高等数学知识点睛

1、极限和连续知识点睛一、主要知识点1、要理解和熟记六类基本初等函数的常用极限，具体如下：2、要正确使用以下极限的四则运算法则：则：3、无穷小量定义：称以零为极限的变量为无穷小量。运算性质：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。3)阶的比较：【注】八个常用的等价的无穷小量：4)无穷小的等价代换4、无穷大量定义：称绝对值无限增大的变量为无穷大量。无穷大量与无穷小量的关系互为倒数。5、两个重要极限6、函数的连续性设函数f(x)在点x0连续，必须满足以下三个条件：(1)f(x)在x0有定义，即f(x0)存在;初等函数的连续性由基本初等函数在其定义区间上的图形都是一条连续不断的曲线，可知基本初等函数在其定

2、义区间上必连续。因而由基本初等函数经过加、减、乘、除运算构成的简单初等函数在其定义区间上必连续，因而由基本函数或简单的初等函数经过乘方、开方、指数、对数、三角、反三角运算构成的复合函数在其定义区间上必连续。因而这一切初等函数在其定义区间上必连续。二、典型例题和解题思路1、数列的极限（1）有理式求极限（只看最高次项）典型例题：.（2）恒等变形分子有理化典型例题：拆项三、函数的极限1、多项式求极限（直接代入）典型例题：2、有理式求极限趋向定点时有理式求极限（先代入分母，再代入分子）趋向无穷时有理式求极限（只看最高次项）分子、分母有理化3、无穷小的性质及无穷小的比较（1）无穷小的性质（2）无穷小的比

3、较典型例题：为等价无穷小。（3）无穷小的等价代换4、两个重要极限（1）、第一个重要极限:【注】如果是第一个重要极限的小题（选择或填空题），第一个重要极限的问题用等价代换更为简便。四、函数连续性典型例题：函数处是否连续？典型例题：解因为连续，所以处有极限并且都等于函数值(左右连续)：【注】如果是连续的填空题、选择题，可把分段点直接代入两个表达式，他们的值相等就可以得到待求的常数。微分知识点睛(导数与微分)知识结构：求 导 法 则基本公式导 数微 分 关 系高阶导数必备基础知识 导数的定义（增量比值的极限）（也可记为, 或. ） 可导性与连续性的关系可导连续有极限注：函数在某点处连续是函数在该点处

4、可导的必要条件，但不是充分条件. 导数的几何意义函数在点x0处的导数在几何上表示曲线在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率. 切线方程为：法线方程为： 导数公式（必须牢记）(1) (C)=0, (2) (x)= x-1,(3) (sin x)=cos x, (4) (cos x)=-sin x,(5) (tan x)=sec2x, (6) (cot x)=-csc2x,(7) (sec x)=sec xtan x, (8) (csc x)=-csc xcot x,(9) (a x)=a x ln a, （10）(e x)=ex,(11) , (12) ,(13) , (14) . (15)

5、, (16) . 函数的和、差、积、商的求导法则 复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）定理3 若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为 或 隐函数的导数（牢记是的函数）如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)。步骤：（1）方程两边同时对x求导（注意是的函数）（2）解出 对数求导法：先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数. 高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）y=(y), f (x)=f (x) . 微分1) 微分的定义定义 设函数在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数

6、的增量可表示为： 其中A是与无关的常数, 则称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即 2) 函数可微的条件定理 : 函数在点可微的充要条件是：在点处可导,且即。主要考察知识点和典型例题：考点一：导数的概念典型例题： 设存在, 求极限解：【注】 这种题目一般只出填空或选择，我们可以按以下方法解题：这种题目的结果均为：，其中等于分子中的个数除以分母中的个数。考点二：导数的几何意义切线方程为：法线方程为：典型例题： 求曲线在点处的切线方程.解 因为 故所求切线方程为 即典型例题：已知在处的切线平行于直线，则=_。解 先求在处的切线的斜率：，所以。由于切线平行于直线，

7、而已知平行直线的斜率，所以斜率相等，即：，。考点三：函数和、差、积、商的求导法则的和、差、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,典型例题： , 求f (x)及. 解: , . 考点四：复合函数的求导法则（从外到里层层求导，外面求导，里面不变）重点【注】复合函数求导首先要弄清楚它是由哪些基本初等函数复合而成的，即弄清楚复合函数的每一层。典型例题：求的导数.解：是由、两个初等函数复合而成的，也就是有两层：第一层是正弦函数，第二层是幂函数，所以：典型例题：设函数，求。解 考点五：隐函数的导数（牢记是的函数）如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)。例：

8、， 步骤：（1）方程两边同时对x求导（注意是的函数）（2）解出典型例题： 求由方程所确定的函数在点处的切线方程.解 在题设方程两边同时对自变量求导，得解得，在点处，于是，在点处的切线方程为：，即考点六：对数求导法（） 一般性掌握典型例题： 设 求 .解： 等式两边取对数得：两边对求导得：考点七：参数方程表示的函数的导数重点设，则 典型例题：求由参数方程 所表示的函数的导数.解： 往年真题： 设 ，求.解： ，考点八：高阶导数（从低阶到高阶逐阶求导）重点典型例题： 设, 求解 考点九：微分 典型例题： 求函数的微分.解 因为所以 往年真题：设，求.解 因为，所以 微分知识点睛（导数的应用）知识结

9、构：洛必达法则函数的单调性，驻点函数的极值与最值,函数的凹凸性,拐点。导数的应用必备基础知识型与型未定式型: 型： 函数的单调性的判别定理设函数在a, b上连续, 在(a, b)内可导.(1) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调增加;(2) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调减少. 极值定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x0(a, b). 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 最值定义 设函数f(x)在区间上有定义，对，如果在恒有f(

10、x)f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个最小值. 凹凸性的定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 主要考察知识点和典型例题：考点一：运用洛必达法则求极限：洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法，主要用来求解或的未定式的极限，以及可以转化为或的未定式0 、-的极限。近年考察较为简单，主要是考查：直接用洛必达法则或的未定式的极限。要求：（1）拿到一个极限题首先就要代入，看是不是未定式，是那种类型的未定式。 （2）如果是未定式，则

11、可以考虑洛必达法则典型例题：求解 往年真题：求 .解 【注】（1）有时一次洛必达法则不能得到极限值，而是得到一个未定式，则可以用多次。（2）对于型，可利用通分化为型的未定式来计算.（3）对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算. （4）洛必达法则可以和其他求极限方法，尤其是等价代换，混合在一起来用。典型例题： 求解 当时, 故考点二：函数单调性的判别（单调区间和驻点）函数的单调性是一种非常重要的特性，利用导数判别单调性是一种快捷有效的手段，本部分内容主要考查：求函数的单调区间以及函数的驻点、利用单调性证明不等式。1、求函数的单调区间以及函数的驻点步骤：（1）确定函数的定义域；（2

12、）求单调增加和单调减少的可能的分界点：导数为零的点（驻点）和导数不存在的点，即：的点和不存在的点。（3）利用上述点去划分定义域，然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号，从而确定函数的单调性。要求：（1）理解单调性、单调区间和驻点的概念；（2）掌握判别单调性的方法一阶导数法。典型例题：确定函数的单调区间. 解 （1）（2）: 驻点；不存在的点，没有。（3）1200驻点驻点函数在上单调增加；上单调减少；在上单调增加；单调区间为往年真题：函数的单调增加区间是_.解 因为：，要想使单调增加，需使:0，即：，所以函数的单调增加区间是【注】（1）可能的分界点包括驻点和不可导点。 2、利用单调性证明不等式思

13、路：见到不等式的证明题，一般就是和单调性有关，其关键是构造一个函数，证明其在某个区间上单调增或单调减即可。典型例题：当时， 试证成立.证 设则在上连续，且在内可导， 在上单调增加， 当时，即证毕.考点三：函数的极值重点函数的极值包括极大值和极小值，是一个局部概念，一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法：第一充分条件 一阶导数法和第二充分条件 二阶导数法。主要考查：求函数的极值点和极值。1、第一充分条件 一阶导数法步骤(1) 确定函数的定义域;(2) 求可能的极值点：求其导数，解方程求出的全部驻点与不可导点;(3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极

14、值点;(4) 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.典型例题：求出函数的极值.解 （1）（2）,令得驻点（3）列表讨论如下：00极大值极小值（4）所以, 极大值极小值【注】 （1）函数可能的极值点为驻点和不可导点（或不存在的点）。（2）一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值，其步骤和判别单调性相似。2、第二种充分条件二阶导数法第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值，可利用函数的凸凹性记忆。设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)0, 那么(1) 当f (x0)0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 典型例题：求出函数的极值.解 令得驻点又故极大值故

15、极小值【注】时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断. 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.考点四：函数的最大值和最小值（重点）函数的最值是常考的知识点，主要包括：函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（函数的最大值在极值点和端点取得）典型例题：求在上的最大值与最小值.解 解方程得计算 比较得最大值 最小值2、实际问题中的最值问题典型例题：设抛物线与轴的交点为，在他们所围成的平面区域内，以线段为下底做内接等腰梯形

16、，设梯形的上底长为，面积为。a)写出的表达式；b)求的最大值。解：（1）先求交点，由，解得，所以交点的坐标分别为，所以：（2），得到或（舍去）；由所给问题得实际意义知： 时，达到最大，最大值。考点五：曲线的凹凸性的判别（凹凸区间和拐点）确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: (1) 求函数的二阶导数；(2) 令，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.典型例题：求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-, +); (2),

17、; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判断: 在区间(-, 0和2/3, +)上曲线是凹的, 在区间0, 2/3上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 往年真题：曲线的拐点坐标为_。解：，令y=0, 得因为当时, y0; 当时, y0,所以点(0,)是曲线的拐点.考点六：求曲线的渐近线（作为了解即可）在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。1、水平渐近线：若 ，则直线为水平渐近线例：铅直渐近线：（其实就是分母为零而分子不为零的点）若 ，则直线为铅直渐近线例、求渐近线解： 为水平渐近线 垂直渐近线。（时分母为零而分子不为零）例 求函数的渐近

18、线.解 得水平渐近线 得铅直渐近线（时分母为零而分子不为零）一元函数积分学知识点睛（不定积分）知识结构：积分法原 函 数选择u方法基本积分表第一换元法 直接积分法分部积分法不 定 积 分第二换元法必备基础知识 原函数是定义不定积分的基础概念，要理解原函数的概念，搞清楚原函数和导数的关系。F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 那么函数F(x) 就称为f(x) (或f(x)dx) 在区间I上的一个原函数 掌握不定积分的概念，理解不定积分就是所有的原函数，求不定积分就是求所有的原函数。即： 理解微分和积分的关系 ， 熟练掌握基本积分表，尤其注意第二和第三个公式，往年的试题中有直接考查积分公

19、式的题目。(1)(k是常数) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 掌握不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即 性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即: (k是常数 k 0) 分部积分法原则 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 的确定原则从上面例子可以看出，的确定是进行分部积分的关键，一般情况下有以下法则：反对幂三指，前为后为；与结合变为主要考察知识点和典型例题：考点一：原函数和不定积分概念题近年主要考查：已知一个函数的原函数求函数或其导数；

20、基本积分公式等内容。典型例题 已知是的一个原函数，则_。解： 是的一个原函数，即： 典型例题： 考点二：不定积分的直接积分法：就是利用不定积分的基本性质和基本积分表来计算简单函数的不定积分。要求：在熟练掌握不定积分的性质和基本积分表的基础上，灵活运用各种方法解决简单函数的不定积分问题。典型例题：_。解：往年真题：( B )A B C D解：，故选B。考点三：换元积分法换元法是算不定积分的一种非常重要的方法，包括第一和第二两种换元方法，其中第一换元法是考察的重点。1、第一换元法（凑微分法）（重点）第一换元法是计包括直接凑和间接凑两种方法。（1）、直接凑要求不定积分，首先考虑能否用公式，即能否直接

21、用公式，基本公式中没有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接凑。特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式典型例题：求不定积分（和比较接近）解：往年真题：计算（凑公式）解：【注】 积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的，所以做题时要凑成一致的。（2）、间接凑间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分，变形，可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分，再凑公式。特点：被积函数中含有导数关系。典型例题：（的导数是）解：.往年真题：计算解： 2、第二

22、类换元法第二换元法的主要目的是为了去掉被积函数中的根号，常用的方法有根式换元和三角换元。（1）、根式换元（重点）特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁。典型例题： 求. （含有根号，基本公式中没有相同或相近的）解 设, 即（根号被去掉）, 则. （2）、三角换元（方法较难，一般不考，主要作为了解）特点：被积函数中含 根式换元不能去掉根号。结论：三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令 b) 可令 典型例题： 求(a0). 解: 设x=a sin t , , 那么, dx =a cos t d t , 于是. 因为, , 所以. 考点四：分部积分法分

23、布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分，当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。典型例题：计算不定积分解 令典型例题： . 【注】 （1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。（2）有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。考点五：简单有理函数（先分项，再积分）求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.典型例题 计算 .解 先分项： 设 ，即：再积分： 一元函数积分学知识点睛（定积分）知识结构：必备基础知识定积分的定义：设在上有界理解即可（1）大化小（把大

24、曲边梯形分为n个小曲边梯形）：,在中任意插入若干个分点：，把区间分割成n个小区间,各小区间的长度依次为.（2）常代变（用小矩形近似的代替每一个小曲边梯形）：在每个小区间上任取一点作函数值与小区间长度的乘积,（3）近似和（n个小矩形的面积之和近似的等于大曲边梯形的面积）：作和式（4）取极限（无限细分，得到大曲边梯形的面积）：记如果不论对怎样的分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数在区间上的定积分,记为，其中叫做被积函数,叫做被积表达式,x叫做积分变量,叫做积分区间.定积分的几何意义：理解即可在区间a,b上,当f(x)0时,积分在几何上表示由曲线

25、y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;定积分的性质红色部分要掌握两点规定:(1)当a=b时,.(2)当ab时,.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即：.性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即：.性质4如果在区间ab上f(x)1则：.性质5如果在区间a,b上f(x)0,则：(ab).推论1如果在区间a,b上f(x)g(x)则：

26、(ab).推论2(ab).性质6设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值,则(ab).性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立:.积分上限函数设函数f(x)在区间a,b上连续,并且设x为a,b上的一点.我们把函数f(x)在部分区间a,x上的定积分称为积分上限的函数.它是区间a,b上的函数,记为：F(x),或F(x)=.积分上限函数的导数定理如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数F(x)在a,b上具有导数,并且它的导数为：F(x)(axb).牛顿-莱布尼茨公式定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b

27、上的一个原函数,则.此公式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.无穷区间上的广义积分的概念（1）函数在无穷区间a,+)上的广义积分的定义：.在广义积分的定义式中,如果极限存在,则称此广义积分收敛;否则称此广义积分发散.（2）函数在无穷区间(-,b上的广义积分的定义：（3）函数在无穷区间(-,+)上的广义积分的定义：主要考察知识点和典型例题：考点一：变上限积分求导变上限积分主要考查它的求导性质，考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导，主要的考查题型是：直接给一个变限积分，进行求导；定积分求导；含有变限积分的极限问题。典型例题求.解根据变上限积分的求导公式，变上限积分求导就等于被积函数：典

28、型例题解：解此题需要注意，不是积分上限函数，而是常数，所以0。典型例题求.(分析:这是型不定式,应用洛必达法则.)解故考点二：利用莱布尼兹公式直接计算根据牛莱公式，计算定积分就是计算不定积分，区别在于不定积分加常数C,定积分加积分区间，定积分的计算方法和不定积分的计算方法没有什么区别，只需要注意积分限的变化。典型例题解由于arctanx是的一个原函数,所以考点三：第一换元法（凑微分法）（积分上下限可保持不变）定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。（1）直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）典型例题解：sin2x（2）间接凑（先凑微分，再凑公式

29、）（被积函数中含有导数关系）重点典型例题计算定积分（的导数是）解：往年真题_解：典型例题设为连续函数，试证：证：考点四：第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）（1）根式换元需要掌握特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁典型例题求定积分解令则当时，当时，从而（2）三角换元作为了解特点：被积函数中含根式换元不能去掉根号结论：三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有a)可令b)可令00典型例题求定积分解令则由换元积分公式得【注】（1）由于换元中积分变量发生了变化，所以其对应的积分上下限也会发生变化，定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化；（2）定积分的计算

30、不需要回代。考点五：定积分的分部积分法或.定积分的分部积分法主要是用来计算两个函数乘积的定积分，计算过程和不定积分的分部积分没有什么大的区别，只是要注意积分过程中得到的每一部分都有积分上下限。典型例题计算解：考点六：利用函数的奇偶性计算利用函数的奇偶性计算定积分是一种特殊的计算定积分的方法，一般常见于填空和选择题，做题时主要是注意其使用条件和结论。【注】（1）积分区间必须关于原点对称；（2）被积函数必须具有奇偶性。定理：当在上连续,则(1)当为偶函数,有;(2)当为奇函数,有.典型例题（B）。ABCD解：在积分中，积分区间-1,1关于原点对称，被积函数为奇函数，所以0。考点七：无穷区间上的广义

31、积分一般性掌握无穷区间上的广义积分是积分学中的一种特殊情况，往年考查较少，掌握时主要侧重计算简单函数的广义积分即可。解题思路：其定义就是计算方法：先把积分中的无穷换作常数，计算一个定积分，然后令常数（、），取极限即可。典型例题计算广义积分解题思路：先把换成任意常数，计算定积分，然后令，取极限解：对任意的有于是因此典型例题讨论广义积分的敛散性解因此，当时，题设广义积分收敛，其值为当时，题设广义积分发散.【注】这个题目的计算过程不是重点，主要是记住这个结论。一元函数积分学知识点睛（定积分的应用）知识结构：必备基础知识平面图形的分类上下结构：平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右

32、两条直线x=a与x=b所围成特点：（1）平面图形上下是两条曲线y=f上(x)和y=f下(x)，左右是两条直线x=a与x=b；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是y=f下(x)，出来区域交的是y=f上(x)左右结构：平面图形由左右两条曲线x=左(y)与x=右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。特点：（1）平面图形左右是两条曲线x=左(y)和x=右(y)，上下是两条直线y=d与y=c；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是x=左(y)，出来区域交的是x=右(y)。旋转体的概念旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转

33、体都可以看作是由连续曲线、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体主要考察知识点和典型例题：考点一：平面图形的面积计算上下结构的平面图形的面积：y=f上(x)、y=f下(x)、x=a、x=b.法则：被积函数上减下，积分区间看左右。步骤(1)画图；(2)确定在x轴上的投影区间：；(3)确定上下曲线：；(4)计算积分：。典型例题计算抛物线、所围成的图形的面积。解(1)画图(2)确定在x轴上的投影区间:01(3)确定上下曲线.(4)计算积分左右结构的平面图形的面积：x=左(y)、x=右(y)、y=d、y=c。.法则：被积函数右减左，积分区间看上下。步骤(1)画图；(2)确定在

34、y轴上的投影区间：；(3)确定左右曲线：x=左(y)、x=右(y)；(4)计算积分：。典型例题计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积解(1)画图；(2)确定在y轴上的投影区间：-24；(3)确定左右曲线：；(4)计算积分：。考点二：旋转体的体积旋转体的体积为：注：求旋转体的体积，关键在于确定边缘曲线，其实就是与旋转轴相对的那条曲线。典型例题（1）求曲线、，所围成的平面图形的面积。解(1)画图（可以看成上下结构），把图形拆成和。(2)确定在x轴上的投影区间:01,12(3)确定上下曲线：.：(4)计算积分（2）：求（1）中平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。解：平面图形绕轴旋转

35、，其边缘曲线由两条，分别为：与。旋转体的体积为：。空间解析几何必备基础知识平面的点法式方程n=(ABC)平面的一般方程n=(ABC)特殊的平面方程（缺谁就平行于谁）Ax+By+Cz=0：D=0平面过原点By+Cz+D=0：n=(0BC)法线向量垂直于x轴,平面平行于x轴Ax+Cz+D=0：n=(A0C),法线向量垂直于y轴,平面平行于y轴Ax+By+D=0：n=(AB0),法线向量垂直于z轴,平面平行于z轴Cz+D=0：n=(00C),法线向量垂直于x轴和y轴,平面平行于xOy平面Ax+D=0：n=(A00),法线向量垂直于y轴和z轴,平面平行于yOz平面By+D=0：n=(0B0),法线向量

36、垂直于x轴和z轴,平面平行于zOx平面平面的关系设有两平面和：可推出：（1）的充要条件是；（2）的充要条件是（3）重合的充要条件是空间直线的一般方程（就是两个平面方程构成的方程组）.(1)空间直线的对称式方程（关键是找到一个点和一个方向向量）直线的关系设有两直线：L1L2其中，分别是直线，的方向向量，则：（1）的充要条件是；（2）的充要条件是直线与平面的关系设有一条直线和一个平面，其方程分别为：直线的方向向量s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则：（1）的充要条件是（2）的充要条件是简单的二次曲面主要考察知识点和典型例题：考点一：求平面的方程典型例题求通过x轴和点(4,-3

37、,-1)的平面的方程.解平面通过x轴,一方面表明它的法线向量垂直于x轴,即A=0;另一方面表明它必通过原点,即D=0.因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4,-3,-1),所以有-3B-C=0,或C=-3B.将其代入所设方程并除以B(B0),便得所求的平面方程为y-3z=0.往年真题：过原点且与平面平行的平面方程为_。解：由于平面通过原点，即D=0。因此可设这平面的方程为：又因为所求平面与已知平面平行，所以已知平面的法向量n=(2，1，3)可以作为所求平面的法向量，即：所以平面方程为：考点二：求直线方程典型例题求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线

38、方程.解平面的法线向量n(2,-3,1)可以作为所求直线的方向向量s.由此可得所求直线的方程为.往年真题：过点（1，1，0）与直线垂直的平面方程为_。解：因为所求的平面与直线垂直，所以，直线的方向向量s=(1，2，3)可以看作所求平面的法向量n。又因为所求平面过点（1，1，0），所以由平面的点法式方程得：。多元函数微分学知识点睛知识结构：必备基础知识偏导数的概念（增量比值的极限）几元函数就由几个偏导数（1）函数在点处对的偏导数=（2）函数在点处对的偏导数=全微分的定义如果函数在点(x，y)的全增量Dz=f(x+Dx，y+Dy)-f(x，y)可表示为，其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关

39、，则称函数在点(x，y)可微分，而称ADx+BDy为函数在点(x，y)的全微分，记作，即=如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分。全微分存在的充分必要条件（必要条件）：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为：（充分条件）如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分习惯上，记全微分为：二阶偏导数（1）纯偏导一阶偏导对,二阶偏导还是对一阶偏导对,二阶偏导还是对（2）混合偏导一阶偏导对,二阶偏导对一阶偏导对,二阶偏导对二元函数的极值定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y)

40、,都有f(x,y)f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点。主要考察知识点和典型例题：考点一：偏导数的计算（对谁求偏导，谁是变量，其余看成常数）根据偏导数的定义，偏导数的本质是增量比值的极限，而增量中只有一个变量发生了变化，其余的变量不变（不变就是常数），所以求偏导数的方法和求导数的方法是一样的。典型例题求在点处的偏导数解:（1）对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：（2）对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：往年真题设函数，则等于(A)ABCD解是对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：

41、考点二：全微分计算（求全微分就是把所有的偏导数都求出来，乘上相应变量的微分后相加）典型例题设函数，则全微分等于_解：，考点三：复合函数的偏导数作为一般掌握（同路相乘，异路相加，同级不通路）1、中间变量是一元函数的情形复合函数：、及链式法则如图示：公式中的导数称为全导数2、中间变量是多元函数的情形复合函数：、及链式法则如图示：典型例题设，而，求全导数.解:考点四：隐函数的导数和偏导数（）典型例题求由方程所确定的隐函数的导数解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之.令则(，.)重点典型例题设是由方程所确定的隐函数，求。解：设，考点五：二阶偏导数（就是一阶偏导数再求偏导数）

42、典型例题设，求、及.解：往年真题设函数，则等于(B)ABCD解是求函数的二阶偏导数，要求二阶偏导，需先求一阶偏导。一阶偏导数对：二阶偏导数对：考点六、二元函数的极值1、二元函数的无约束极值求的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切实数解,即可得一切驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B和C.第三步定出AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值.典型例题求函数的极值.解先解方程组解方程组解得驻点为再求出二阶偏导数在点(1,0)处,故函数在该点处有极小值在点(1,2)处,处，故函数在这两点

43、处没有极值;在点处，又故函数在该点处有极大值2、条件极值拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F(x, y)=f(x, y)+(x, y) , 其中为某一常数。然后解方程组：.由这方程组解出x,y及,则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。典型例题求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题就是在条件2(xy+yz+xz)=a2下求函数V=xyz的最大值.构成辅助函数F(x,y,z)=xyz+(2xy+2yz+2xz-a2),解方程组,得,这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最

44、大值就在这个可能的值点处取得.此时.多元函数积分学知识结构：必备基础知识 二重积分的定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域：Ds 1, Ds 2, , Ds n ，其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和：. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即.f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和. 二重积分的几何意义如果f(x, y)

45、0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2，则。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加

46、性。性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 为D的面积，则。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5：如果在D上, f (x, y)g(x, y), 则有不等式：特殊地，性质6设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有： .上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得：. 积分区域的分类（1）上下结构：平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成特点：（1

47、）平面图形上下是两条曲线y=f上(x)和y=f下(x)，左右是两条直线x=a与x=b；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是y=f下(x)，出来区域交的是y=f上(x)例：抛物线、所围成的图形解：该平面图形为上下结构：上面是曲线：； 下面是曲线：；左边是直线：；右边是直线：。 （2）左右结构：平面图形由左右两条曲线x=左(y)与x=右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。特点：（1）平面图形左右是两条曲线x=左(y)和x=右(y)，上下是两条直线y=d与y=c；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是x=左(y)，出来区域交的是x=右(y)。例：由曲线和直

48、线所围成的图形解：该平面图形为左右结构： 左边是曲线：； 右边是曲线：；上面是直线：；下面是直线：。主要考察知识点和典型例题：二重积分是定积分的扩展，是二元函数的积分，具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看，主要是考查二重积分的计算，考查方法是直接给定一个二重积分，让我们选择合适的方法进行计算。二重积分的计算首先要确定坐标系，即：是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算，两种情况往年都考过，所以都需要大家掌握。（1）当二重积分的积分区域为圆面、环面、扇面等区域时，考虑用极坐标；当被积函数含有、也要考虑极坐标。（2）其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。考点一：利用直角坐标计算二重积分（转化为二

49、次积分）1、上下结构区域: D : j1(x)yj2(x), axb .（先后）法则：前看端点，后作平行（2）左右结构区域: D : y1(y) xy2(y), cyd（先后）法则：前看端点，后作平行典型例题 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 方法一. 可把D看成是上下结构区域: 1x2, 1yx . 于是. 方法二. 也可把D看成是左右结构区域: 1y2, yx2 . 于是. 【注】: (1) 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 , 则有为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域

50、 , 则考点二： 利用极坐标计算二重积分（转化为二次积分） 若积分区域可表示为：aqb, j 1(q)rj 2(q),则. 典型例题：计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为0ra , 0q 2p . 于是 . 往年真题：计算，其中为与的公共部分。 解：在极坐标系中, 闭区域D可表示为0q ，0r , 于是常微分方程知识结构：一阶微分方程二阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程微分方程必备基础知识微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程.

51、我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。常微分方程的一般形式是： 其中为自变量，是未知函数. 微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 微分方程的解在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 微分方程的特解、通解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 可分离变

52、量的微分方程概念设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成，即有，则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数. 一阶线性微分方程的概念（1）形如 （1）的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. （一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指和的次数都是一次）（2）当方程（1）成为 （2）这个方程称为对应于非齐次线性方程的一阶齐次线性方程. 相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的概念方程 （*）称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构如果与是方程(*)的两个线性无关的特解，则就是方程(*)的通解，其中是任意常数. 二阶常系数齐次线性微分方程特征方程（就是把换成，换成，换成得到的方程）方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出. 二阶常系数非齐次线性微分方程的概念二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程 （*）称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构（非齐次的通解齐次的通解非齐次的特解）定理 设是方程(*)的一个特解，而是其对应的齐次方程(*)的通解，则 就是二阶非齐次线性微分方程(*)的通解.主要考察知