得意忘形——教材处理的最高境界

1、高度相关的论文苏教版函数的图像的教材处理建议发表于中学数学月刊2015年10期“得其意，忘其形”苏教版函数的图像的教材处理建议吴宝莹 （江苏省锡山高级中学，江苏无锡 214174）普通高中数学课程标准（实验）（以下简称课标）是由教育部制订的纲要性文件，从课程基本理念、设计思路、内容标准、实施建议（教学、评价、教材编写）等方面进行了阐述它是教材编写、教学组织、考试评价的重要依据，是课程改革实践的方向在课标框架下，允许“一标多版”（人教A版、人教B版、苏教版、北师大版、湘教版和华师大版等），各种版本的教材编写的风格各不相同，以适应个性选择这种“一标多版”实际上是“得其意”领悟与把握标准的本质精神而

2、“ 忘其形”不拘泥于教材的版本形式同样，教师在使用某种版本的教材进行教学设计时，也可以在充分吃透教材根本要义的前提下“得其意，忘其形”， 根据所教授学生的实际情况，不拘泥于教材内容的安排，创造性的使用教材，用教材教，而不是教教材，这是数学教学的最高境界下面就以苏教版高中数学教材必修4中函数的图象为例说明教材的组织形式问题情境意义建构数学理论数学运用学生活动苏教版高中数学教材的组织形式一般是：本节课也不例外，教材首先创设问题情境：物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如的函数，如物体做简谐运动时，物体的位移S与时间t的关系为： 教材由实际问题引起认知需求，引入课题然后提出问题：函数的图像与

3、的图像有什么关系？通过具体例子，学生逐步研究这一问题，得到三种三角函数图像变换（平移变换、周期变换、振幅变换）的基本理论，最后是数学运用教材研究的顺序（1）平移变换：由的图象如何变换得到的图象；（2）振幅变换：由的图象如何变换得到的图象；（3）周期变换：由的图象如何变换得到的图象；（4）研究由的图象如何变换得到的图象领悟教材之“意”本节课的数学具体应用是研究由的图象如何变换得到的图象，教材研究函数的图象的策略与方法是由特殊到一般、化整为零、分解难点、各个击破这就是教材之“意”所在！教材的处理建议笔者在充分研究教材，“得其意”的前提下，“忘其形”，对教材的上述安排做了以下处理：平移变换：把“”改

4、为“”教材用“由函数的图象的图象”作为平移变换的例子，最大的好处是，在用五点法列表时，明显地可以看出函数的图象上点的横坐标减去1后对应于函数的图象上的点（纵坐标不变），所以，函数的图象可以看作是由函数的图象上的所有的点向左平移1个单位而得到的但是，用这个例子也有其明显的缺点，就是在“五点法”作图中，函数的五个点的横坐标分别是，学生在描点时不太容易准确地确定点的位置，从而图像画不好，可能会误导平移变换正确结论的形成笔者把教材中的平移变换的例子换成“由函数的图象函数的图象”就很解决了这个问题，而且从列表中也容易看出二者相应的点横坐标之间的关系，更重要的是，这个平移变换就是本节课的数学具体应用（研究

5、由的图象如何变换得到的图象）的其中一步，很好地体现了研究问题的连续性与整体性把教材第二步研究振幅变换与第三步研究周期变换互调教材中研究由的图象如何变换得到的图象，无论是先作周期变换后平移变换，还是先作平移变换后周期变换，都是由的图象变换到的图象以后，最后再作振幅变换：由的图象得到的图象所以，把振幅变换调后比较符合学生的认知顺序把教材第四步研究内容前置，使同类问题及时解决，为后面知识整合扫除障碍其一，把“由函数的图象函数的图象”的研究置前到第一步平移变换中，因为它实际上属于平移变换，不是什么新的变换，当然这个问题有一定的难度，这里要舍得给学生时间，让他们充分思考与讨论，也可以做一个铺垫：“由函数

6、的图象函数的图象”，再进一步总结，一般地由函数的图象函数的图象的变换方法 其二，“由函数的图象函数的图象”的研究放在第二步周期变换的研究中，因为这个变换同样属于一种变换，不是新变换，最后总结出，一般地由函数的图象函数的图象的变换方法（） 增加结论的逆用与变用为了全面地对学生的思维进行训练，比教材上多增加了一些结论逆用和变用的练习如逆用题组：为了得到y=sinx的图象，只需把y=sin(x+)的图象上所有的点向_平移_个单位；为了得到y=sinx的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点_；为了得到y=sinx的图象，只需把y=2sinx的图象上所有的点_ _再如变用题组：把函数的图象向右平移

7、个单位，所到得的图象的函数解析式为 ，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），则所到得的图象的函数解析式为 为了得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象上的所有的点 （） 布置挑战性的探究问题鼓励学生从的图像变换到的图像，推广到一般意义上的函数图像变换：从函数的图象变换到函数的图像,（其中）；教学中注重学生的理解性学习“理解”即“解其理也”，教学中注重学生理解性学习本节课的重点和难点在于第一步平移变换，这一种变换理解清楚了，其他的几种图象变换完全可以类比，就容易多了 如果把平移变换的例子改为“”按照原来的平移变换的例子“”，教材应当这样处理：“函数图象上横坐标为的点的纵坐标

8、，与函数图象上横坐标为的点的纵坐标相同因此，函数的图象可以看作是由函数的图象上的所有的点向右平移个单位而得到的”这种处理方法过于学术化，学生不易理解为了帮助学生理解，笔者运用了“相当于”的方法：教师引导学生观察分析与两个函数解析式的结构特点，不难发现，从结构上看，中的作为一个整体相当于中的，而纵坐标不变，即点的高度不变，这说明是左右平移，而且平移后的横坐标要大，而且大（因为它减去后才相当于中的），所以，函数的图象可以看作是由函数的图象上的所有的点向右平移个单位而得到的事实上，就是令，函数的图象上的点对应于函数图象上的点，但这种换元法是冷冰冰的学术形态，远不如“相当于”的方法更接近于学生容易理解

9、的教育形态6 引导学生数学地思考现实事物由函数的图象变换到函数（其中）的图象，先作周期变换后作平移变换与先作平移变换后作周期变换，两种不同的方法中平移的幅度不一样,为什么？能不能从生活中举例说明？关于以上问题可以这样理解：周期变换实际上是伸压变换，要比平移变换高一个等级，周期变换变换得更“厉害”一些，所以，先作周期变换后作平移变换比先作平移变换后作周期变换，平移的幅度要来得小一些正如一件纯棉长裤，先缩水（相当于周期变换）再裁剪（相当于平移变换）与先裁剪再缩水，两种不同的方法中，因为缩水较为厉害，前者裁剪的幅度要小一些才能与后者最终达到相同的大小尺寸事实证明，以上“得其意，忘其形”，不拘泥于教材

10、内容的安排的使用方法取得较好的教学效果但是，要注意的是不拘泥于教材内容的安排的前提是“得其意”，即要准确领悟把握教材内容安排的根本要义，否则可能是弄巧成拙如椭圆的标准方程是解析几何中圆锥曲线的起始课，新课标实验教材的设计意图是遵循了椭圆发展的历史：公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年约公元前190年）在 HYPERLINK /view/1182424.htm t _blank 圆锥曲线论中采用平面截对顶的圆锥得到椭圆，并由多个命题导出椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质17世纪荷兰数学家舒腾（FvanSchooten,16151660）利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质，给出椭圆的画法直到1822年比利时数学家旦德林（GPDandelin，17941