解三角形题型总结

1、解三角形题型总结ABC中的常见结论和定理:，、内角和定理及诱导公式:cosC,tan(AB)tanC ；cosB,tan(AC)tan B ；cos A,tan(BC)tan Acos(A B) cos(A C) cos(B C).因为A 所以sin(A sin( A sin( BB C , B) sinC, C) sin B, C) sin A,2C cos , 2A B cos2ABC 因为2A B 所以 sin A_B2.大边对大角.在 ABC 中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanA - tanB - tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60 ;4ABC

2、是正三角形的充要条件是A B、C成等差数列且a、b、c成等比数列正弦定理：文字:在 ABC中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：sin Ab csin B sinC2R公式变形：a 2Rsin A b 2Rsin B c 2RsinC(边转化成角)ab _ c sin A sin B sin C (角转化成边)2R2R2R a:b:c sin A:sin B:sinCa b casin A sin B sin C sin Absin BcsinC2R余弦定理:文字：在 ABC中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的 余弦值的乘积的两倍。符号：c 22a bc2 2

3、bccosA22b ac2 2ac cos B22c ab22abcosC1 22222,22i 22b c aa c bab cX形.cos AcosBcosC2bc2ac2ab四、面积公式：(1) S 2aha(2) S(3) S 1 absin C 1 bcsin A221r(a b c)(其中r为三角形内切圆半径)acsin B2五、常见三角形的基本类型及解法：(1)已知两角和一边(如已知 A, B,边c) 解法：根据内角和求出角 C (A B); 根据正弦定理-csin A sin B sin C2R求出其余两边a,b(2)已知两边和夹角(如已知 a,b,C)解法：根据余弦定理 c2

4、 a2 b2 2abcosC求出边c；222根据余弦定理的变形 cos A b一c求a ； 2bc(3)已知三边(如:a,b,c)解法：根据余弦定理的变形 cos A根据余弦定理的变形 cosBb22bc求A；22,2a c b2ac求角B ；根据内角和定理求角 B (A C).根据内角和定理求角 C (A B)(4)已知两边和其中一边对角(如： a,b,A)(注意讨论解的情况)解法1：若只求第三边，用余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC;解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理a- -b 2R求B (可能出现一sin A sin B sin C解，两解或无解的情况，见题型一)；再根据内角

5、和定理求角 C (A B)；.先看一道例题：例：在 ABC 中，已知 b 6,c 2v，3, B 30 ,求角 C (答案：C 450 或 135)六、 在 ABC中，已知a,b,A,则 ABC解的情况为:法一：几何法（不建议使用）（注：表中， A为锐角时，若a b sin A,无解；A为钝角或直角时，若 a b ,无解.法二：代数法（建议使用）结合正弦定理一起使用（见题型一）通过例子说明步骤：大角对大边题型总结：题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型模型：在ABC中，已知边a, b和角A,若不是求第三边 c,用正弦定理。ABC中，已知2,c *2A 45 ,求/ c （答案：C 30）

6、2：在ABC中，已知76,c 2*3B 30,求/c。（答案：c 45或 135）3:在ABC中，已知2： 22,b ,B 32，求/ A。（答案：无解）例 4: （3）在ABC中,已知a 2，b 1，B 300,求/ A （答案：一解）练习：1。在 ABC中，已知a J2,bJ3,B 600解三角形。2.在450解三角形。_ .3ABC 中，已知 b ,c 3,C23.在 ABC中，已知a 3, c 4, A 600解三角形。题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型两角一边(两角一对边，两角一夹边)模型1：在 ABC中，已知角A,B和边a,解三角形。模型2：在 ABC中，已知角 A,B

7、和边c,解三角形。用正弦定理例题： 例题1：在 ABC中，已知A 300, B 450,a 2解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得C 1800 (A B) 1800 750 1050,再根据正弦定2巨理 3 上，得b 迪旦 2石，再根据余弦定理sin A sin Bsin A 12c2 a2 b2 2ab cosC ,得 c222(2%;2)22 22f2cos1050843(v；2V6)2,所以 c 石 促综上：C 1050,b 22,c & 、话。例题2：在 ABC中，已知B 750,C 450,a 2/3解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得A 1800 (B C) 1800 12

8、00 600 ,再根据正弦定2如互H6一 a basin B/ t 理,得b l4 22 76 , 再根据正弦定理sin A sin Bsin AJ322、. 3 22J2。综上，A 600,b J2 J6,c 2y2。Va c /口 asinC,得 c sin A sin Csin A练习:1在 ABC中，已知B 600,C 150,c 4解三角形。2在 ABC中，已知A 450,C 600,b J6解三角形。题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型模型：在 ABC中，已知边a, b和角C,解三角形。用余弦定理例题1：在 ABC中，已知a 1, b 2,C 600解三角形。解析：根据

9、余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC,得c2 12 22 2 1 2 - 3, 222.222( & 222.所以c J3 ,再根据余弦定理，得 cosB -一c J_W 0 , 2ac 2 1 V3又因为00 B 180,所以B 90,再根据内角和定理，得A 1800 (B C) 1800 1500 300。综上，A 300, B 900,c 33 o练习：1在ABC中，已知a 4,b 2, C 600解三角形。题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型 TOC o 1-5 h z 22222 u.2模型：已知边a,b,c解三角形。根据余弦定理，cos A b一c , cosB -一c

10、 2bc2ac2.22cosC ac-,分别求得角 A, B,C (或根据内角和定理求得角C)。2ab例题1：在 ABC中，已知a 2,b 4,c 2J3解三角形。解析：根据余弦定理，得cosA b一c一a- -一(2禽2Y3 ,又因为2bc 2 4 2v3200 A 180O,所以A 30O,再根据余弦定理，得 cosB a2 c222(2”42 0,又 00 b 1800，所以 B 900, 2ac 2 2 2V3再根据三角形内角和定理，得 C 1800 (A B) 1800 1200600。综上，A 300, B 900,C 600。练习:1在 ABC中，已知a 2, b 3, c 三2

11、解三角形。2题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型模型：在 ABC中，已知边a, b和角A,若只求第三边c,用余弦定理。模型： 在 ABC中，已知边a,b和角A,若不是只求第三边 c,用正弦定理。例题：例题1：在 ABC中，已知a 2,c 点,A 450,求边b。解析：根据余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA,得 22 b2 （J2）2 2b J2 cos450, 既b2 2b 2 0 ,解得b 1 J3或b 1 V3 （舍去），练习：在ABC中，已知b J6,c 23,B 30 ,求边a。（答案：a 3 J3）题型六、三角形面积例 1.在 ABC 中，sin a cosA Y

12、2, AC 2, AB 3,求 tan A 的值和 ABC 的面 2积。解：由sin A cosA计算它的对偶关系式 sin A cos A的值。2sin A cosA 221(sin A cosA) -12sin Acos A2Q0o A 180o, sin A 0,cos A 0.1另解(sin 2A-)2,(sin A cosA) 12sin AcosA6 sin A cosA 2+得sin A 三2/&,得cosA、2 J 6从而tanA加2当cosA 44,262 73。S ABC-（亚v6）以下解法略去。41 八12.6-AC ABsin A -23 224练习1 .在 ABC中，

13、角 A , B , C对应的边分别是a , b , c .已知cos2 A 3cos B C 1 .(I)求角A的大小；(II)若 ABC 的面积 S 53 , b 5,求sin BsinC 的值.解:(I)由已知条件得：cos2 A 3cos A 122cos A 3cos A 2 0,. _解得cosA 一，角A 60(II) S -bcsinA 5.324,由余弦定理得：a221, 2RsinBsinC -bc2 54R27练习2.已知ABC的周长为221 ,且 sin A sin B 72sin C .两式相减，得AB(II )由 ABC的面积由余弦定理，得cosCAC2 BC2 AB

14、22ACgBC(AC BC)2 2ACgBC AB22ACgBC所以C 600.练习3.在ZXABC中，内角A B, C对边的边长分别是 a, b, c,已知c 2 , C(I)若zABC的面积等于(n )若 sin C sin( B A)2sin 2A,求 ABC的面积.解：(I)由余弦定理及已知条件得,又因为 ABC的面积等于73,所以1 . absinC J3 ,得 ab 4 .2a2 b2 ab 4.联立方程组a b ab 4解得aab 42, b 2.(n)由题意得 sin( B A) sin( BA)4sin A cos A ,1(I)求边AB的长；(II )若AABC的面积为一s

15、inC,求角C的度数.6解：(I )由题意及正弦定理，得 AB BC AC ，2 1, BC AC J2AB ,1.1 ” 、1 八 ”、1BCgACgsinC sinC ,得 BCgAC2632”3即 sinBcosA 2sin AcosA,当cos A当cos A联立方程组0时，得sin B 2sin A ,由正弦定理得a2 b2 ab 4,初/日2.3,解得a , b -b 2a,b 2a ,4、3 .3所以 ABC的面积S labsinC 2g 23题型七：看到a2 = b 2+c2 bc”想到余弦定理例1：在ABC43, a、b、c分别是/ A / R / C的对边长，已知 b2 a

16、c ,且a2 c2=acbc,求/ A的大小及bsin B的值。c分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余2.ob bsin B 一弦定理。由b2=ac可变形为 二a,再用正弦定理可求 的值。cc解法一：; b2=ac。又 a2-c2=ac- bc,b2+c2 a2=bc。,222在ABC4由余弦定理得:/ A=60 。在ABC3,由正弦定理得/A=60 ,b c a DC 1cos A=2bc 2bc 2bsin A 2sin B=, - b =ac,absin B2.32b2sin60=sin60ac解法二：在 ABO,由面积公式得 bcsi

17、n A= acsin B。 22b2=ac, / A=60 ,bcsin A=b2sin B。bsin B =sin A=_3。c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用 正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状一一边角互化问题例1.在 ABC中，已知2sinAcosB sinC,那么 ABC一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形 解法 1：由 2sinAcosB sinC=sin(A+ B) = sinAcosB+ cosAsin B,即 sin AcosB cosAsin B= 0,得 sin( A B)

18、 = 0,得 A= B.故选(B).22, 2a c b2ac解法2:由题意，得cosB= -sinC2sin Ac,再由余弦7E理，得 cosB=2a22.2-一c=,即 a2=b2,得 a=b,故选（B）.2ac 2 a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断 （如解法1）, 统一化为边，再判断（如解法2）.a2 tan A例2.在 ABC中，若上一，试判断 ABC的形状。 b tan B答案：故 ABE等腰三角形或直角三角形。练习1.在 ABC中，a cos A b cos ,判断 ABC的形状。答案：ABC为等腰三角形或直角三角形。22练习2、在 ABC中，a si

19、n B b sin A ,这个三角形是 三角形。练习 3、在 ABC中，a csin AM sinC 2sin Asin B,判断 ABC的形状。题型九：三角形中最值问题B C例1. ABC的二个内角为 A、B、C,求当A为何值时，cosA 2cos取得最大值,2并求出这个最大值。一,B+C兀 A， B+C A解析：由 A+B+C=,得 =2，所以有 cos =sin万。cosA+2cos+=cosA+2sin =1 - 2sin 亭 + 2sin *=-2(sin 一 1)2+ 3;222222，2当 sin A = 2，即 A=4 223点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角

20、的三角函数的形式，通过三 角函数的性质求得结果。练习.设锐角 ABC的内角 A B、C的对边为a,b,c, a 2bsin A(1) 求/B的大小。一(2)求cosA sinC的取值范围。 但 A 62 2题型十、边角互化问题例 1、在 ABC 中，已知 2b=a+c,证明：2 sinB= sinA+ sinC例2、在 ABC中，a、b、c分别是 A B、C的对边，试证明：a = b cosC + c cosB例3、已知a, b, c为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量m (J3, 1),n (cosA,sin A).若 m n ,且 acosB bcosA csinC ,则角 B 例4、在 ABC中，已知 BC=a, AC丸 且a, b是方程x2 24x 2 0的两个根,2cos(A B) 1求：角C的度数AB的长例5.已知 ABC的周长为22 1 ,且sin A sin B J2sinC .1 一 一求边AB的长；若4ABC的面积为一sinC ,求角C的度数.6练习1 .设 ABC的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c ,且acosB 3 ,bsin A 4.求边长a； 若 ABC的面积S