第33讲 立体几何中的范围与最值问题（解析版）-2022年新高考数学二轮专题突破精练

1、第33讲立体几何中的范围与最值问题一、单选题（2021广西南宁市东盟中学模拟预测（理）已知球。是正三棱锥A-8CO（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，8c=3,48=26，点E在线段8。上，HBD=3BE.过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）A.2乃B.34C.4万D.5万【答案】A【分析】如图，。是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出彷=1,当截面垂直于。E时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】解；如图，。是4在底面的射影，由正弦定理得，BCD的外接同半及，j=一=sin602由勾股定理得棱锥的高AOi=J（2

2、ji）2=3；设球。的半径为七则片=（3一Rp+62，解得R=2,所以。尸1；在80iE中，由余弦定理得qE2=l+3-2xlx/5x=l,2所以OE=1：所以在OEOi中，0E=收:当截面垂直于时，截面面积最小，此时半彳仝为Jr，OE2=&截面面积为2乃.故选：A(2021河南省实验中学高三期中(理)棱长为2的正方体48CD-ABCQ中，M是棱的中点，点? TOC o 1-5 h z 在侧面A84A内，若。/垂直于CM,则aPBC的面积的最小值为()A.B.C.-D.1555【答案】A【分析】建、工空间直角坐标系，设出P点的坐标，利用CM_LRP求得P点坐标间的相互关系，写出aPBC面枳的表

3、达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以冰反，西分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，依题意有知(2,0,1),C(0,2,0),(0,0,2),尸(2,&3，UUUUUUMC=(-2,2,-l),P=(2,a,6-2),由于CMJ.RP，故(一2,2,1卜(2,a,b2)=4+2ab+2=0,解得力=2a2.根据正方体的性质可知，BCA.BP,故aP5c为直角一角形，而8(2,2,0),故|罔=|(0,2a,-6)|=2-af+h2,4PBe的面积为比|丽卜yl(2-a)2+b2=J5a2-12a+8,当a=2=2时,面积取得最小值为,5x但-12x9+8=2叵,105丫55

4、故选:A.（2021四川成都高三期中（文）已知正方体A88-A4GR的棱长为1，尸是空间中任意一点，有下列结论：若尸为棱CC,中点，则异面直线AP与C。所成角的正切值为更；2若P在线段AB上运动，则”+PD,的最小值为木+啦；2若夕在以。为直径的球面上运动，当三棱锥P-ABC体积最大时，三棱锥P-A8C外接球的表面积为2万；若过点P的平面。与正方体每条棱所成角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为也.4其中正确结论的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】根据A8C,可得44P即为异面直线所成的角或所成角的补角，从而可求出：将和四边形ABCR沿AB展开到同一个平面上，易知线段A

5、的长度即为”+PA的最小值，利用余弦定理即可求出：根据题意判断出，P为CO的中点时，三棱锥尸-MC的体积最大，只需求此时外接球的表面积即可；瓦分别为相应棱的中点时，平面a为平面FG”MN时，与正方体每条棱所成角相等，且截面的面积最大.【详解】对于：因为ABC,所以44P即为异面直线所成的角或所成角的补角，在RtdBP中，AB=,BP=,所以tanN84P=且，故正确；2AP2D,对于：将aAAB和四边形48cA沿AB展开到同一个平面上，如图所示,由图可知，线段AR的长度即为AP+PR的最小值,在aAAA中，利用余弦定理，得明=&+夜,故错误：对于：如图，当尸为C。的中点时，三棱锥P-A8C的体

6、积最大，此时，三棱锥P-ABC外接球的球心是AC的中点，半彳仝为它，其表面积为2万，故正确;对于：要使平面。与正方体每条棱所成角相等，只需与过同个顶点的三条楼所成的角相等即可,如图，当a/=AR=AQ时，平面PQR与正方体过点A的三条楼所成的角都相等，若瓦EG,H.M,N分别为相应棱的中点时，平面EFGHMN/平面PQR,且此时六边形EFGHMN为正六边形，因为正方体的棱长为1，所以正六边形EFGMWN的边长为变，2所以此正六边形的面积为t8,为截面最大面积，故正确.4故选：B.（2021.河南.高三月考（理）如图，等腰直角三角形/睡的斜边A8为正四面体ABCD的侧棱，AB=2,直角边AE绕斜

7、边AB旋转一周，在旋转的过程中，有下列说法：三棱锥E-BCO体积的最大值为巫里，3三棱锥E-BC体积的最小值为且二13存在某个位置，使得如设二面角D-AB-E的平面角为6,且09T，则（9，所以存在夹角为g的情况，1222TT又因为线线角的取值范围不包含钝角，所以直线AE,与8。所成角的范围为-即可得出4E_LB。,正确.如图2,当E运动到当时，二面角D-AB-E的平面角为/。自，在aDAEzraDOE?中,AD2=AO2+OD2,AE1=AO2+OEl，所以AOOD,AE2OE2,所以cosNOOE；cosNDAE：,所以/。马NQAE?,B|J0Z.DAE-,错误.故选：A.（2021云南

8、师大附中高三月考（理）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABC。的侧棱长为指，E,尸分别为A8,8C的中点，点尸，0在底面A8C。内，且。在线段。E上，过顶点。平行于底面A8C。的平面为a,F在平面a内的射影为G,PG长度为石，则PQ长度的最小值是（）A.41B.V2-1C.迈D.侦-155【答案】D【分析】先求得尸点的轨迹，然后结合等面积法求得PQ长度的最小值.【详解】由题可得正四棱锥O-A3C”的高为2,故可将正四棱锥O-ABCD放置在棱长为2的正方体ABC。-AqGR中，如图所示，易得线段8G的中点即为G点，连接GEPF,PG,则Gf_LP尸，进而，PF=4PG2-FG2=75-4=1所以在

9、平面A8CO内，点P的轨迹是以尸为圆心、以1为半径的圆,1113作FQLDE,垂足为Q.S.def=2x2-xlx2-xlx2-x1x1=,DE=Jl2+22=石，所以尸Q=1,FQ=乎,所以PQ长度的最小位为主-1.5故选：D.（2021云南师大附中高三月考（文）如图，在棱长为2的正方体ABC-4BiGOi中，若线段4。上存在一点E,使AE+8iE取得最小值，则此最小值是（）c. 2J2+QB. a/2+/6D. 8+4V2【答案】C【分析】将44。沿AQ所作门线翻折，使点AH点用在平面A4CD,且在直线AD的异侧，再利用两点间线段最短和余弦定理进行求解.【详解】如图I,将原,沿A。所在直线

10、翻折，使Aw平面A4C。,且点A与点Bt在直线A。的异侧，如图2所小,因为E是线段AD上任意一点“所以AE+B|EAB）,当且仅当A,E,三点共线时，ae+8,e取得最小值,在aAA用中，由余弦定理.，得:AB;=+AB；-2AA,Asicos（45。+90）=8+4近,所以做=6+4应=2,2+亚故选:C.图1（2021.甘肃嘉峪关市第一中学高三开学考试（理）已知三棱柱ABC-4与G的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,NK4C=120。，三棱柱A8C-A4G的侧面积为8+46，则球。表面积的最小值是（）A. 4万B. 167rC.167r【答案】B【分析】没三棱柱ABC-ABC的高为/

11、z,AB=AC=a,根据题意得出欧=4,设aA8c的外接圆半径为r、球。的半径为R，根据勾股定理得出出的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设:.棱柱ABC-（与G的高为力,AB=AC=a.因为N8AC=120。,所以8C=43a,则该三棱柱的侧面积为（2+6卜”?=8+4万,故”=4.设aA3C的外接圆半径为BC2sinN8AC设球。的半径为R，则正=/+仁=/+%4（当且仅当=2及时，等号成立）,故球0的表面枳为4乃片6jt-故选：B（2021江苏海安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱48C-ABC中，44,=1,AB=BC=5cosZABC=1,2是48上的一动点，则+PG的

12、最小值为（）A.石B.-JiC.1+/3D.3【答案】B【分析】连接8G,以AB所在直线为轴，将V4BG所在平面旋转到平面4阴A,设点G的新位置为U,连接AC,判断出当4P、。三点共线时，则AC即为AP+PG的最小值.分别求出ZA4C=120,M=l，AC=2,利用余弦定理即可求解.【详解】连接BG，得VA8,以A8所在直线为轴，将VABG所在平面旋转到平面,设点G的新位置为U,连接AC,则有AP+PCtAC.当A、P、C三点共线时，则AC即为AP+PG的最小值.在三角形A8C中，AB=BC=g,cosZABC=,由余弦定理得:4C=J4B2+8C、-2AB.BCcos8=j3+3-2x3x；

13、=2,所以AC=2,即A,C=2在三角形AAB中，AA=1,AB=B由勾股定理可得：A8=JW+A82=2,且卬B=60。.同理可求：C/=2因为AB=BG=AC=2,所以VABG为等边三角形，所以n%G=60,所以在三角形AAC中，ZA4,C=38+N8AC=120。,44,=1,AC=2,由余弦定理得：AC =V?.故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.（2021海南三模）直四棱柱ABC。-AB

14、CA的所有棱长均相等，/3=12伊，M是上一动点，当AM+MC取得最小值时，直线RM与BC所成角的余弦值为（）A.叵【答案】A【分析】由题意画出图形，可知当AM+MC取得最小值时M为的中点，找出异面直线所成角，求解三角形得答案.【详解】如图，tiG设直四棱柱abcd-a4GA的极长为2,当A.M+MC取得最小值时，M为BB、的中点，连接A0,则AOBC，则NDAM为直线AM与BC所成免（或其补角），此时，A,D=2y/2.AM=6,.NADC=120。，为等边三角形，得8。=2, TOC o 1-5 h z DM=/5）则AM。为等腰.二角形，uj得cosN）A=.故选：A.（2021全国高三

15、开学考试（文）如图，在棱长为1的正方体A8CD-A8CQ中，点尸为线段AG上的动点，则下列说法不正确的是（）A,D,A. BDLCPB.三棱锥C-8P）的体积为定值C.平面PAC_L平面BCGD.BP+DP的最小值为6【答案】D【分析】由题意易证8OJ.平面ACGA，由此进而可判断AC；由等积法可判断B；等边BAG与等边OAG展开到一个平面上，由8,P,。三点共线时可判断D【详解】对于A：连接AC,在正方体中易知：BD1AC,BDlAAt,ACAA4,=A,所以BOJL平面ACGA,乂因为CPu平面ACC|A,所以8CCP.故A正确；对于B：由等体积得.8尸=匕-88=!-5/8-/里=；*3

16、*以以1=:为定值，故B正确；对于C：由BOJ.平面ACGA，得由BO_L平面PAC,又因为Qu平面bog，所以平面PACJ_平面8G,故C正确；对于D：将等边BAG与等边OAC展开到一个平面上，可知”18,P.。三点共线时，BP+0P有最小值，最小值为2,可-用=2xg=,故口不正确.故选：D.（2021四川高三月考（理）如图，点M是棱长为2正方体ABCQ-A旦CQ中的侧面AORA内（包括边界）的一个动点，则三棱锥8-CM。的体积的最大值是（）【答案】D【分析】当M点与4点重合时，M点到平面的距离最大，此时三棱锥体积最大，利用割补法求体积即可.【详解】-lM点与A点重合时，M点到平面的距离最

17、大，此时三棱锥B-CtMD体枳最大且三棱锥B-CtMD为边长为2忘的正四面体，其体积等于正方体的体积减去4个三棱锥的体积，所以-4x；x&2x2）x2=:故选：D（2021山西祁县中学高三月考（文）己知三棱锥A-88的外接球为球。，BCD是边长为班的正三角形，若三棱锥A-BCD体积的最大值为更理，则球。的体积为（）4A.冗B.冗C.10017rD.64%33【答案】A【分析】由正三棱锥与球性质知，当球心。在三棱锥A-3C。的高线上时，三棱锥A-8CO的体积最大，由此求得棱锥的高，再由勾股定理求得球半径，从而得球体积.【详解】设三棱锥A-BCD的高为，当球心。在三棱锥4-BCQ的高线上时，三棱锥

18、A-BC的体积最大，此时-xlx3x3x/3x=,解得4=9.设球。的半径为/?,3224如图，是正三棱锥的高，BM=-xx3=3,OM=OA=R,32则(9-R)2+32=2,解得R=5,所以球。的体积为万/?=.故选：A.(2021浙江金华高三月考)已知四面体A-BCD,AB=丘,BC=BD=2,AB_L平面38,BELAC于E,8尸_LA。于F,则()AC可能与EF垂直，aB防的面积有最大值AC不可能与EF垂直，aBEF的面积有最大值AC可能与EF垂直，aBE厂的面积没有最大值AC不可能与EF垂直，aBEF的面积没有最大值【答案】D【分析】根据题意，分别求得AC=A,BE=BF,AE=A

19、F,并求得长度.从而判断“尸为等腰三角形，AE不可能与EF垂直.设CZ)=x,则EF=:x,x6(0,4),由余弦定理求得，cosNFBE”上幺一的取值32BFBE范围，从而求得sinZFBE的范围，代入面积公式，判断是否存在最大值.【详解】由A8J平面BCD知，ABJ.BC,ABA.BD则4c=4)=：22+(0)2=利用等面积法求得斜边上的高BE = BF =242 _2y/3访一亍从而有AE=AF=手彳=孚,则aAEF为等腰三角形，AE不可能与EF垂直,即AC不可能与E尸垂立.故AC错误;-re(0,4), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o C

20、urrent Document EFAE11由上知，-=-,设C=x,则=44x2由余弦定理知，COSNFBE=BF-：BE-EF?=1Q9=1,2BFBE243贝l山xe(0,4)知，cosZFBE=l-x2e(1,l),故 NFBE 为锐角,且 sin ZFBE e (0,当取得右侧边界点时，8,c,r三点共线，不.i2aBEF的面积S=BE-8FsinNFBE=-sinNFBEe(0,23能构成三角形，故无最大值,故B错误，D正确;故选：D（2021浙江高三月考）九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面

21、均为直角三角形的四面体称为“鳖腌”，如图在堑堵A8C-A4G中，AC1BC,且AA=A8=2.下列说法正确的是（）A.四棱锥C-A&8A为“阳马”B.四面体ACC4为“鳖席”c.四棱锥b-aacg体积的最大值为:D.过A点分别作于点E,AF_LAC于点/，则EF_LA,8【答案】D【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵所以在堑堵中，AC1BC,侧棱AA，平面48c在选项A中，因为AA，BC,AC1BC,显然8c与48不垂直，且ABBA为矩形，所以四棱锥C-AB/4不为“阳马，二故A错误；在选项B中，山AC*

22、L8C,AGGC且ccnsc=c,所以AG_L平面8BCC，所以AG_L8C，则aACG为直角：角形，A4G为直角三角形，山CC,1平面AC圈，得aCC.b为直角三角形，ABC不为直角三角形，所以ACG4不是“鳖嚅”,，故b错误；在选项C中，在底面有4=AC2+BC222ACBC，即ACBC42,当且仅当AC=BC时取等号，1124则%.AACC,=Sa“cc,xBC=3AVACxBC=ACxBC汨，所以C错误:在选项D中，由BC,平面A4GC,则8(7_14尸,4尸，4且4,，8CJ以，BCPD,同理可证PC-LA8,PB1AC,因为率=把，则黑=黑，:NPDO=/PDA,故POD-APDA

23、,PBCOBCPDPO所以，ZAPD=NPOD=90.PALPD,因为R4_L8C.5CnPO=。，.B4,平面PBC,:PB、PCu平面PBC,.帖_LPB,PA1.PC,又因为PC_LAB,PAAB=A,故PC!平面R4B,.PBu平面E4B,则尸C_LP8,所以，PA、PB、PC两两垂直，将三棱锥P-ABC补成长方体PADB-CEFG,则三棱锥P-A8c的外接球直径等于方体PADB-CEFG的体对角线长，H|1PA2+PB2+PC2=（26丫=12,所以，S,B+5.+Sg=g（PA-PB+PB.PC+PC.PA）PA2+PB2+PB-+PC2+PC2+PA2PA2+PB2+PC2,/O

24、N=r=6，所以O“二J。尸-HP2=J2-=,V42hn=Jon2-oh2=卜-；=誓.所以mn=VF5.因为点G是球。上的动点，所以点G到MN的最大距离为4=。+=也+6,2故aGMN面积的最大值为;MN/=gx+叵!叵.故选：A（2021全国高三专题练习）如图，已知平面。0=/,A、B是/上的两个点，C、。在平面夕内，且D4J_a,Cfia,AD=4,AB=6,BC=8,在平面a上有一个动点P,使得乙$D=ZBPC,则P-ABCD体积的最大值是（）A.24。B.16C.48D.144【答案】C【分析】由题设条件知两个直角三角形皿与4依。是相似的直角三角形，可得出PB=2B4，PMLAB,

25、垂足为M.令AM=f,将四棱锥的体积用f表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项.【详解】：ZMu面/，DAla,:.a】。.VDALa,CBka,，抬。和aPBC均为直角三角形.ZAPD=NBPC,二PADPBC.：AD=4,BC=8,APB=2PA.过P作尸垂足为M.则4.令AA/=r,（re/?）.则PA2-AM2=PB-BM2B|JPA2-/2=4E42-（6-/）2,r.PA2=12-4r,PM=42-t-f-底面四边形ABCD为直角梯形面积为S=g（4+8）x6=36.VP_ABCD=1x36xyjl2-4t-t2=12-（；+2）2+16与平面OEFC互相垂直，P是AE上的一个动

26、点，则（）AA. CP的最小值为C. PD+PF的最小值为也一人B.当P在宜线AE上运动时，三棱锥。-8P厂的体积不变D.三棱锥A-OCE的外接球表面积为3万【答案】BD【分析】由题可知=,可判断A：根据条件可知P8F的面积不变，到平面P8斤的距离也不变,可判断B；将AOE翻折到与平面A8FE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D.【详解】对于A,连接DP,CP,易得CP=J丑尸+CZ)2=J果尸+12与1=乎,故A错误：对于B,P在直线AE上运动时,P8F的面积不变，。到平面尸8尸的距离也不变,故:.棱锥O-BPF的体积不变，故B正确：对于C,如图，将/WE翻折到与平面A8FE共血，则当久

27、P、下三点共线时，PD+P厂取得最小值+=42+,故C错误：对于D,将该几何体补成正方体，则外接球半径为电，外接球表面积为3万，故D正确.2故选：BD.（2021广东湛江高三月考）如图，等腰直角三角形4近的斜边A8为正四面体A-8CD的侧棱，AB=2,直角边AE绕斜边A8旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A.三棱锥EBCD体积的最大值为叵3B.三棱锥E-BC。体积的最小值为立二13C.存在某个位置，使得AE_L3OD.设二面角D-4B-E的平面角为。，且0。/，则9N）AE【答案】AC【分析】。是4B的中点，点E在以。为网心，1为半径的圆上运动（圆锥的底面圆），作出图形，观察E到平

28、面ABC距离的最大值和最小值,计驾体积判断AB,把CACB,CD去掉，作出图形，分析在与9所成角二面角O-AB-E的大小判断CD.【详解】在图I中，F是C的中点，。是他的中点，点E在以。为圆心，1为半径的圆上运动,图1易知当F,O,E三点共线，旦。在E,尸之间时，三棱锥E-8C0的体积最大，当E运动到鸟的位置时，E-BCD的体积最小.在RTaBOF中，BO=T,BF=OF=应,sinN8F0=FE=忘+1,尸鸟=近-1.设E,g到平面BCD的距离分别为/i，也，则=立普也=立4电耽。=+,a/3a/3所以三棱锥E-8C。体积的最大值为1x4!二lx63 V3冬1,最小值为也二1, A正确，B错

29、误.7T如图2,因为直线BD与旋转轴AB所成的角为y,IT母线峡与旋转轴斤成的角为“D7TTT7T所以直线4七与8。所成角的范围为y+因为鲁吟，所以存在夹角好的情况,ITTT又因为线线角的取值范围不包含钝角，所以直线A当与8。所成角的范围为-,y,即可得出aelbrc正确.如图2,当E运动到当时，二面角的平面角为DOE2,在aOAE?与aOOE2中，AD2=AO2+OD2,AE1=AO2+OEl，所以AOOD,AE2OE2,所以cosZ.DOE2ZDAE2,即0/DAE?,D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：根据二面角的定义，利用余弦函数的定义进行判断是解题的关键.（2021福建福州三中高三月

30、考）如图，已知圆锥的轴截面以8为等腰直角三角形，底面圆。的直径为2.C是圆O上异于A,8的一点，。为弦AC的中点，E为线段PB上异于尸，8的点，以下正确的结论有A.直线AC_L平面尸DOB.CE与PO一定为异面直线C.直线CE可能平行于平面PDOD.若8C=&，则CE+AE的最小值为6+1【答案】ABD【分析】利用线面垂直定理可判断A,由异面直线判定可判断B,利用反证法可判断C,利用平面几何知识可判断D.【详解】对于A项：在AOC中，OA=OC.。为AC中点，所以AC_LO。，又PO垂直于圆O所在的平面，所以POJ.AC,因为POnOD=O,所以ACJ_平面&X）,故A正确.对于B项：由于P,

31、C,E共面，且。在平面PCE外，所以CE与PZ）异面，故B正确.对于C项：因为CBO。可得或平血PDO,若直线CE平面PDO,则有平面PBC平面PCO,这与两平面有公共点P矛盾，故C错.对于D项：在三.棱俳P-A8C中，将侧面PBC绕尸8旋转至平面P8C,使之与平面以8共面，如图所示，则当A,E,C共线时，CE+AE取得最小值,因为AB=2，BC=y/2=PB=PC所以NA8C=105,由余弦定理可得AC=G+1，即ce+ae的最小值为百+1，故D对.故选：ABD.（2021广东高三月考）在直角三角形4BC中，ZABC=30,a,匕为空间中两条互相垂直的直线，AC所在直线与a,6都垂直，斜边A

32、3以直线AC为旋转轴旋转，下列结论正确的有（）A.当直线AB与a成30角时，AB与方成90。角；B.当直线AB与。成45。角时，AB与6成60。角：C.当直线AB与a成60。角时，AB与匕成45。角；D.直线48与人所成角的最小值为期；【答案】ABCD【分析】因为“，方为空间中两条互相垂直的直线，所以，通过平移后，总可以将两条直线移到同一个平面内，且互相垂直，如图所示圆锥中，利用线面角、线线角的关系，即可得到答案；【详解】因为“，/，为空间中两条互相垂宜的直线，所以，通过平移后，总可以将两条宜线移到同一个平面内，且互相垂直，如图所示圆锥中，对A,令C为直线b,BC为直线。，8,8C,CJ.AC

33、,ACcBC=C,COJ平面ABC,CDJLA8,即AB与6成90。角,故A正确;A对B,当直线A894成45。角时，令8E直线，E尸直线6,作8尸E尸，则cosNABE=cosNFBcosZABf,即cos45=cosZ.FBE-cos30,即cosNFBE=#,假设成603jr角，则cosZ.ABP=cosNPBFcosZ.ABFcos60=cos(-Z.FBE)-cosNABF,即cos60=sinN月?cos30，cosNFBE=Y显然成立，故B正确；3对C,令席在线b,E/直线”，与B选项同理可证，故C正确；对D,当直线时，直线AB与人所成角取到最小值为30,故D正确:故选：ABCD

34、（2021重庆西南大学附中高三月考）已知点A为圆台下底面圆。2上的一点，S为上底面圆Q上点，且S=l,002=6。/=2,则下列说法正确的有（）A.直线SA与直线002所成角最小值为1O7TB.直线SA与直线RO?所成角最大值为。C.圆台存在内切球，且半径为32D.宜线4。与平面5QQ所成角正切值的最大值为电2【答案】AB【分析】过点S作的平行线，从而找到直线SA与直线。02所成的角，进而求出角的范围，即可判断A.B；对C,作出轴截面的内切圆，进而通过内切圆的性质检验数据（线段长度）是否矛盾，进而得到答案；对D,先作出线面角，进而求出线面角正切值的最大值，最后得到答案.【详解】由题意，设上下底

35、面半径分别为凡，&,其中N=1,g=2,图1如图I，过S作S。垂直于下底而于。，则所以直线SA与直线所成角即为直线SA与直线SD所成角,AnAn即NA叩为所求，而3乙45。=防=耳，由圆的性质，l=4-qQVADVQD+&=3,所以c AD AD # 后、 tan ZASD = -=-e”3SD 63所以ZASDHj,则A, B选项正确. 6 3对于C选项，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图2,梯形的上底和下底分别为2,4,高为百，易得等腰梯形的腰为JF+（石=2,假设等腰梯形有内切网，由内切圆的性质可得腰长为K+g=3w2,所以圆台不存在内切球；对于D选项，如图3,图3

36、其中 AH = xe0,2,当 xw(0,2时,当x=0时,tan A。 =0,tan AOH在（0,2上单调递平面SBC即平面SO。，过点4做AHLBC交BC丁点H,因为SO垂直丁下底血，而AH包含丁吓底面,所以SO_LA”,又S）n5C=O,所以AHJ_平面S8C,所以直线4。与平面SO、。2c所成角即为4。用，tanNAO,H=,5tl设AW=x,则Q”=J&-A/2,所以。=(OQ；+O=V3+4-X2=J7-V,Ax所以tanAa“二kK=口，un增，所以当x=2时,tanA0H=的最大值为snAQH=卜斗,所以d选项错误.故选：AB.【点睛】本题设问较多，问题比较复杂，对选项D这样

37、的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法解得答案.（2021.湖北黄石.高三开学考试）如图，正方体A8CO-A4G。的棱长为1,E,尸分别是棱4ACG的中点，过直线所的平面分别与棱8片,。交于M,N两点，设8M=x,xw0,l,以下说法中正确的是（）B.四边形MEN尸的面积最小值为1C.四边形MEN尸周长的取值范围是4,40D.四棱锥C-MENF的体积为定值【答案】ABD【分析】由线面垂直的判定定理证明4CL面BOO4，再由EF/AC可得EF上面BDD冏,再由面面垂直的判定定理即可判断A；证明F，MN.求出MN的最小值，计算即可判断B；先证明四边形

38、MENF为菱形，可得周长工=4目0.计算出EN的最值可判断选项C：由等体积计算Vq-MENF=Cj-EFAf十%-EFN=2Vq-EbM=2匕/,可判断D,进而可得正确选项.【详解】对于A：连接AC,BD,EF,因为四边形A8C是正方形，所以ACJ.50,因为面ABC。，ACu面ABCD,所以Bqj.AC,因为BOc8用=8,所以AC_L面8。线，因为,尸分别是棱AA，C的中点，所以砂AC,所以所_1_面8。圈，因为所=面MENP,所以平面MNFJ_平面BDD石，故选项A正确：对于B：因为_1_面8。内，MNu而BDDB所以EFJ_MN,四边形MEN/的面枳为S=；EFMN,因为EF=0为定值

39、，所以只需MN最小即可得面枳最小位，因为BM=x,xwO,l,所以MN=1-2x)2+(0)2=,4x2_4x+3，所以当x=g时，MNmin=4x-4xg+3=&，所以Smin=gx&X0=l，故选项B正确；对于C：因为面A。AA面8CG4，平面MENFc面BCC4=MF,平面MENFc面ADRA=NE,所以MFUNE,同理可证MNF,所以四边形MENF是平行四边形，又因为所以四边形MEN尸是菱形，所以四边形MEN/7周长L=4EM,当x=0时，M最大为,2+(；=乎，当x=g时，最小为1,所以L=4EMe4,26,故选项C不正确：对于D：连接CE,C、M*QN,则%-MENFCiEFM+V

40、q-EFN=2%-EFM=2乂，.5门.48=2*1乂尸乂80*48=2*1乂，*，、以1=1为常数，故选项D正确；3,323226故选：ABD.24.(2021江苏海安高级中学高三期中)在棱长为1的正方体A8CQ-A4CQ中，点尸满足DP=ADDi+iDA,/leO,l,z/eO,l,则以下说法正确的是（当2=时，BP平面CBRJT当=5时，存在唯一点p使得op与直线cq的夹角为当;1+=1时，CP长度的最小值为必2rrD.当义+=1时，CP与平面BCCM所成的角不可能为。【答案】ACD【分析】对于A,可知点尸在线段0A1易证平面ABC/平面CBQ,利用线面平行的性质可证得结论；对于B,可证

41、得点P为A。中点，此时。PC耳可判断：对于C,可知尸,。,4三点共线，线段CP在AC4中，利可求得距离最小值；对FD,设点尸在平面BCC向内的射影为。在线段8G上，则NPCQ为所求角，求sinNPCQe*，W.可判断结果.【详解】uuurum对于A,当4=时，DP=ADDt+DAj=ADA,即点P在线段。A上，利用正方体的性质，易证平面平面CBQ,BPu平面A8。，.BP平面CBQ1,故A正确；uuuuuur1umuiruuuuuuruuuuuui时于B,当=e时，DP=ADDt+-DA=PA+PD=2/10,0,设4）的中点为，则即PHHD.D,即点尸为A。中点，此时。PC4,故B错误;时C

42、P_LA，CP=JCA2-AP2=J(&)2-(2_C力4B1对于D,当/i+=l时，可知p,A，A三点共线,知堂故CP长度的最小值为多故c正琬点?在平面BCC,B,内的射影为Q在线段BG上，则NPCQ为对于C,当/1+=1时，可知p,。,A三点共线，线段CP在ACR中，当点P为4。中点时,CP最小，此CP与平面BCCM所成的角，sinNPCQ=W，乂尸Ce1sin工=立在，所以CP与平面BCCg所成的角不可能为g,3233Dc修4B,故选：ACD【点睛】亨,0.所以sinNPCQe*,4，而故D正确：方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定

43、垂足的位置是关键：证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，利用解三角形的知识求知：-I府T（2）向量法，sin6=kos=（其中AB为平面a的斜线，G为平面a的法向量，。为斜线AB网响与平面a所成的角）.（2021广东高三开学考试）在棱长为1的正方体ABCO-A8G。中，已知E为线段8。的中点，点F和点P分别满足印=九南，*用，其中则下列说法正确的是（）A.当2=时，三棱锥P-E尸。的体积为定值B.当=；时，四棱锥P-A8C。的外接球的表面积是:上4C.PE+PF的最小值为辿6D.存在唯一的实数对（ZM，使得EPL平面PCF【答案】ACD【分析】对于A

44、选项，当时，E/B2，只需要注明点P到平面EFD的距离恒定，就能说明：棱锥尸-FD的体积为定值：对于B选项，当=g时，点尸为正方体的中心，只需求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径即可算出表面积：对于C选项，把问题转化为在平面ABGR内求点P使得PE+PF最小即可求解：对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可.【详解】对于A选项，业=；时，点产为线段AC的中点，乂E为线段8G的中点，故EF为三角形GRB的中位线，E/B。，点P在线段8。运动时，点2到平面EFD的距离恒定，故三棱锥P7力的体积为定值；对于B选项，当=；时，点户为正方体的中心，设四棱锥P-ABC。的外接球的半径为R,由

45、曰=片,解得R=（,故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4乃/=4得=?.对于C选项，把问题转化为在平面ABG。内求点/使得小+尸产最小，如图，作点E关于线段。出的对称点片，过点百作D,AB的垂线，垂足分别为尸和”,则尸+尸尸.与尸，设NE|8A=。，则sin（9=sin（/ABA/=也.故36“=&一1逑.166对于D选项，以。为坐标原点，D4所在的直线为x轴，0c所在的直线为y轴，所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系，易求得（0,0，1），唱,1,；）,*0,2,1）,P（,/-）,故若EPL平面PDF,乔=（-g,T,g，加=而=（0,41）,解得=（舍）或，2 =故存在唯一的实数对（

46、九），使得EPJ平面PDF.故选：ACD（2021.山东潍坊.高三期中）已知正方体A8CO-ABCR的棱长为1,下列结论正确的有（A.异面直线CA与42所成角的大小为2B.若E是直线AC上的动点，则RE平面A.BGC.与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是正2D.若此正方体的每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截正方体所得截面面积的最大值是G【答案】BC【分析】A.易证平面AACC判断；B.易证平面A.8G/平面A8G；C.易知平面为一个与正方体的每个面都有公共点判断；D.点E,F,G,H,M,N分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN”平面PQR求解判断.【详解】A.如图所小

47、:所以所以异面直线CA,与8a所成角的大小为T，故错误;,BR工AC，与马，avagc4人=a,则B。1平面aACG,以A。平面,同理CD/平面AG,因为ARcCR=R,所以平面A/G平面ABG,因为AEu平面ARBG，所以AE平面AfG,故正确;C.如图所示:AH平面为个与正方体的每个面都有公共点，且截面面积5D.如图所示:CA H B最小的面，其面积为：S=-x&x0 xsin6O=上，故正确;,若此正方体的每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，只需平面a与过同顶点的三条棱所成的角相等，设AP=A。=4R,则平面PQR与正方体过顶点A的三条棱所成角相等，若点E,F,G,H,M,N分别为相应

48、棱的中点，可得平面EFGHMN/平面?。凡且六边形？FGMWN为正六边形，正方体的棱长为1，则正六边形的边长为立，此时正六边形的面积为地，为截面的最大面积，故铝i兀24故选：BC（2021山东,安丘市普通教育教学研究室高三月考）如图，AC为圆锥的底面直径，点B是圆。上异于A,C的动点，SO=OC=2,则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为4上兀QB.三棱锥S-A8C体积的最大值为三3C.的取值范围是D.若AB=BC,E为线段A8上的动点，则SE+CE的最小值为26+1【答案】ABC【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断选项A；当OB_LAC时，aABC的面积最大，此时体积也最大

49、，利用圆锥体积公式求解即可判断选项B；先用取极限的思想求出NASB的范围,再利用2NSAB+NAS8=;r,求范围即可判断选项C：将ASAB以AB为轴旋转到与aA8C共面，得到BA8,则（SE+CE）.=SC，利用已知条件求解即可判断选项D.【详解】在RtASOC中，SC=yjscf+OC1=25/2-则圆锥的母线长/=20，半径r=OC=2,对于选项A：圆锥S。的侧面积为：Ttrl-Ayfljr故选项A正确：对于选项B：当08_LAC时，aABC的面积最大，此时S.abc=；x4x2=4,11Q则三棱锥S-ABC体积的最大值为：-xScxSO=-x4x2=,故选项B正确；jr利丁选项C：当点

50、B以点A用介时,ZASB=0为被小角，.当照B1J点CR介时,ZASB=,达到最大值,又因为B与AC不重合，则N4SBe（0,）,X1Z.SAB+ZASB=re,可得NSABe（了另），故选项C正确：对于选项D：山AB=BC,NA8C=90。,AC=4,flAB=BC=2/2又SA=SB=2&则ASAB为等边三角形，则NSBA=60,将ASAB以AB为轴旋转到与共面，得到同A8,则向A8为等边三角形，NS由A=60,如图：则（SE+CELSC，因为8=8C=2五,NS18C=ZS,BA+ZABC=150,SQ=B?+BC?-2x51BxBCxcos150。=8+8+86=（26+2/则（SE+

51、-C=2（G+1）,故选项D错误:故选：ABC28.（2021广东广州高三月考）如图，矩形中，AB=2AD=2,E为边AB的中点，将“沿力后翻折成AQE,若M为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（）A.翻折到某个位置，使得。AJLECB.翻折到某个位置，使得AC,平面4QEC.四棱锥A-OC8E体积的最大值为也4D.点M在某个球面上运动【答案】ACD【分析】对于A选项，=百时，即AOJLAC时满足条件；对于B选项，由ACLOE不成、工，进而可判断；对于C选项，平面平而48第时一，四棱锥A-OC8E体枳的最大，再求解即可；对于D选项，取0c中点0,连接QM,即可得M在以点。为球心的球

52、面上.【详解】解;对于A选项，山题知A。，若存在某个位置使得“，EC,由于AEflEC=E，故A。，平面EC,即A。，AC,由于/W=2AD=2,故AC=G，由丁在折叠过程中，ACe（l,V5）,所以存在某个位置，使得AC=g,故存在某个位置，使得oa_lec,故A选项正确：对于B选项，若存在某个位置，使得则行ACLDE,另一方面，在矩形ABCO中，TTTTZAD=t,ZCAE-,故AC_L0E不成立，所以B选项错误；44对于C选项，四棱锥A-OC8E体积的最大时，平面AOE，平面ABC。，由于4。后是等腰有角三角形，所以此时点A到平面。CBE的距离为Y2,所以四棱锥A.-DCBE体积的最大值

53、为2v=-SBCDE-=-x-x（2+xlx-=,故C选项正确；对于D选项，取0C中点。，连接。河，由TM为线段的中点，所以OM/AD,OM=；AO=g，所以M在以点0为球心的球面上，故D选项正确.故选：ACD29.（2021山东师范大学附中高三开学考试）如图，在正方体ABC。-A4GR中，点2在线段8c上运动,则下列结论正确的是（A.宜线平面ACQB.三棱锥AGP的体积为定值C.异面直线a与所成角的取值范围是30。,90。D.直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为直3【答案】ABD【分析】对于A,利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断：对于B,利用线面平行的判定定理，

54、得出与c平面AG。，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断：对于c,利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D,通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于A,连接BD，;ACAG-LBB,BRcBB,=Bt,AC_L平面88,4，AGLB。，同理，DCBD,AGcOC1=G，.,.直线平面AG。，故A正确；对于b,V/B,C,AOu平面AG。，8ctz平面AG。，B|C平面4G。，.点P在线段BC上运动，.点尸到平面AC。的距离为定值，乂aAC。的面积为定值，利用等体积法知三棱铢。-AG尸的体积为定值，故b正确；对于

55、C,AOBC，异而直线AP与所成的角即为心与BC所成的角，当点户位于C点时，AP1J8。所成的角为60。.当点P位于8。的中点时，AB_L平面BCC-BP1BC，.4P_LBQ此时，AP与BQ所成的角为90。，.异面立线AP与所成角的取值范围是60。,90。,故C错误；对于D,以O为原点，D4为x轴，OC为）轴，。为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体A8C-A8Ca的棱长为1，P（a,a）,则。（0,0,0）,4（】，0，1），C,（0,1,1）,函=（1,0,1）,西=（0,1,1）,印=（a,0,a-l）,rz、fn-DA=0y=0设平面AG。的法WJ量=（x,y,z）,则_晨,即八，Is

56、.fir-fiIt-11令X=1,得无所以，宜线GP与平面AG。所成角的正弦值为:|甲T11巾|同行/，I1一显当。=:时，直线GP7面AG。所成角的正弦值取得最大伯.，最大值为丁，故D正确.2G正故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的“算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.三、填空题（2021河南高三月考（理）已知正三棱柱A8C-A8C内有4个半径为1的半球，若这4个半球的球面两两相切，且其中3个半球的球心在该棱柱底面ABC上.则正三棱柱A

57、BC-ABiG侧面积的最小值为【答案】46+120【分析】根据正三棱柱的性质，结合正三棱锥的性质、球的性质进行求解即可.【详解】4个半球的球面两两相切，当正三棱柱4BC-A4G侧而枳最小时，:而11个半球，球心记作Q，F面有3个半球，球心分别记作。2，。3，Q，点。3，都在底面ABC上，半径为1的圆。2，4，。4分别与ABC的两条边相切.可得A3=1+1+2BE=2+2x=2+2,tan30设aABC的中心为。，三棱锥g-&q4是棱长为2的正四面体，。是。3。4的中点，O2D=yl22-l2=V3.a*。吐手,*=广步普,当正三棱柱ABC-A4G侧面积最小时，其高为。，所以正三棱柱A8C-A8

58、Q侧面积的最小值为3A8xOQ=4#+1272.故答案为：476+1272【点睛】关键点睛：运用正三棱柱、正:棱锥、球的性质是解题的关键.（2021广东龙岗高三期中）已知正方体ABCD-A耳GQ的棱长为2,点E为AA中点，点尸、”在四边形ABC内（包括边界），点P到平面A网A的距离等于它到点。的距离，直线M8J/平面田。，则PM的最小值为.【答案】空10【分析】建立空间直角坐标系得到在平面x0y中点尸、M的轨迹方程，然后利用导数知以进行求解即可.【详解】如图所以0（0,0,0）,E（l,0,2）6（0,2,2）,a（2,2,2）,设P&,%,0）,M（卬y?，。）山点P到平面ABB,A的距离等

59、于它到点。的距离，即点P到AB的距离等于它到点D的距离在平面x?y中，直线AB方程为x=2所以|2-xJ=Jx：+y=4-4xj（0 x,1）.所以点P的轨迹方程为y=V4-4.r（0 xl）DE=（l,0,2）,Dq=（O,2,2）,Bf=（2-2,y2-2-2,）,设平面Eg。的一个法向量为A=（x,y,z）n-DE = 0 x + 2z = 0则 n-DC1 =0(2y + 2z = 0令z = l,所以x = -2,y = -l所以片=（一2,-1,1）,由直线MB、/平面ECD所以小月法=0=2x2+%-4=0所以点A/的轨迹为2x+y-4=0(lxn平面ABF=AB,8C_L平面A

60、BEF,又ABLBE.AB,BE,8C两两垂直.以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，LiiaimmimuAC 月= -x+z = 0,BF n = x+y = 0,则A(l,0,0),8(0,0,0),尸(1,1,0),C(0,0,1),.MC=(1,0,1),8尸=(1,1,0),AA=(-1,0,0),设异面直线AC、的公垂向量为=(x,y,z),则，令x=l,则y=-l,z=【，=ium|ABj=1=/3(即的最小值为3.|n|7333(2021浙江省杭州第二中学高三开学考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的表面上，尸平面ABC,PA=6,AB=20,AC=2,8c=4,