课件97方向导数梯度

1、第七节 方向导数与梯度二、方向导数三、梯度(Directional derivative and grads)一 问题的提出一、问题的提出一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，问题的实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行需要计算场中各点沿指定方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象却要考虑函数沿任一指定方向的变化率问题。如热空气要向冷的地方流动，气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。 讨论

2、函数 在一点P沿某一方向的变化率问题二、方向导数 Directional 设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos) 取P(x0tcos y0tcos)U(P0)射线l的参数方程为： 如果函数增量与p到 的距离的比值此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为当P沿着l趋于P0 即（）时的极限存在，则称可见方向导数就是函数f(x, y)在点P0沿方向l的变化率。的方向导数为同理,沿y轴正向的方向导数为在点沿着轴正向假设偏导 存在,那么方向导数是单侧极

3、限，而偏导数是双侧极限.原因：设, 求函数在点沿方向的方向导数。解例定理(方向导数求导计算公式)假设函数在点处可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且其中, 为方向l的方向余弦.注：函数在一点可微是方向导数存在 的充分条件，而不是必要条件. 例1 求函数zxe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, 1)的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数 因为函数可微分 且 解由方向导数的计算公式知1最大值; 2最小值； 3等于零？ 例2 求函数在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此

4、方向导数有故 对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos)的方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数 如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分, 那么函数在该点沿着方向el(cos cos cos)的方向导数为 例 求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分 且 所以 fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3 fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3 fz(1 1 2)(

5、yx)|(1 1 2)2 解令故方向余弦为求函数在此处沿方向的方向导数.是曲面练 设 在点处的指向外侧的法向量,故练 求沿椭圆在P(x,y)处求1）外法线方向的方向导数2）内法线方向的方向导数外法线内法线四 梯度的概念(Gradient ) 或.即其中称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子，函数在这个方向的方向导数取得最大值，即为梯度的模，说明：函数在一点的梯度是这样一个向量， 它的方向是函数在这点的方向导数取得最 大值的方向， 它的模即为方向导数的最大值。方向与梯度的方向相同时，函数增长最快。方向与梯度的方向相同时，函数减少最快。函数在这个方向的方向导数取得最小值，方向与梯度的方向正交时

6、，函数变化率为零。结论： 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值 梯度的根本运算公式 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故那么在处梯度为例4 求函数 在点处的梯度，并问在何处梯度为零？于是 grad f(1, 1, 2) 例6 设f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2) 解 grad f(fx, fy, fz) (2x, 2y, 2z), (2, 2, 4) 例5 求221 yx+grad. 例7解 梯

7、度化？的方向导数.问在该点沿哪个方向的方向导数最大？求最大方向导数值；u沿哪个方向减少得最快？沿什么方向不变(2) 方向导数取最大值的方向即梯度方向：(3) 方向导数的最大值 = 梯度的模：(4) 沿负梯度方向： , u 减小得最快；假设单位化:(5) 设方向不变化。内容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点思考与练习1. 设

8、函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 2. P131 题 16曲线1. (1)在点解答提示函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量2. P131 题 16备用题 1. 函数在点处的梯度解:那么注意 x , y , z 具有轮换对称性(1992 考研)指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示:其单位向量为(1996考研)一、方向导数注意方向导数与一般所说偏导数的区别小结1.定义2.计算公式二、梯度注意梯度是一个向量定义方向：x轴到梯度的转角的正切模：三、方向导数与梯度的关系方向与取得