高中数学专题复习立体几何欧拉定理与球

1、、知识点:1.简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续(不破裂)变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体446正/、面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220302.五种正多面体的顶点数、面数及棱数:E有关系式:.欧拉定理 (欧拉公式)：简单多面体的顶点数 V、面数F及棱数V +F -E =2 .欧拉示性数： 在欧拉公式中令 f(p)=V + F - E , f (p)叫欧拉示性

2、数(1)简单多面体的欧拉示性数f ( p) = 2 . (2)带一个洞的多面体的欧拉示性数f ( p) = 0(3)多面体所有面的内角总和公式： (EF)3600或(V2)3605球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球 心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心 的字母表示，例如球 O.球的截面： 用一平面a去截一个球 O ,设OO是平面a的垂线段， O为垂足，且OO = d ,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以r = jR2-d2为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面

3、 截得的圆叫做小圆.经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数； 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数.两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.两点的球面距离公式：AB = R0 （其中R为球半径，8为A,B所对应的球 心角的弧度数） 10半球的底面：已知半径为R的球O ,用过球心的平面去截球 O,球被截面分成大小相等4_311 .球的体积公式：V =-tlR

4、的两个半球，截面圆 O （包含它内部的点），叫做所得 半球的底面3212球的表面积：S=4nR二、练习：一个n面体共有8条棱，5个顶点，求n一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求 n一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F=2V一 4.有没有棱数是7的简单多面体？说明理由.是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 .球半径为25cm ,球心到截面距离为 24cm ,则截面面积为 .已知球的两个平行截面的面积分别是5n和&i ,它们位于球心同一侧，且相距 1,则球半径是 .球O直径为4, A, B为

5、球面上的两点且 AB = 2技 则A, B两点的球面距离为 .R北纬60“圈上M ,N两地，它们在纬度圈上的弧长是 （R为地球半径），则这两地间的 2球面距离为 .7,北纬45圈上有A,B两地，A在东径120, B在西径150,设地球半径为 R, A, B两地球面距离为;. 一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为ncm,则球半径为 _;.设地球的半径为R在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差90。，那么这两点间 的纬线的长为 ,两点间的球面距离是 球的大圆面积增大为原来的 4倍，则体积增大为原来的 一倍；.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的

6、 倍;.若球的大圆面积扩大为原来的 4倍，则球的体积比原来增加 倍；.把半径分别为3, 4, 5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ;.正方体全面积是 24,它的外接球的体积是 ,内切球的体积是 球O、O分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O的表面上，求三个球的表面积之比.表面积为324n的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.正四面体 ABCD勺棱长为a,球O是内切球，球 O是与正四面体的三个面和球 O都相 切的一个小球，求球 O的体积.练习参考答案：一个n面体共有8条棱，5个顶点，求n解：. V +F E = 2, F = E +2V = 5,即 n =

7、5.一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求 n8 3解：V =8, E =2-21=12 , F = E +2V =6,即 n = 6.2F= 2V一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系:一 43F3证明：E=一 , V+ FE= 2 V+ F- - F = 2F=2V-4224.有没有棱数是 7的简单多面体？说明理由解：若 E=7, V+ F-E= 2 ,V+ F=7+2= 9 ,二.多面体的顶点数 V4,面数 F4二.只有两种情况 V= 4, F= 5或V= 5, F=4,但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，

8、也只有四个顶点，不可能有 5个顶点，没有棱数是7的多面体.是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有 F （奇数）个面，并且每个面的边数n，n2i nF也都是奇数，则n +出 +% =2E ,但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的，不存在这样的多面体过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 .球半径为25cm ,球心到截面距离为 24cm ,则截面面积为 .已知球的两个平行截面的面积分别是5n和8n ,它们位于球心同一侧，且相距 1,则球半径是.球O直径为4 , A, B为球面上的两点且 AB = 273，则A, B两点的球

9、面距离为 .，一，一，一 二 R ，、一，、一北纬60”圈上M ,N两地，它们在纬度圈上的弧长是 （R为地球半径），则这两地间的2球面距离为 . TOC o 1-5 h z 4二答案：一个或无数个49m232兀一 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 337,北纬45圈上有A,B两地，A在东径120, B在西径150,设地球半径为 R , A, B两地球面距离为;n答案：一R3. 一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为ncm,则球半径为 ；答案：3cm.设地球的半径为 R在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差 90。，那么这两点间

10、的纬线的长为 ,两点间的球面距离是 .分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A B的大圆的劣弧长，因而应先求出 弦AB的长，所以要先求出 A B两点所在纬度圈的半径.解：连结AB设地球球心为 Q北纬450圈中心为 0,则001 0A, 00L 0B./01Ao =/01B0 =/A0C =45 I20iA= 0B= 00= 0A cos45 = R .2两点间的纬线的长为：7T .2 R=R.224A、B两点的经度相差90。，/A01 B = 90 =.在 RtAA01B 中，AB = J2A01=R,0A=AB=0B, /A0B=3两点间的球面距离是：-R .3球的大圆面积增大为原

11、来的 4倍，则体积增大为原来的 一倍;答案：8.三个球的半径之比为 1:2:3,那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍;答案：3.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍;答案：7.把半径分别为3, 4, 5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是答案：6.正方体全面积是 24,它的外接球的体积是 ,内切球的体积是 .一 一 4答案：4曲式，TI3球O、Q分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O的表面上，求三个球的表面积之比.分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可.解：设正方体棱长为a,则三个球的半径依次为 a、2a a

12、, 73 a222三个球的表面积之比是 S1 : S2 : 83 =1:2: 3 .表面积为324n的球，其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,则作轴截面如图， AA = 14, AC = J2a,又 4nR2 =324n，.二 R =9,AC = JaC2 -CC2 =8匹,. a =8,J =64父2+32乂14 = 576. 正四面体 ABCD勺棱长为a,球O是内切球，球 O是与正四面体的三个面和球 O都相 切的一个小球，求球 O的体积.分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.解：如图，设球 O半径为R,千O的半径为r, E为CD点，球O与平面ACD BCDU于点F、G,千O与平面ACDU于点H