高三数学解析几何综合题解题思路案例分析

1、解析几何综合题解题思路案例分析北京中国人民大学附中梁丽平陕西省咸阳市永寿中学安振平解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考 生在解答时，常常表现为无从下手， 或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于： 通观全局，局部入手，整体思维 .即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路， 解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在 TOC o 1-5 h z 审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运

2、算难关判别式-解题时时显神功2 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 案例1已知双曲线C : y x =1 ,直线l过点A（J2,0 ）,斜率为k ,当0 k 1时，双 22曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为 J2,试求k的值及此时点 B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式A =0.由此出发，可设计如下解题思路：l : y k（x - 2

3、）0 二 k 二 1直线i在l的上方且到直线l的距离为 双-： = 0l: y =kx + J2k2 +2 病把直线l的方程代入双曲线方程，消去 y,令判别式解彳导k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有 点B到直线l的距离为J2”，相当于化归的方程有唯一解 .据此设计出如下解题思路:问题kx 一弋2 +x2 -V2k关于x的方程 1= J2 (0 k 1/唯一解口转化为一元二次方程根的问题 求解简解：设点乂仪,中2十乂2）为双曲线C上支上任一点，则点 M到直线l的距离为:kx2 + x2 同 242(0k1)G ) ,k2 1于是，问题

4、即可转化为如上关于x的方程.由于0 k x a kx,从而有kx 一 寸2 + x2 V2k = -kx + J2 +x2 + 2k.于是关于x的方程(曲)：=-kx - J2 x2、, 2k = 2(k2 1)q2 + x2 2 = (，2(k2 +1) 一&k + kx)2, u 2(k2 1) - .2k kx . 0一 j(k2 -1 x2 +2kQ2(k2 +1)2k x +q2(k2 +1) _&k )-2=0,j /2(k2 1) - .2k kx 0.由0 k 1可知：方程(k2 -1 x2 +2k(,2(k2 +1) _ V2k x 十(J2(k2 +1) _ V2k 2 _

5、 2 = 0 的二根同正，故&(k2 +1) j2k + kx a 0恒成立，于是e将价于 - -2 k2 -1 x2 2k . 2(k2 1) - . 2k x . 2(k2 1) - , 2k -2=0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式4=0,就可解得k = 25 .5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越 性.判别式与韦达定理-二者联用显奇效案例2 已知椭圆C：x2 +2y2 =8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于 A、B两点，在线段八APAQAB上取点Q,使二=-二，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PBQB分析：这是一个轨迹问题，解题

6、困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应 该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率k作为参数，如何将x, y与k联系起来？ 一方面利用点Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目条件:APPBAQ来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 X4(Xa Xb) - 2XaXb8 (Xa XB)QB k的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可 .利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x 4)+1

7、,消去参数k点Q的轨迹方程在得到X = f(k后后，如果能够从整体上把握， 认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 x, yy -1的万程(不含k),则可由y =k(X -4)+1解得k =，直接彳弋入x= f(k)即可得到轨迹方程。X -4从而简化消去参的过程。AP AQ间斛：设 A(xi,y1)B(X2, y2),Q(x, y),则由=可得:PB QB4 - x1 x - X1x2 - 4 x2 - x解之得:4(x1 x2) - 2x1 x28-(X1 X2)(1)设直线AB的方程为：y = k(x-4)十1,代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：(2k2 +1 X2 +4k(

8、1 -4k)x+2(1 -4k)2 -8 = 0(2)X1X24k(4k -1)2k2 1通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心 中有数.2X1X22(1 -4k)2 -82k2 1代入（1）,化简得：x = 4k+3 k 2与 y =k(x 4)十 1 联立，消去 k得：(2x+y 4(x 4) = 0.210， k 0 ,解得4得 16-2 10916 2. 10:二 x :二9故知点Q的轨迹方程为：2x + y 4 = 016 -2、10916 2,10 x 0的情形.当k 0时,-27k 6 9k2 -59k2 4x2-27k -6,9k2 -

9、59k2 4所以APxi -9k 29k2-5 d 18k d 18= _=：=1=1PBx2 9k 2 9k2-5 9k 2.9k2 -59 2 9- 5k由 A=(34k)2 180(9k2+4)之0,解得 k2 5, 9 TOC o 1-5 h z 181所以 -1 -1 -.9 2 9 - 55kAP 1综上-1 _ AP _ -1.PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由 判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理,一 . AP

10、原因在于二PPBXix2不是关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于Xi , X2的对称关系式简解2：设直线l的方程为：y =kx +3,代入椭圆方程，消去 y得(9k2+4X2+54kx + 45 = 0(*)Xi +X1X2X2 =-54k2 9k 4459k2 4令血=,则,X2-2324k22 TOC o 1-5 h z 45k20在(*)中，由判别式 之0,可得k29324k2. 36从而有 4 7,45k2 205136所以 4 - 1 2 -5一 1 一解得- -5.51.结合0 九W1得1 w九W1.5AP 1综上，-1MAp M-1.PB 5点评：范围问题不等关系的建