全等三角形性质教案

1、教案序号总第课时（一课一个教案）教案书写人田吉成教学课题全等三角形维 目 标知识 目标掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。能力 目标培养学生动手能力、观察能力、归纳知识的能力。情感 目标通过观察、实验交流等活动增强学生对数学的兴趣。教学重、难、疑点教学重点：1会看图，会找到三角形的对应边、对应角。2、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。教 学 方 法教 法引导探索研究发现法学 法主动探索研究发现法教具学具准 备纸、剪力、直尺教学过程设 计巧设情景 导入新课见过程过程与方法教 学 环 节 与 步 骤课堂要素提示充

2、分体现 自主、合作，分层评价”（渗透探究的内涵）的教学特色 （力求课堂活而不舌L实而不闷）“知识是能力的基础，能力是知识的升华，情感是力量的源泉”通过各种途径，培养学生的搜索力、发现力、概括力、想象力、记忆力 思维力、操作力、应变力、创造力和自我调控力教师活动（恰到好处的主导作用）学生活动（体现充分的 主体作用）一、实验活动找出图回中全等的图形：（课件展示）从而引出全等三角形的定义及性质1.全等三角形的定义及有关概念和性质.（1）定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或阅读课文知 识 与 技 能情 感 态 度 与 价 值 观理解概念举手回答理解推理过程形状相同、大小相等的两个三角形.(2)

3、反例：举出不全等的三角形的例子，利用教师和学 生手中的含30。角的三角板说明只满足形状相同的 两个图形不是全等形，强调定义的条件.教师提问：请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平 面图形？学生在生活中找图形。(3)对应元素及性质：教师结合手中的教具说明对应元 素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角 形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相 等.教师启发学生根据“重合”来说明道理.2.学习全等三角形的符号表示及读法和写法.解释“0”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应 位置上.举例说明：如图，: ABCDFE,(已知)，AB=DF , AC=DE , BC=FE ,(全等三角形的

4、对应边相等)/A=/D, /B=/F, /C=/E.(全等三角形的对应 角相等)教师小结：在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1 关注“易错点”一2一 3一 1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角 相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间.二、总结寻找全等三角形对应元素的方法， 渗透 全等变换的思想(1)全等用符号 表示.读作.(2)三角形ABC 全等于三角形DEF,用式子表示为 口答(抢答)(3)已知 ABC 和 A B C中，/ A=Z A , / B=Z B ZC=Z C ;AB=A B ,BC=B C ,AC=A C .则 ABC A B

5、 C .(4)如右图 ABCBCD, /A 的对应角是/ D, / B的 对应角/ E,则ZC与 是对应角;AB是对应边, AC与是对应边.(5)判断题：全等三角形的对应边相等 全等三角形的周长相等面积相等的三角形是全等三角形.()全等三角形的面积相等.()三、性质应用举例.性质的基本应用.听教师讲解例 1 已知：ABCDFE, /A=96 , / B=25 , DF=10cm .求/ E的度数及AB的长.例2 如图，已知CD，AB于D, BE，AC于E, AABE 0ACD, / C= 20 , AB=10 , AD= 4 , G为AB 延 长线上一点.求/ EBG的度数和CE的长.分析：(

6、1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的RtAACD 和 RtA ABE ; ABEA ACD , AABE 的外角/ EBG 或/ABE 的邻 补角/ EBG.(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补 角的知识，求得/ EBG等于160 .利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量 差相等的关系可得：CE=CA-AE=BA-AD=6 .小 结：学生小结1.学生回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到 了全等三角形的哪些知识？（1）全等三角形的定义、判断方法、性质.（2）找全等三角形对应元素的方法.注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一 定是对应顶点.在运用全等三

7、角形的定义和性质时应注意什么问 题？教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式. 了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对应 儿系.精选 课堂 练习基础题有广度 （投影显示或书面练习）提高题有梯度 （投影显示或书面练习）（习题适应全体学生） 见过程（习题适应不同层次的学生）巩固基础提升能力拓展思维巧布 课外 作业（巧字体现在试题能面向生活，面向生产，面向社会，面向“三考”，能紧跟时代步伐，将知识转化为能力，着力培养学生的应用能力、探究精神、创新精神及其能力）（自编或从各种资料上精选试题，份量适中，不能给学生加重负担）课本PI37习题5.7: 1、2。课（本课或本章节教学反思）后记第十二章全等

8、三角形12.1全等三角形知识点一全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够（）的两个图形叫做 全等形.两个图形是否全等只与这两个图形的形状、大小有关，与图形的位置无关。判断两个图形全等的条件：1、叠合在一起看是否能够完全重合2、形状相同、大小相等二者缺一不可。知识点二全等三角形能够（）两个三角形叫做全等三角形，“全等”用表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和 DEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作 ABC DEF 知识点三全等变换一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻

9、折、旋转前后的图形（）,这样的只改变图形的位置，不改变图形形状、大小变换就是（）思考在图13. 1-1中.把以比、沿宜豉BC平移.得到ADEE在图13, H2中*把沿或致薛折得到0以：在图1?. 1-3中.把AABC旋转得到AED.各图中的两个三角形全等吗？知识点四 对应顶点、对应边、对应角把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角寻找对应元素的规律（一般地说）（1）有公共角的，公共角是对应角；（2）有对顶角的，对顶角是对应角；（3）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。（4） 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角

10、。对应边的方法（1）有公共边的，公共边是对应边（2）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3） 一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边。例题1、如图1,已知 AB9 ACID / ADEh AE口 / B=/ C, ?指出其他的对应边和对应角.图1图2图3知识点五全等三角形的性质全等三角形性质：SSS)1、全等三角形的对应边相等；2、全等三角形的对应角相等。3、全等三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线也重合也相等。4、全等三角形的周长和面积也相等。练习1.全等用符号表示.读作_.AABC全等于三角形 DEF用式子表示为 _.AAB（C ADEIZA的对应角是/

11、D,ZB的对应角/E,则/C与_ _是对应角；AB与是对应边，BC与_是对应边，AC与 是对应边.判断题：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）（2）全等三角形的周长相等.（）（3）面积相等的三角形是全等三角形.（）（4）全等三角形的面积相等.（）常见题型一 运用三角形的性质求角度及线段的长。1、如图 2, ABE ACD,已知： A 43 , B 30 , BE=4,求 ADC 的大小，DC 的长。常见题型二利用全等变换解决几何问题2、如图 3,矩形 ABCD& AM折叠，使 D点落在 BC上的 N点处，如果 AD=7cm,DM=5cm, / DAM=39，则 AN=cm,NM=cm

12、, / NAB=.将其中一个三角形沿着 BC方向平移BE的距离，就得到此图形，其中AB=8 ,BE=5 , DH=3 ,求阴影部分的面积。（32.5）4、如图，两个重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到 DEF，如果 AB=8, BC=4,DH=3求S阴（）5、如图，长方形 ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上, 得点F,若/ FEC=40 ,求/ EAF的度数全等三角形的判定（SSS知识点一 三角形全等的判定一 -边边边三边对应相等的两个三角形全等（简写成边边边，或问题：4ABC和4DEF全等是不是一定要满足 AB=DE,BC=EF,AC=DF, / A= / D,

13、/ B= / E, / C= / F这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件，这两个三角形全等吗？一个条件可分为：一组边相等和一组角相等两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等探究一：1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）只给一条边：八606030两内角50302cm2cm两内角两边：2.给出两个条件 一边一内角：30 50只给一个角:4cm4cm问题3:两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢?3.给出三个条件三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等例：画 ABC,使 AB=2,AC=

14、3,BC=4画法：1画线段BC=42分别以A、B为圆心，以2和3为半径作弧，交于点Co则4ABC即为所求的三角形把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合? 归纳：有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成边边边,或SSS ”用数学语言表述：在4ABC和 DEF中Fb=debC= bc=efL_ca=fdAABCDEF (SSS)例题1、如图，AB=CD , AC=BD , AABC和 DCB是否全等？试说明理由。解： ABCDCB,理由如下:在 ABC和 DCB中 .ABC 0()AB=AC , AD是连接 A与BC中点D的支架。求证： ABD ACD例2 .如下图

15、， ABC是一个刚架,证明的书写步骤：准备条件：证全等时把要用的条件要先证好；三角形全等书写步骤：1写出在哪两个三角形中2摆出三个条件用大括号括起来3写出全等结论注意事项：有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件，二有些题目的已知条件隐含在题设和图形中，如公共边, 公共角，对顶角等等，解题是认真读图，把握题意，找准所需条件。中考考点说明：概念和性质在中考中难度不大，试题多以填空选择出现，考察图形的平移，旋转，翻折对全等三角进 行变换，主要靠性质。12.2全等三角形的判定(SSS) 3、在 ABC 和 AiBiCi 中，已知 AB=AiBi, BC=BiCi,则补充条件 ,可得到 ABCA A

16、iBiCi.1、如图1, AB=AD , CB=CD , / B=30 , / BAD=46o o o,则/ ACD的度数是()OAD=BC2、如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD?则下面的结论中不正确的是(A. AABC BADB. / CAB= / DBAC.OB=OC D./C=/D4、如图3, AB=CD , BF=DE , E、F是AC上两点，且AE=CF .欲证/ B=Z D,可先运用等式的性质证明AF=再用“ SSS”证明 9 得到结论.5、如图，AB=AC , BD=CD ,求证：/ i=/2.6、如图，已知 AB=CD , AC=BD ,求证：/ A= / D .7、

17、如图，AC与BD交于点O, AD=CB , E、F是BD上两点，且 AE=CF , DE=BF.请推导下列结论：/ D=/B; AE / CF.8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE , AB=CD.请你添加一个条件，使DECBFA;在的基础上，求证： DE / BF.9、如下图， ABC是一个风筝架， AB=AC , AD是连接A与BC中点D的支架。求证： AD BCi2.2全等三角形的判定（SAS）知识点二两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（可以简写成边角边或 SAS）知识点三 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形（）全等。（自己画图）知识点四i、尺规作图：用无刻度

18、的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图。2、作一个角/ AOB等于已知/ Co （保留作图痕迹）3、作/ AOB的平分线，（保留痕迹） TOC o 1-5 h z 1、如图1, AB /CD, AB=CD , BE=DF ,则图中有多少对全等三角形 （）A.3B.4C2、如图 2, AB=AC , AD=AE ,欲证 ABD ACE ,可补充条件（）A. Z1 = Z 2B./B=/C C./D=/E D. / BAE= / CAD3、如图3, AD=BC ,要得到 ABD和 CDB全等，可以添加的条件是 （）/ / BC C.Z A= Z C D. / ABC= / CDA4、如图 4, AB

19、与 CD 交于点 O, OA=OC , OD=OB , / AOD= , ?根据 可得到 AODA COB,从而可以得到AD= .5、如图5,已知 ABC中，AB=AC , AD平分/ BAC ,请补充完整过程说明 ABD ACD的理由. . AD平分/ BAC ,=/（角平分线的定义）.在4ABD和4ACD中，ABDAACD （）6、如图 6,已知 AB=AD , AC=AE , / 1=/2,求证/ ADE= / B.7、如图，已知 AB=AD ,若AC平分/ BAD ,问AC是否平分/ BCD?为什么?8、如图，在 ABC和 DEF中，B、E、F、C,在同一直线上，下面有 4个条件，请你

20、在其中选 3个作为题设，余下 的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明 AB=DE ; AC=DF ; / ABC= / DEF ; BE=CF.9、如图，AB BD , DELBD ,点 C 是 BD 上一点，且 BC=DE , CD=AB .试判断AC与CE的位置关系，并说明理由.如图，若把 CDE沿直线BD向左平移，使 CDE的顶点C与B重合，此时第问中 AC与BE的位置关系 还成立吗？（注意字母的变化）全等三角形（三）AA*口 ASA【知识要点】.角边角定理（ASA：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.角角边定理（AAS：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等【典型例题】例

21、 1 .如图，AB/ CD, AE=CF 求证:AB=CD)例 2.如图，已知：AD=AE ACD ABE,求证：BD=CE.例3.如图，已知： C D. BAC ABD , 求证：OC=OD.例4.如图已知：AB=CD AD=BC。是BD中点，过。点的直线分别交 DA和BC的延长线于 E, F.求证：AE=CF.例5.如图，已知 13 , AB=AD求证:BC=DE.例6.如图，已知四边形 ABCD43, AB=DC AD=BC点F在AD上，点E在BC上，AF=CE EF的对角线BD交于。，请问O点有何特征?【经典练习】.ABC ABC 中，A A,BC BC, C C 则 ABCAC ,则

22、在 AB上截取 AE=AC ,连结 DE ,必有结论 ADEA ADC.如图(2),若延长 AC到F,使AF=AB ,连结DF ,必有结论 ADFAADB.如图(3),若作 DELAB于E, DFLAC于F,必有结论 DE=DF.角的平分线(1)定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；(2)逆定理：角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这两个定理是两个能简化证明过程的定理，如果没有这两个定理，它们所得出的结论，可以通过全等三角形 得到。学生在碰到能运用这两个定理的题时，往往会习惯性地还是用全等的方法来进行证明，应当有意识地加强 训练，加深对这两个定理的印象。.

23、逆命题的制造：如果把一个命题的题设和结论交换位置，便得到这个命题的逆命题。在调换时要特别注意，许多命题都有个 大前提，而在交换题设与结论时，大前提是不参加交换的。全等三个角对应相等的三愈形的对应角相等三角形是全等三角形前提条件例如：此题易误认为逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”O因为只有当两个三角形全等时，才会有“对应角”的概念，而“全等三角形”是结论，并不是已知条件。所以不能在逆命题的题设中出现“对应角”的概念。1CBABFEDCFAEF2例四CD求证如图ABCACDFE2BBDD是BC的中点1 = /2, Z ABC=如图，AD为/ ABC例题分析 :如图，/DCB。求证：AB=D

24、C1 = /2,求证：AB=ACCE=FB ,求证：AF=DEB= / EE为AC上一点，BE交AD如图，AB=DE , BC=EF , CD=FA , /A= /D。 B且有 BF=AC , FD=CD ,求证：BE LAC如图， AB=DC , AE=DF ,此外：在书写逆命题时还要注意语言通顺。ADA1、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 ,延长 BC到D 使 CD=CA , E 是 AC 上一点，若 CE=CB。求证：DEXABo2、如图，已知/ C=Rt/, / 1 = /2,若BC=8 , BD=5 ,求D到AB的距离。3、如图，4ABC中，AD是/ A的平分线，E、F分别

25、为 AB、AC上的点，且/ EDF+/ BAF=180 。求证：DE=DF 。4、如图，在 ABC 中，/ ABC=2 / C, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D。求证：AB+BD=AC。例一答案 分析：要证AB=DC ,只需证明 ABCDCB。证明：.一/ 1= Z2, / ABC= /DCB, ./ ABC -Z 1 = /DCB -Z 2 TOC o 1-5 h z ，/DBC= Z ACBAD在 ABC和 DCB中：ABC DCB/1、12BC BC HYPERLINK l bookmark12 o Current Document BCACB DBCABC DCB (ASA)A

26、B=DC说明：证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。本例要证明AB=DC ,以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。例二答案分析：要证AF=DE ,可证 AFB与 DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证AEB与 DFC全等。证明：.CE=FB . CE+EF=FB+EF ,即：CF=BE在4AEB和4DFC中：AB CDAE DFBE CFAEB DFC (SSS) .Z B= ZC 在AFB和ADEC中：AB CDB CBF CEAFB DEC (SAS) AF=DE本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次

27、全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。例三 分析：本题考察“ HL”公理的应用。要证 BEX AC,可证/ C+7 1=90 ,而/ 2+7 1=90 ,只需证/ 2=ZCo从而转化为证明它们所在的 BDF与4ADC全等，而这由“ HL”公理不难得证。证明： AD XBC ./ BDA= Z ADC=90 / 1+7 2=90 在 RtA BDF 和 RtAADC 中BF ACFD CD RtA BDF RtAADC (HL) ./ 2=/ C1+Z C=90/ BEC=90 BEX AC分析：要证/ B=/E,通常的思路是要证 ABCDEF,但如果连结 AC、DE就会破坏/ A= /

28、D的条件。 因此应当另想他法。观察后不难发现： ABFA DEC,于是可证/ ABF= /DEC,进一步即可证明/ ABC= / DEF 证明：连结 BF、CF、CE 在 ABF和 DEC中AB DEA DFA CDABF DEC (SAS) / 1= Z2, BF=EC 在 BFC和AECF中BF ECBC EFCF FC.BFC ECF (SSS)3= Z4. / 1+Z 3= /2+/4,即：/ ABC= /DEF如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的

29、一个常用手段。例五答案分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（/1=证明 ABD 0ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等， 个全等的三角形。证明：作DEXAB于E, DF AC于F/ 1= Z2, DELAB 于 E, DFLAC 于 FDE=DF （角平分线上的点到角的两边的距离相等）. D是BC的中点 BD=CD. DE，AB 于 E, DFAC 于 F/ BED=90 , / CFD=90 在 RtABDE 和 RtACDF 中BD CDDE DF RtA BDE RtACDF （HL） BE=CF同理可证AE=AF . AE+BE=AF+CF 即 AB=

30、AC/ 2; BD=CD , AD=AD ）,但无法于是要利用角平分线来构造两三、练习题解答1、证明：. / 2=90 , / 1 + Z 2=180 / 1 = 7 2=90/ A+ / B=90 在 DEC和 ABC中CD CA12CE CBDEC ABC (SAS)./ D=Z AD+Z B=90/ DFB=90 DE LAB2、本题考察角平分线的性质定理 解：过D作DEL AB于E /1 = /2, DEXAB , CDXCA1DE=DC BC=8 , BD=5DC=BC -BD=8 5=3DE=33、证明：作 DGAB 于 G, DHAC 于 H . AD 平分/A, DG AB , DH LACDG=DH/ EGD= / FHD=90. / 1+/2+/3+/ADH=180 即：/ BAF+ / GDH=180又 / EDF+/ BAF=180 ./ EDF= ZGDH又. / ABC=2 ZC,BE=BD ./ C=Z EAEDAACDAC=AE=AB+BE=AB+BD知识点四、等腰三角形1.定义:2.性质:(1)具有三角形的一切性质(2)两底角相等(等边对等角)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于 603.判定:(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);AEGD4、为了将AB与BD