高考数学难点突破专题辅导三

1、2009年高考数学难点突破专题辅导三难点3运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.难点磁场()三角形 ABC 中，A(5, 1)、B(-1, 7)、C(1 , 2),求：(1)BC 边上的中线AM的长；(2)/ CAB的平分线 AD的长；(3)cosABC的值.案例探究例1如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且/ CCB=/CCD=/BCD.(1)求证：C1CXBD.CD ，,(2)当 的值为多少时，能使AC，平面C1BD?请

2、给出证CC1明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 .错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法：利用a, bu a b=0来证明两直线垂直， 只要证明两直线对应的向量的数 量积为零即可.(1)证明：设 CD=a, CB=b,CC1 =c,依题意，|a|二|b|, CD、CB、CC1中两两所成夹角为 0 ,于是 BD =CD -DB =a b,

3、CC1 BD =c(a b)= c a c - b=|c| |cos0 |c| - |b|cos0 =0, .C1CXBD.(2)解：若使 AiC,平面 CiBD,只须证 AiCXBD, AiC DCi,由 CA C1D =(CA AA1) (CD -CC1)=(a+ b+ c) (ac)=|a|2+ a-b bc |c|2=|a|2|c|2+|b| -|a|cos0|b|c|- cos 0 =0,得当 |a|二|c|时，AiCXDCi,同理可证当 |a|二|c|时,AiC BD,CD=1时，AC平面CiBD.CC1例2如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi,底面 ABC中，CA=CB=1 ,

4、/BCA=90 , AAi=2, M、N 分别是 A1B1、AiA 的中 点.求BN的长;(2)求 cos 的值;(3)求证：AiBCiM. TOC o 1-5 h z 命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属级题目知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O xyz.依题意得：B(0, 1, 0), N

5、(1, 0, 1)|BN |= . (1 _0)2 (0 _1)2 (1 _0)2 = 3 .(2)解:依题意得：A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2). BA1 =(1,-1,2),CB1 =(0 , 1, 2)BA CB =1 X 0+(1)X 1+2X 2=3函 |= .(1 -0)2 (0 -1)2 (2 -0)2 61cBi |= (0 -0)2 (1 一0)2 (2-0)2 = ,5 TOC o 1-5 h z 京BA1 CB；330.cos : BA1, CB1 =：|BC1 | |CB1 | 一 6 飞5101(3)证明：依题意得：C1(0,

6、0, 2), M(- -,2)2-1 1C1M=(一, ,0),AB=(-1,1,-2)2 2- 11 AB C1M =(-1) 1 1 1 (-2) 0=0,. A1B _ C1M ,22A1BXC1M.锦囊妙计.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地 进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问

7、题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？歼灭难点训练一、选择题 TOC o 1-5 h z .()设 A、B、C、D 四点坐标依次是(一1, 0), (0, 2), (4, 3), (3, 1),则四 边形ABCD为()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形15一 ,.()已知

8、 ABC 中，AB = a, AC = b, a - b0,字abc=,|a|=3,|b|=5则 a 与 b4的夹角是()A.30B.150C.150D.30 或 150二、填空题3d十)将二次函数 y=x2的图象按向量 a平移后得到的图象与一次函数y=2x- 5的图象只有一个公共点(3, 1),则向量a=.( )等腰 ABC和等腰RtABD有公共的底边 AB,它们所在的平面成 60角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,贝U CD=.三、解答题.(jkkkkk )如图，在 ABC 中，设 AB=a, AC = b, AP =c,AD = a a,(0 1), AE =科 b(0 科 1)

9、,试用向量 a, b 表示 c.(* )正三棱柱 ABCAiBiCi的底面边长为 a,侧棱长为2 a.建立适当的坐标系，并写出A、B、Ai、Ci的坐标;(2)求ACi与侧面ABBiAi所成的角.()已知两点 M(1, 0), N(1, 0),且点 P 使 MP MN,PM PN,NM NP 成 公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为PM.与PN的夹角，求tan。.&.()已知E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA的 .(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；(2)用向量法证明：BD /平面EFGH ;(3)设M是E

10、G和FH的交点，求证：对空间任一点 。，有OM =(OA+OB+OC+OD).4参考答案难点磁场1 17 2 99解：(1)点 M 的坐标为 Xm=0;yM =一,，M(0,一)2222j.|AMt(50)2+(1 告2 =等(2)|AB|=.(5 1)2 (-1 -7)2 =10,|AC |= (5-1)2 (-1 -2)2 =5D点分BC的比为2.-1 2 117 2 2 11xd= -, y d =二一 TOC o 1-5 h z 1 231 231 211214 -|AD|=.(5- )(-1- ) =.2.勺 333/ABC 是 BA 与 BC 的夹角，而 BA =(6 , 8),

11、BC =(2 , -5).BA BC.cosABC =|BA|BC|6 2 (-8) (-5)；62 (T)222 (-5)252_ 262910.29145歼灭难点训练、1.解析：AB =(1 , 2), DC =(1,2),，AB = DC , . . aB / DC ,又线段 AB 与线段DC无公共点，.AB / DC且|AB|=|DC|, .ABCD是平行四边形，又| aB|= J5 , AC =(5 ,3), |AC|=d34 ,|AB|w|AC,ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4 , 1),1 4+2 1=60,/. AB不垂直于 BC , .ABCD也不是矩形，故

12、选 D.15 12.解析： =1 , 3 , 5sin a 得 sin a1 1 .=,贝U = =30 或 a =150 .2答案：D42又 a bv 0,.,. a =150答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：: BP 与 BE共线，BP=m BE=m(AE - AB)=m( b- a),AP = AB+ BP = a+m(科 b a)=(1 m)a+m 科 b又 CP 与 CD 共线，CP=nCD=n( AD AC)=n(入 ab),AP = AC + CP = b+n(入 a b)=n 入 a+(1 n)b由，得(1 m) a +mb= n na+(1 n)b.a与b

13、不共线，1 m = 7a即/ =1 -n, n m 1 = 0n Jm -1=0解方程组得:m=l-,n1 一11代入式得 c=(1 m)a+m科b=1 . 1 港入(1 w )a+科(1 入)b.6.解:(1)以点经过原点且与平面A为坐标原点O,以AB所在直线为 Oy轴，以AA1所在直线为 Oz轴，以ABB1Al垂直的直线为由已知，得 A(0, 0, 0), B(0, a,0)Ox轴，建立空间直角坐标系.3 a ，ai(0,0, v2 a),C1(一a,2, v2 a).(2)取AiBi的中点M,于是有 M(0, V2 a),连 AM, MC i,有 MC1 =(a,0,0),且的=(0,

14、a,0) , AA1=(0,0 2 a)由于MC1 AB =0, MC1 AA1 =0,所以MC面ABB1A1,，AC1与AM所成的角就是ACi与侧面ABBiAi所成的角. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document AC =(-a,a, ,2a),AM =(0，亘，.2a), 1222 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document a2 29ACi AM = 0 , 2a = -a HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 44而 | AC1 |

15、=3a2 1a2 2a= J3a,| AM | 二2a da, 42.3所以八5与AM所成的角，即 AC1与侧面ABB1A1所成的角为30 .7.解：(1)设 P(x,y)，由 M( 1, 0), N(1 , 0)得，PM =- MP =( -1-x,-y) , PN = NP=(1 -x,-y), MN =- NM =(2,0),，MP MN =2(1 +x), PM PN =x2+y21,NM NP =2(1是，MP MN,PM PN, NM NP是公差小于零的等差数列，等价于x2 y = 3x 0卜2 +y2-1=；2(1+x)+2(1x)即, (2(1 -x) -2(1 +x) 0所以

16、，点P的轨迹是以原点为圆心， J3为半径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0) TOC o 1-5 h z PMPN=X02y02-1 =2,|PM | |PN| 二 J(1x)2v；, (1 -X0)2v：4 (4 2xo)(4 -2xo) =2,4-X02PM PN 1COS1=：-|PM | PN4-X02一 10 ： x0 _3,.:二 cost1 1,0 t1 :二一, 232 .I. sin 2.sin 1 - . 1 -cos 1 - 1 2 ,. tan =： = 3 x0 =| y0 |4 - x0cos?一一 一. 1 8.证明：(1)连结 BG,贝U EG =EB + BG = EB+3(BC + BD) = EB + BF +EH = EF +EH由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中1 BD = EH )21 一 1 1 一 一 1 TOC o 1-5 h z (2)因为 EH =AH -AE = AD AB =(AD - AB) = BD . 2222所以 EH / B