弹性力学作业答案 第二章

1、第二章平面问题的基本理论2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件Mc=0,改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？解：将对形心的力矩平衡条件Mc=0,改为对角点的力矩平衡条件MD=0,列出力矩的平衡方程SMD=0：odyx1xdy+Tdxx1xdy+(o+叫dy)dxdx=x2yxydy2守更+计？+（冬+即x）dyf+,dxdy+(dx)2+dy(dx)2=Txydxdy+(dx)2+(dy)2+dx(dy)2将上式除以dxdy，合并相同的项，得到Tyx+dx=Txy+钦dy省略去微小量不记（即dOydx，dxdy为0），得出2dy2dxT=Tyxxy可以看出此关系式和对

2、形心的力矩平衡条件Mc=0解出的结果一样。弹性力学作业1=%，目U32-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了fr临血血柑*臥计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：S)A=GxTOC o 1-5 h z/、da(o)=o+xdybxdy/、do(o)D=o+dxDxd/、dodo(o)=o+xdx+xdyxCxdxdy(oy)A=oydo(oy)B=oy+乔dydo(o)=o+ydxyDydxdodo各点的切应力为：(Txy)B=Txy+營d

3、y，（唧0=%+第血（唧。=%+第血+管収弹性力学作业（Tyx）B=Tyx+管dy，（Tyx）D=Tyx+ddxxdx（Tyx）c=Tyx+ddxxdx+ddyxdy由微分单元体的平衡条件Fx=0，Fx=0得-1（ax）A+（ax）Bdy+1（ax）D+（ax）cdy-2（Tyx）A+（Tyx）Ddx+2（Tyx）B+（Tyx）cdx+fxdxdy=0，-1(Oy)A+(Oy)Ddy+1(y)B+9y)Cdy-1(Txy)A+(Txy)BdX+2(Txy)D+(Txy)dx+fydxdy=0。将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程dadTx+yx+f=

4、0，dxdyxdadTy+xy+f=0。dydxy2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-13图2-14对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应满足下列的边界条件:(ax)x=0=-pgy，HIMiy)l=ol=0；(T(ax)x=b=-pgy，川Hiy)I=l=01(T在次要边界y=0上，能满足下列边界条件：0。这两个边界位移条件用在次要边界y=h2上，有位移边界条件：uyh20vyh2圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替设板厚为1个单位jbaydxpg0yyh2jbaxdx0，0yyh2川yxdxy

5、xyh20。h1+h2b，对于图2-15中，在主要边界y=h/2上，应满足下列边界条件:ayyh/20,Tyxyh/2-q1;-q,tayy-h/2在次要边界上x=0,列出三个积分的应力边界条件：必2axxody-Fn，必2冬x0ydy-M，U-h：2Txyxody-FS。在次要边界x=l上，有位移边界条件：u用三个积分边界条件来代替。yxy-h/20 xl0，vxl0。这两个位移边界条件可以改2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：图2-17图2-16解按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件(本题不计体力)。(a)图2-16,o必q,ot0。Xb

6、2yxy相容条件：将应力分量代入相容方程得：迄+亚a+a辺工0,dx2dy2xyb2dydx满足上式。应力边界条件在x=边界上，Gx=b2q=0。xy在y=b边界上勺=0,T满足边界条件=0。yx(b)图2-17，由材料力学公式,CTyy，%=罟(取梁的厚度b=1)，得出所示问题的平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程dox+dTyx+f=0,dxdyx叫+%+f=0。y解答：叮-叱,又根据平衡微分方程和边界条件得出肚止(h2-4y2)。4lh3O=3axy-2qx3y-ax。y4lhlh321试试推导上述公式，并检验解答的正确性。推导公式：在分布力的作用下，梁发生弯曲变形，其对z轴的惯性矩为I

7、z=g，应用截面法可求出z12任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为M(x)=-2X3,Fs(x)=-qx26ls2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为Ox=于=_2供T=3Fs(x)(1_4y2)=-3q-x2(h2-4y2)oxy2bhh24lh3根据平衡微分方程得第二式營+第+fy=得到o=3qxy_2qx3y+Aoy4lhlh3根据边界条件(Oy)y=h/2=0,得A=-qx,2l所以o=3qxy_2qx3y-qxy4lhlh32l相容条件：住+篇)仇+叮=-24qxy0,lh3不满足相容方程。平衡条件：将应力分量代入平衡条件满足。应力边界条件：(匚/2=呼，(Tyx)y=-h/2=0

8、;在主要边界y=h/2上，应满足下列边界条件:(a)=0,(t)=0。yy=h/2yxy=h/2显然满足。在次要边界上x=0,外力的主矢量、主矩为0,列出三个积分的应力边界条件：/hh22(ax)x=0dy=0，J-h22(ax)x=oydy=0，/hh22(Txy)x=ody=O。在次要边界x=l上，有位移边界条件：(u)x=l=0，(v)x=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。/hh；2(ax)x=idy=ihh/2-2qxhydy=0，/hh；2(ax)x=iydy=/hh22-2qxhyydy=-qi2，严/2(Txy)dy=Jh/23q-xL(h24y2)dy=

9、。所以，满足应力边界条件。上面两题的应力分量虽然满足应力边界、条件平衡条件，但都不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-18试试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为avf=avOxydy其中V是势函数，则应力分量可表示为G=+V,CT=+V,T=理。xdy2y0 x2xydxdy试导出相应的相容方程。解：(1)将切fy代入平衡微分方得xy_d_dx_ddy(axx(ayyv)+dTyx=0,丿dyv)+%=0。dxa)为了满足式(a),可以取ax=d20=d20dy2dx2d20 xydxdy2)对体力、应力分量fxxax，ay求偏导数，得-d2Vdxdx2dfx-d2Vdxdy2d40dx2dx2dy2dx2b)d2a040dy2dy4dy2d2ay=d40+d2Vdx2dx4dx2Vfey=d40d2Vdy2dx2dy2dy2