4x ax3 在2，2上是单调函数，则实数 a 的取值范围为多少？解 (1)f(x)12x2a，113f(x)的单调递减区间为1，1，221为 f(x)0 的两个根，a3.x2(2)若 f(x)在1，1上为单调增函数，则 f(x)0 在1，1上恒成立，2222即 12x2a0 在1，1上恒成立，22a12x2 在1，1上恒成立，22a(12x2)min0.当 a0 时，f(x)12x20 恒成立(只有 x0 时 f(x)0)a0 符合题意若 f(x)在1，1上为单调减函数，22则 f(x)0 在1，1上恒成立，22即 12x2a

10、0 在1，1上恒成立，22a12x2 在1，1上恒成立，22a(12x2)max3.1时 f(x)0)当 a3 时，f(x)12x233(4x21)0 恒成立(且只有 x2因此，a 的取值范围为 a0 或 a3.1若函数 yx3x2mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是()1，1A.3B.，311C.3，CD.，3若函数 yx3x2mx1 是 R 上的单调函数，只需 y3x22xm0 恒成立，即412m0，1.m32设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 yf(x)和 yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()D若函数在给定区间上是增函数，则 yf(x)0，若

11、函数在给定区间上是减函数，则yf(x)0.3设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的于 0 的可导函数，且 f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当 axf(b)g(b)Cf(x)g(b)f(b)g(x)CBf(x)g(a)f(a)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)fxgxfxgxfx由条件，得gx0.gx2fxgx在(a，b)上是减函数fb fx faa，gb xf(b)g(x)1x22x5，若对于任意 x1,2，都有 f(x)m，则实数 m 的取值范围4函数 f(x)x32是(7，)f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 x2或 x1.3可判断求得 f(x)maxf(2)7.f(x

12、)7.呈重点、现规律导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法一、基础过关1函数 f(x)xcos x 的导函数 f(x)在区间，上的图像大致是()Af(x)xcos x，f(x)cos xxsin x.f(x)f(x)，f(x)为偶函数，函数图像关于 y 轴对称，排除 C 选项由 f(0)1 可排除 D 选项而 f(1)cos 1sin 10，从而观察图像即到为A.2函数 yxcos xsin x

13、 在下面哪个区间内是增函数()3A.2， 2 B(，2)35C. 2 ， 2 BD(2，3)ycos xxsin xcos xxsin x，若 yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内 y于或等于 0 即可只有选项 B 符合题意，当 x(，2)时，y0 恒成立3已知函数 f(x) xln x，则有( Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0 在(0，)上恒成立，x2 xf(x)在(0，)上单调递增，f(2)f(e)f(3)4函数 yf(x)的图像如下图所示，则导函数 yf(x)的图像可能是()D由 yf(x)的图像知，f(x)在(，

14、0)，(0，)上都为减函数，在(，0)，(0，)上，f(x)0，函数 f(x)x3ax 在1，)上单调递增，则 a 的最大值为3由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3.396若函数 yx32x2m 在2,1上的最大值为2，则 m.2x3322x m3x 3x3x(x1)y2由 y0，得 x0 或 x1.f(0)m，f(1)m12.又f(1)m5，f(2)86mm2，2f(1)m5最大m59 m2.2.227已知函数 f(x)x3ax23x6，若 x3 是 f(x)的一个极值点，求 f(x)在0，a上的最值解 f(x)3x22ax3，由已知得 f(3)0，396a30.a5，f(x

15、)x35x23x6.令 f(x)3x210 x30，得 x11，x23.3则当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.f(x)在0,5上的最大值为 f(5)21，最小值为 f(3)3.二、能力8已知函数 f(x)、g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)的最大值为( Af(a)g(a)Cf(a)g(b)A)Bf(b)g(b)Df(b)g(a)设 F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0 时，有 f(x)0，g(x)0，则当 x0，g(x)0 Cf(x)0BBf(x)0，g(x)0Df(x)0，g(x)0 时，f(x)0，g(

16、x)0，f(x)，g(x)在(0，)上递增x0 时，f(x)递增，g(x)递减x0，g(x)1)在区间1,1上的最大值为 1，最小值为2，则 f(x)的式为f(x)x32x2111设函数 f(x)xax2bln x，曲线 yf(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)2x2.(1)解 f(x)12axbx.f10，1a0，由已知条件得即f12，12ab2.a1，解得b3.(2)证明 因为 f(x)的定义域为(0，)，由(1)知 f(x)xx23ln x.设 g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，x12x33则 g(x)12xx.x当 0 x0，当 x1 时，g(x)0 时，g(x)0，即 f(x)2x2.12已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex(xR)当 a2 时，求函数 f(x)的单调区间；若函数 f(x)在(1,1)上单调递增，求 a 的取值范围解 (1)当 a2 时，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.当 f(x)0 时，(x22)ex0，注意到 ex0，所以x220，解得 2x0，因此x2(a2)xa0 在(1,1)上恒成立，x22x1也就是 ax1在(1,1)上恒成立x1x1设 yx1 1 ，则 y1 10