高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导课件_第1页
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1、 多元复合函数求导的 链式法则第八章 多元函数微分法 第四节上页 下页 返回 结束 多元复合函数求导 全微分形式不变性第1页，共21页。一元函数求导：微分：回顾：上页 下页 返回 结束 的复合函数第2页，共21页。一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若续的偏导数, 则复合函数证略（利用全增量公式）的导数为上页 下页 返回 结束 有连 可导, 注求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间变量施行一元函数的链式法则，再相加即可.搞清楚函数的复合关系.重要的是1. 全导数全导数(中间变量为一元函数)第3页，共21页。推广设2.中间变量是多元函数上页 下页 返回 结束 而则第4页，共21页。 1. 复

2、合后的函数有几个自变量，对应地就有几个偏导数; 2. 有几个中间变量，就有几项相加; 3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积; 4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导记号用，不止一个时用偏导数记号上页 下页 返回 结束 上述求导规则称为多元复合函数的链式法则.具有如下特点:第5页，共21页。特例1.注这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导与不同:上页 下页 返回 结束 特例2.第6页，共21页。例1. 设解上页 下页 返回 结束 第7页，共21页。例2.解，求全导数设思考其他方法上页 下页 返回 结束 第8页，共2

3、1页。例3.解(利用全导数)求导数设上页 下页 返回 结束 引入中间变量则第9页，共21页。例4. 设 解设则上页 下页 返回 结束 第10页，共21页。为简便起见 , 引入记号例5. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解 令则上页 下页 返回 结束 第11页，共21页。例6.，求一阶偏导数和解上页 下页 返回 结束 第12页，共21页。二、全微分形式的不变性的全微可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数其全微分的表达形式都一样, 这一性质称为全微分形式的不变性.设函数若u、v为自变量，则若 u、v为中间变量:证 分为上页 下页 返回 结束 第13页，共21页。证明：上页 下页 返

4、回 结束 第14页，共21页。例1 .例7.利用全微分形式不变性再解解所以上页 下页 返回 结束 例1.第15页，共21页。内容小结1.多元复合函数求导的链式法则例如,2.全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,上页 下页 返回 结束 第16页，共21页。思考与练习解答提示:P31 习题7课本P31 习题7; 8(2); P73 习题11上页 下页 返回 结束 第17页，共21页。P31 题8(2)上页 下页 返回 结束 第18页，共21页。 作 业 P51 18; 19; 20; 22; 23; 24; 25(2,4); 26; 27(1,3) P73 题 11上页 下页 返回 结束 第19页，共21页。备用题1. 已知求解 由两边对 x 求导, 得上页 下页

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