祖氏父子的数学贡献课件

1、4源远流长、成就卓著的中国古代数学 中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国。中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步。同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。 数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为“算术”即“算数之术”。就是说，古代中国的术语“算术”相当于英文中的mathematics，而不是arithmetic,.所研究的内容大体上是今天数学教科书中的算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来，自述又称为算学、算法。 宋元时期开始使用“数学”一词，此

2、后算学、数学两词并用。1939年6月，经中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不再用“算学”。 与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著。本章按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学发展的状况。4.1 先秦时期中国古代数学的萌芽 中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一。数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的古代。根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽。一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：4.1.1 结绳记事中国古代记数方法的起源是很早的。据易*系辞传

3、称：“上古结绳而治。”易*九家义明确地解释了这种方法； “事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方法是很古老的。据史记记载：“伏羲始画八封，造书契，以代结绳之治。” 这表明，在伏羲这一位中国神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就已十分流行，并且在他的时代已开始用“八封”和“书契”等方法来代替“结绳记事“了。 4.1.2 规矩的使用 规矩是中国传统的几何工具。至于它们的用途，周礼、荀子、淮南子、庄子等古籍都有明确的记载。“圆者中规，方都中矩。” 说明它们分别用于圆与方的问题。它们的起源也是很早的，据史记记载，夏禹在治水时就“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道

4、”。甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手执矩，女社娲手执规”的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲。规与矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规与矩的关系是十分密切的。 4.1.3十进位制记数法、分数的应用及筹算在中国第二个奴隶制王朝商代（公元前16世纪到公元前12世纪），甲骨文已发展成熟。据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值制记数法”，并有十，百，千，万等专用的大数名称（如图4-1）。这是对世界数学最伟大的贡献，正如李约瑟博士所指出的那样： “如果没有这种十

5、进制，就几乎不可能出现我们亮个统一化的世界了。” 而这一点双正是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。除了数学以外，中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及其应用，在管子、墨子、商君书、考工记等春秋战车时代的古籍中都有明确的记载。到春秋战车时代，自述四则运算已经成熟。据汉时燕人韩婴所撰的韩诗外传介绍，标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌“在春秋时代已相当普及。吕氏春秋还记载有这样一个有趣的故事：在春秋时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个背熟“九九歌”，便向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：“道仅仅国为你精通九九之术，我便要重用你吗？”这个人答道：“如果君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇重用，

6、还怕真正有才能的人不来为君王效力吗？”齐桓公是否厚待此人不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了。 算筹是中国古代的计算工具。筹即小竹棍或小木棍（也有用骨、金属材料或象牙制成的，如图）。从出土的汉代算筹可以知道，这种算筹比我们日常使用的筷子稍短稍细一点，古人就用它来进行计算，相应的第一套算法也就称为筹算。从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年。用算筹表示数有纵横两种摆法（如图43） 记数时与十进位值制相配合，采用从左到右（或从上到下）纵横相间的摆法。如6728表示为 ；如遇零时则空一格，如6708，表示为 。即使这种空位很小，也会由纵横相同的法则看出。

7、与巴比伦相比，他们虽然也早有位值制的思想，但由于没有零的记号，辩别一个具体的数时，往往令人难以琢磨。 4.1.1 精湛的几何思想 除了那些出土的陶器（如图4-4）等给我们展示了那个时代各种精美的几何图形外，更令我们感兴趣的是战国时期（公元前475-公元前221年）的诸子百家，各古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。 墨家的代表著作墨经记载了许多几何概念，如 “平，同高也“（即两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）； “中，同长也”（即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球点）到圆周（球表面）的距离相等）；“圈，一中同长也”（

8、即圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周七球表面上任一点到中心的距离相等）； 这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的证明。在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。” 名家以善辩著称，对无穷的概念有着更深刻的认识。据庄子记载，名家的代表人物惠施曾经提出：“至大无外谓之大一，至少无外谓之小一”。这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思。此外，庄子中还记载了许多著名的论断：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（即一尺长的要棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永远都不会截取完的）；“飞鸟之影，未富士通劝也；镞矢之疾，而有不

9、行不止时（即天上飞行的鸟不一定就是动的；飞速射来的箭既不是运动的，也不是静止的） 这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。4.1.5 数学教育的开始 我国的甲骨文中早就有了关于教育的记载。而记载周代教育制度的古老典籍周礼*地官中保氏一节称： “保氏掌誎王恶，而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。” 其中礼、乐、射、御为大艺，前者为大学所授，后都乃小学所习。并称： “六年教之数，十年学书计。” 可见，早在周代，国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一，从六岁或十岁就教数数及计算了。对数学教学如此重视，且

10、以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的。4.2 汉唐时期中国数学体系的形成 从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主根标志是以九章算术为代表的中国传统数学体系的形成。 4.2.1周骨卑算经和勾股定理 汉书*艺文志所记载的杜忠算术与许商算术大概是中国有记载可考的最早的数学著作，可惜均已失传。1984年，湖北江陵张家山出土了一部汉简算数书，据考证，此书是汉高祖（公元前206年？）到汉文帝（公元前179年

11、）时期的一部数学著作，它也是中国目前所能见到的最早的数学专著。该书以问题集的体例编篡，全书共90题，包括整数、分数的四则运算，比例问题，面积与体积等，大部分内容与九章算术相似。 比九章算术稍早且流传下来的一部重要的著作是周骨卑算经，该书原名周骨卑，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪公元前8世纪）。唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入算经十书，并改名为周骨卑算经。严格地讲，它并不是一本数学专著，而是一部介绍“盖天说“宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在开方测量中的应用。 该书卷首记述了一段

12、精彩的对话： “昔者周公问于商高曰：古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 这就是我国有关勾股定理的最早记录，这里叙述了勾股定理的一个特例。接着，在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理： “求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”如图，即给出公式 邪至日（弦） 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的。赵爽是中国历史上首先对周骨卑进行认真研究和注释的学者。他的工

13、作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图。其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。 在这篇多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中黄实。如差实一，亦成弦实。”即如图，以勾股作为长方形的二边，其面积是朱色直角三角形面积的二倍。以勾股差为边作中间的黄色正方形，加上四个朱色三角形与以弦为边长的正方形面积相等这样，赵爽就利用面积割补的方法证明了勾股定理另外，在这篇注文中，赵爽还给出并证明了有关解直角三角形的27个命题 。 此外，该书还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高

14、等同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的 4.2.2 九章算术 标志着中国传统数学理论体系形成的是九章算术的成书该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1世纪初中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功也许正是这种原因，决定了九章算术所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系 九章算术全书采用问题集的形式，书中每道题皆有问有答有术， 其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的

15、一题一术，有的多题一术，有的一题多术全书内容丰富，且密切联系实际，九章算术全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章对于每类间题，九章算术中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学理和公式，但没有证明。解法大多数是正确的，有些是近似的，极少数有错误 “方田”是九章算术的开卷章，主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则其中，平面图形有方田（长方形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（说法不一，未有定论）、弧田（弓

16、形田地）、环田（圆环或环缺形田地的面积算法，除宛田、弧田是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是确无误的分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术均值）、乘分术（分数乘法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的 。 “粟米”章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之的兑换比率及四项比例算法四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数（所有数X所求率）所有率，这里，所有率、所求率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词如“

17、已知麦与米的比率是3:2，现有麦子60斤，问能兑换大米多少斤？”在这个问题中，所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是已有麦子的斤数，所求数就是欲求的大米斤数，这样，按上述公式，能兑换大米的斤数为（60X2）/3=40（斤），九章算术还将这一算法用于解决上些更复杂的问题第三章“衰分”主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关例如第一问： “今有大夫、不更、簪褭(nia。读音，下同）、上造、公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各几何？” 大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4,簪褭3、上造2、公士1的比率

18、分配其解法相当于 大夫得 (头）不更得 (头）簪袅得 (头）上造得 (头）公土得 (头） 第四章“少广”主要成就包括开平方、开立方的算法 第五章“商功”主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题 第六章“均输”章主要论述较为复杂的配分比例问题其中最引人注目的是“均输术”这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题 第七章“盈不足”主要论述盈亏问题的解法盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出 钱，则多出 钱；若每人出

19、 （ ）钱，则又不足 钱，求人数与物价九章算术给出的方法相当于公式： 人数= 物价= 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法例如“双鼠穿垣”题，讲有一大一小两只老 鼠在城墙两边同时开始相向打洞，大、小鼠第一天皆各打洞一尺，但大鼠以后每天打洞的进度皆是前一天的两倍，而小鼠的进度仅是前一天的一半，问需多长时间此二鼠才能打穿厚五尺的城墙相逢依照题意，设两鼠相逢日数为x，则有化简后为一指数方程，解中需用到对数知识，而九章算术的作者通过对x值的两次假设，将其转化为盈不足问题，求出其近似解为 日相逢由此可知这一方法具有一定的 实用价值. 第八章“方程”主要研究线性方

20、程组的解法，其基本思想是消元在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法” 以该章第一题为例，其大意为：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗问上中下等禾谷每捆出粮各多少？设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则有 九章算术给出的表示方法相等于下列矩阵 上禾 中禾 下禾 实其解法相当于下列图示方法 即上等

21、禾谷每捆出粮 取斗，中等禾谷每捆出 粮 斗，下等禾谷每捆出粮 斗 “方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，故九章算术提出了以五负术入之”，即引入负数及其运算法则： “正负术日：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之” 即两数相减时，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，正数减零为负数，负数减零为正数；两数相加时，同号则绝对值相加，异号则绝对值相减，正数加零为正数，负数加零为负数在该书的实际问题中已涉及正负数的乘除运算，但九章算术和刘徽注中都没有明确给出其运算法则关于正负数的定义

22、和表示法，刘徽在“正负术”的注文中给出： “今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。” 即正负是“得失相反”两种情况在数学中的反映；可用红、黑两种颜色的算筹或正、斜排列的两种筹式表示正、负数 这是世界上最早关于正负数应用的记载。 第九章“勾股”主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。 九章算术注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着 极其深刻的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于九章算术九章算术成书以后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的数学

23、家们学习、研究和著述的依据 刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详他年轻时十分好学，尤其喜爱数学在当时的数学著作中，九章算术的不少数学问题难度较大，理论色彩也较浓，如“方田”章的分数体系，“少广章”的开方术，“方程”章的线性方程组解法与正负数的概念、运算法则，“勾股”章中的勾股应用等，一般学者难以掌握，为了进一步探索数学的奥秘，让更多人掌握数学，他立志要对九章算术作更深入的研究 4.2.3 刘徽和祖氏父子 1刘徽的数学贡献 数学史界的一个普遍的观点是，如果离开了刘徽的九章算术注去研究九章算术，则很难深人理解九章算术的精髓事实上，刘徽的九章算术注对于阐发九章算术的思想方

24、法，发展九章算术的理论，完善九章算术的体系，作出了杰出的贡献 经过多年的刻苦钻研，刘徽不仅逐步领会了九章算术的精神实质，而且对其中的深奥玄妙之处有了较透彻的理解，于是他决心把自己的研究所得以对九章算术作注的形式一一记载下来为了使自己的叙述通俗化，他为自己规定的目标是用言辞来分析与表达道理，用图形来建立几何直观帮助解决问题具体地说，就是要对九章算术中未加论证的公式（方法）和原理从理论上加以证明或阐说，特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近似程度或错误原因，并提出一些理论推断对于几何概念和命题，则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法，进行一般论证或演绎推理公元263年（魏陈留王景

25、元四年），刘徽的九章算术注终于问世了，书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献 在算术方面，刘徽阐发了九章算术中的分数理论他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度他把分数看作比，由此发展出。率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等，成为中国传统算法理论发展的重要基础，并传人印度、阿拉伯和欧洲，对这些地区数学的发展产生了较大的影响. 在代数方面，九章算术中的线性方程组解法以及正负数加减运算当时世界上无与伦比的两项重大成就前者比欧洲早1 500年，后者也早了1200多年，而给这两项算法以完整 的理论说明的正是刘徽，他第一个给

26、出了方程定义并揭示了方程组的同解原理对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的他把正与负看成是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释，这种方法对于帮助读者正确理解与掌握开方程序是非常有益的此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数斯蒂文（S. Stevin,1548-1620）的小数记法要早出1 300多年。 在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者他以别具一格的证明方法对中国古代提

27、出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图形割补法，这与他提出的“解体以图”的目标是一致的刘徽对用图很考究，不仅对插图施以颜色，用黄屯朱、青三种颜色标出各种不同的图形，而且强调要“按图为位”，使图形与文字互相对照特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色 （1）割圆术 九章算术“圆田术”给出了圆面积的计算公式： “半周半径相乘得积步” 即圆田积步C*R/2（其中C为圆周长，R为圆的半径）可见，在九章算术的作者看来，圆与一个长为圆周的一半、高为半径长方形，或以圆周为底边、半径为高的三角形面积相等为了证明

28、这一公式，刘徽创造了著名的“割圆术” 刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法 首先，刘徽以“割圆为六瓤图”来指出古率“径一周三”实际上是六瓤，（如图4一9，正六边形）的周长（ ）与直径之比然后从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次计算得到正多边形的周长和面积如图4一10 “以六瓤之一面乘半径，因而三之，得十二瓤之幂” 。即有 若又割之，次以十二抓之一面乘半径，因而六之，则得二十四瓤之幂” 。即有 若令 ，如 即是圆除去其内接“十二瓤”的小弓形面积总和，这些小弓形面积在割圆术“化圆为方”的过程中是要舍弃的所以刘徽指出： “割之弥细，所失弥少割之又割，以至不可割，则与圆合

29、体而无所失矣” 即随着分割的不断细密， 的值不断变小当分割至“不可割”的极限状态时，内接正多边形与圆重合， 而“无所失”了 刘徽还注意到，如果在圆的内接正3X2“边形的每一边上作一高为“余径”（半径与边心距之差）的矩形，就可得到 这样就不需要计算圆的外切正多边形的面积来得到圆面积的上限和下限了这一公式可以称之为“刘徽不等式” 刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直推算到圆的内接正192边形得到圆周率的近似值为 ，化为分数就是157/50，这就是著名的“徽率”刘徽还进一步声明：“此率尚微少”，沿用这一方法可得到更为精确的近似值 (2）体积理论 九章算术“商功”章给出了柱、锥、台体及拟柱

30、体的体积公式，其公式的编排明显地带有某种逻辑顺序刘徽首先将一个长方体（刘徽称之为立方）剖分，得到了几种基本的几何体，如图4一11 “邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖孺”“不有鳖濡，无以审阳马之数；不有阳马，无以知锥亭之类功实之主也” 并指出： “阳马居二，鳖濡居一，不易之率也” 为了证明这一关系，如图4一12，刘徽将一个堑堵ACJLPR斜分为一个阳马AJLRP和一个鳖ACLR，过此堑堵三度的中点进行剖分，则阳马被分割成五个部分：一个小立方DEHGJKNM，两个小堑堵GHMNQP和EHKNOL，以及两个小阳马ADEHG和HNORQ ;鳖孺被分割成四个部分： 两个小堑堵BCEFIH,

31、 EHIFLO和两个小鳖孺ABEH, HIOR将分割阳马所得两个小堑堵GHMNQP和EHKNOL合为一小立方，将分割鳖蠕所得两个小堑堵BCEFIH和EHIFLO也合为另一小立方，这样连同分割阳马所得的小立方DEHGJKNM这些体积是可以计算的，其结果是属于阳马的部分和属于鳖蠕的部分的体积之比为2，1剩下的小阳马ADEHG（属于阳马）和小鳖蠕ABEH（属于鳖蠕）、小阳马HNORQ（属于阳马）和小鳖蠕HIOR（属于鳖糯）又可合成两个堑堵重复上述过程，分属于阳马和鳖蠕的可计算部分的体积之比仍为2，1将此过程无限地继续下去，直到剩余体积为0。，而整个过程中能够计算的阳马与鳖孺的体积之比总是2:1.故刘

32、徽得到了上述“不易之率” 若以a,b,c。表示立方的三度，上述过程相当于由公式 推出了 显然，刘徽在这里熟练地运用了出人相补原理和无穷分求和原理 利用这四种基本几何体，将其他的几何体加以恰当的分割，就可以方便地求出它们的体积了人们把刘徽的这种方法称为“棋验法”如图4一13，对于四棱台，将其剖分为一个立方、四个堑堵和四个阳马，分别计算它们的体积后再相加，即得正确的计算公式。 (3)球体积计算 刘徽一生不仅成就卓著，而且品格高尚在学术研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是坚持实事求是，以理服人如少广章的“开立圆术”给出的球体积（ ）计算方法相当于公式 （这里的D为球直径），粗徽对这一公式的正确

33、性产生了怀疑，他娴熟地使用截面法进行了验证，发现内切圆柱的体积( ）与正方体的体积（ ）之比为 /4 ，在九章算术取 =3的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 / 4 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的.为了说明这一点，刘徽又引人了一种新的 立方体：以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖，;(如图4一14中的 )他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为 /4，而明显可以看出，“牟合方盖”的体积比圆柱要小，故上述公式是错误的显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思

34、不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俊能言者”由此我们可以看出刘徽学术研究中的严谨与谦逊的态度，也许正是这二者的结合，使得刘徽在数学研究方面做出了举世瞩目的成就，给后人留下丰富的文 (4)勾股测量 刘徽不仅注重数学的理论研究，而且也注重数学的实际应用他在为九章算术作注的同时，还实际处理了许多测量问题他的另一部著作海岛算经，就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著该书共9问，涉及到的勾股测量方法有重表、累矩、连索以及两望、三望、四望如第二问： “今有松生山上，不知高下立两表，齐高三丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合又望松本，入

35、表二尺八寸复从后 表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合问松高及山去表各几何？” 如图4一15，刘徽借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”得到从而有所以 由此可以看出，海岛算经，是刘徽对帼古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比率和重差测量的演化历程，标志着中算家在测量技术及理论万面所达到的新的高度2祖氏父子的数学贡献 祖冲之（429-500)，字文远，祖籍范阳遒县（今河北沫水县）他生活在南北朝，家学渊博，加上他自幼刻苦勤奋，对天文、数学有浓厚的兴趣，而成一位博学多才的天文学家与数学家、机械制造专家、文学家他编制的大明历，首次考虑到岁差的计算，其日、月运行周期的数据也比当时颁行的历

36、法精确此外，他还改造了指南车，制造了水碓 磨、千里船等他的儿子祖恒，字景烁，也精通历法、数学父子俩都对九章算术与刘徽注有浓厚的兴趣，他们的著作缀术在唐代曾被李淳风收人“算经十书”作为数学教科书 祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成就是对圆周率值的推算隋书律历志记载着他对圆周率的研究成果 =3. 141 592 6由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为355/113；约率为22/7其中密率在欧洲由德国数学家奥托（1550-1605)于1573年得到， 这比祖冲之要晚1 100年之久，密率是一个很好的分数近似值，如果用它亚计算斗径为10公里的圆的面积，其误差仅几个平方

37、毫米，可见其精确度是很高的。至于祖之冲是如何得到圆周率的，由于他的著作已经失传，已无从了解了。但大多数人认为，他可能使用的就是刘徽的割圆术。 祖氏父子在研究九章算术及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索。经父子两代人不懈的努力，终于由祖恒解决了牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3。 如图4-17，他把正方体 （边长为D）等分为8个小正方体，去出其中之一个，以左下棱为轴、棱长（D/2）为半径作四分之一圆柱面；再以后下棱为轴作1/4圆柱面，二次分割得到4个曲面立体:其中一块称为内棋（ ,即牟合方盖的1/8），还有3块称为外棋 并将这4块几何体

38、用水平面（立标记为z）去截分别得到截面：一个大正方形 （边长记为y0，小正方体 和两个长方形 ，由勾股定理得 于是 。再考虑到以D/2为底面边长和高的倒立正四棱锥？ 在立标为z处的截面面积也是 ，由“祖恒原理”有 。由图4-18所示关 系，有 令 则得 祖氏父子所用的方法论证严谨，推导完善，无懈可击；同时，祖恒还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，刚此二几何体体积相等。它被称为“祖恒原理”，这实际上也就是西文数学界所谓的“卡瓦列利原理

39、”。这一原理在西文直到17世纪才由意大利数学家瓦列里发现，比祖恒晚了1100多年。 由于祖氏父子的著作均已失传，他俩的这一研究成果幸亏被唐代李淳风摘录在九章算术“商功”章“开立圆术”刘徽注的后面，才使我们得以见到这一光辉成就。 4.2.4算经十书 魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国以后又一个繁荣时期刘徽注九章算术、赵爽注周稗及祖氏父子的工作，使中国古代数学在理论研究方面达到了一个新的高度这一时期的数学著作较多；流传至今的就有孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、数术记遗和夏侯阳算经等，这些著作大多反映了当时社会各方面的需要，在内容上基本是九章算术的沿袭与补充，在编写风格上也大多模仿九章算

40、术这些著作的出现，标志着数学研究的深人和数学教育的普及 隋唐时期是中国封建社会发展的鼎盛阶段，社会稳定，农业生产发展迅速，使得与生产密切相关的历法、数学又有了长足的进步从隋代开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府国子监中，设立算学科，专门从事数学教学唐朝建立以后，在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科，设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生80人为了教学的需要，由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是周牌算经 九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算经、五曹算经、五经算术、夏侯阳算经、缀术和缉

41、古算经，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉 除了前面已经介绍过的周骨卑.算经、九章算术、海岛算经以及祖氏父子的缀术外，其他算经也包含了一些重要的数学成就 孙子算经出现在4-5世纪，其具体的成书年代与作者姓名已不可考，这是继九章算术之后又一部重要的数学著作孙子算经分上、中、下三卷，卷上叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除运算方法；卷中举例说明筹算分数算法和开平方算法，以及简单的面积、体积计算；卷下是各种应用问题，涉及田域、仓窖、营建、赋役、军旅等从其内容特色来看，它以实际应用为主，注重计算技术，题目通俗有趣，解法巧妙简便，在中国古代数学著作中

42、是很有代表性的孙子算经还记载了举世闻名的“孙子间题”，这就是卷下第26题，也即全书的最后一题原文是这样的 “今有物不知数三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？” 其意思是：有堆东西不知有多少，如果三个三个地数，最后余下两个；五个五个地数，最后余下三个；七个七个地数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？ 虽然孙子算经记载的“孙子问题”似乎是一个数字游戏，但古代产生这一间题的背景却是非常深刻的，这主要是天文历法的需要例如在制定魏景初历（公元237年）时就明确规定，把冬至、月朔和甲子日零时重合的时刻取作历法起算的原点，古代历法中称之为“上元”如果制订历法那一年冬至发生在甲子 日零时后r1

43、日，在月朔后r2日，那么，这一年冬至距上元的年数x就是同余式组 的解这里a是一回归年的日数，b是一朔望月的日数据研究，早在公元前2世、纪时，我国就已研究过需要一次同余式才能解决的天文问题这类问题在中国古代数学中是经常碰到的，不过由于问题的提法不同而赋予不同的名称，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”等等把上述间题用同余式组表示出来就是求x，这里 表示a与b同时被p除所得的余数相同 孙子算经的解答原文如下： “答日：二十三术日：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则

44、置二十一；七七数之剩一，则里十五；一百五上，以一百五减之，即得” 这段原文隐晦难懂，但它却揭示了这类问题解法的关键是要找出70,21,15这三个常数，为什么呢？因为70不仅是5X7的倍数（2倍）， 而且被3除余1;21不仅是3X7的倍数（(1倍），且被5除余1;15不仅是3X5的倍数（(1倍），且被7除余1，即 (4.1) (4.2) (4.3)由题设，用3,5,7分别除以x所得的余数为2,3,2，故用2,3,2分别去乘（4.1) ,(4. 2) , (4. 3）式，再相加即得 这表示233是满足条件的x的一个解为了求满足条件的最小解，可用3X5X7=105的倍数去减233，得到的差23便是所

45、求的解 后来有人将这一问题的解法写成一首诗歌，这就是明代数学家程大位的算法统宗卷五所载的“孙子歌”： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知 张邱建算经三卷，为5世纪时期北魏人张邱建所撰。其主要数学成就有：最大公约数与最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程。著名的“百鸡问题”即出自此书。该书卷下最后一题就是所谓“百鸡问题”： 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问翁、鸡母、鸡雏各几何？” 此题相当于给出不定方程组： 这里的x，y,z分别为所买鸡翁、鸡母、鸡雏的只数张邱建给出了三组解 , ,这恰好是所有可能的三组正整数解。至于如何

46、得到这三组解，张邱建算经的“术”文是： 鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。” 这实际上指出了这个不定方程的通解公式为 t取0。1。2 五曹算经为北周甄鸾所撰，共2卷。该书对尚书、诗经周易礼记和，论语等儒家经典及其古代经师的注解中所涉及的数学知识进行解释，但数学内容并不深。 现传本夏侯阳算经已不是唐代立于学官的原著，是北宋时期重刻算经十书时顶替早已亡佚的原著而选用的唐代中叶的一本实用算术书，其作者可能是韩延该书共3卷，较为重要的是有许多关于捷算方法的记载 缉古算经为唐代数学家王孝通所撰。全书共20题，最重要的有堤岸的体积计算公式和对高次方程的研究，弥补了九章算术与缀术等书的不足。 尽管隋

47、唐时期对数学教育十分重视，但就数学成就面言，这一时期并不十分突出。不过也还是出现了一些数学成就。如在天文历法的研究中，隋代卓越的天文学家刘焯（544-610）在周骨卑算经中一次同内插法的启发下，首先在天文历法研究中应用了等间距二次内插法公式。接着，唐代的僧一行（俗名张遂，687-727）推广建立了不等间距的二次内插法公式，即数学史上有名的“张遂内插法公式”，同时，僧一行还组织了世界上第一次对地球子午线的实际测量这些都是中国数学史上光辉的一页。4.3 宋元时期中国传统数学的兴盛 这一时期包括宋元两代，即900年到1368年。众所周知，宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定，生产发

48、展、经济繁荣的景象，特别是统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展。闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛应用的。到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚大陆的广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展了推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时期。 这一时期的一个显著标志是数学家及其数学著作的大批出现。据不完全统计，著名的数学家数十人，有记载的数学专著百余种，远远超出前面的各个时期。数学研究的内容也有了显著的变化，如果说由赵君卿、刘徽至王孝通的这一时期。几何学得到了高度的发展。那么宋元高

49、峰时期基本上是以代数为中心的时期。在这个时期，关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的最高水平。431高次方程的数值解法 九章算术、缉古算经等著作中所载的开平方、开立方法已具备了解二次、三次方程的雏形。宋代以前，也曾经有人尝试将这种方法推广到解更高次的方程。但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”。 1050年前后，北宋数学家贾宪撰写了一部名为黄帝九章算术细草的著作，给出了用“增乘开方”来解形如 的方程的方法，迈出了将传统的开平方、开立方法推广为求解一般高次方程的重要一步。 贾宪的

50、著作早已失传，但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘录在他自己的著作详解九章算法（1261）中，由此我们可以看出，贾宪的高次开方法是以“开方作法本源”图为基础的。图4-19中数字排列成一个三角形。该三角形的每N横行恰好是二项展开式中的各项系数 图下注文为: “左袤乃积数，左袤乃隅算，中藏者皆廉乘商方，命实以除之。” 前两句是指三角形最外边的两列数字分别对应各次开方之积与隅算，第三句是说中间的数字分别对应开方过程中所出现的各廉，后两句是对开方算法的概括贾宪的解法大体上可用现代语言解释如下：对于方程（4.4)，若x仅为一位数字，不难通过试验确定其值；若x有2位有效数字时，令x=a+b(其

51、中a的位值是b的10倍），则有即在估算出a以后作减法 ,然后利用上述关系就可以求出b来如果x的有效数字的个数多于2时，在求出第二位有效数字以后又可依照同样的方法继续计算后面的有效数字以杨辉详解九章算法中所记载的求1 336 336的四次方根为例，该题相当于求解方程 6当然，杨辉这里所求的是该方程的正根他的方法相当于首先令 将原方程变换为 议得首商为3,令 ,则利用二项展开式的系数表，得到减根变换后的方程为 其中的系数 如表4一1由所谓“增乘”程序得到 即 再令 ,将方程变为 度议和次商为4，令 重复上述“增乘”程序得 由于常数项 恰好为0。，整个计算过程到此结束，得到原开方式的精确值为34若常

52、数项不为0。时，还可继续重复增乘程序来求小数点后的各位数字。 “增乘开方法”包括了四种算法：缩根（将方根缩小至原来的1/ 而使其仅保留一位整数)、估根（通过试除确定这个整数的数值）、减根（除去这个确定的整数）和倍根（使方根的剩余部分扩大10倍而重现一位整数）在开方过程中，随乘随加、反复迭代，计算减根变换后方程各项系数的方法，具有鲜明的算法特点，这与现代所用的“霍纳算法”已基本一致 贾宪的“增乘开方法”尽管已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开方问题，而且在他以及以前的中国数学家的论述中，由开方引出的方程其系数都是正数虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突

53、破，并在他所著的议古根源一书中允许方程的系数为负数，但由于该书的亡失，其方法并没有流传下来将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶 秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳（今四川安岳），其父曾任南宋四川巴州守，优越的家庭环境使得秦九韶能有机会去向掌管历法的太史局官员求教天文历法，在数学上又得到过“隐君子”的指点教诲，成年后相继在四川、湖北、安徽、江苏等地做官，但任期都不太长，后因参与派系斗争失败而被贬滴至梅州，1261年死于任所 数书九章这部传世名著是他1244-1247年在家守母孝期间撰写的，其主要内容是他此前十数年间埋头钻研数学的结果这部著作继承了中国古代传统数学的

54、特色，特别是受九章算术的影响，采用了问题集的形式全书搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共18卷其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”其方法是先列出相当于 的方程，其中 可正可负，而常数项 则总是负的（“实常为负”）若试商为式，作减根变换 则将方程变形为 然后利用类似于贾宪的“增乘开方法”的迭代程序来计算变换后所得到的新方程的各项系数 他的程序与贾宪方法的区别在于：由于规定了“实常为负”，整个程序便统一用加法，真正实现了随乘随加的机械操作 4.3.2 中国剩余定理如前所述，孙子算经提出了著名的“孙子问题”，其给出的解法虽然是针对具体问题的

55、，但具有一般性我们容易推广如下：如要求一个最小整数，它被两两互素的，s个数 除时，余数分别为 仿照上述方法，首先对每一个 作 然后找一个整数 （这里的 相当于孙子问题解法中的70, 21,15)，再将 分别与 相乘后求和，设为 如果 则M即为所求；如果 则M被 除后所得的余数即为所求这就是数论中著名的“剩余定理” 应该指出，孙子算经对于这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： (1)没有把解法总结成文，致使后人研究时多凭猜测； (2)模数仅限于两两互素的正整数，未涉及一般情况； (3)未能进一步探讨同余式（组）有解的条件等理论间题 因此，后人把这一命题及其解法称为“孙子定

56、理”，主要是推崇孙子算经处理这类问题在时间上领先其思想方法的成熟，还有待于后来的中国古代数学家们的工作秦九韶在数书九章卷一“大衍总数术”中推广了“孙子间题”的解法为了避免对秦九韶的原文作出生硬的书面翻译，下面我们将采用现代数学语言对他的成就做一个一般的叙述需要指出，秦九韶的方法是通过对具体问题的讨论给出的，但具有一般性秦九韶对同余式 的解法是将a,b辗转相除，秦九韶称之为“更相减损”，除至余数为1时停止设商数序列是 再作递推公式 于是，当n是奇数时，所求的解为 秦九韶不讨论负数解 设(1）先求数 设 作 这相当于解同余式可简化为(2）求和数，由（1)显然有(3)假设a是问题的最小解，则一般的解

57、可由公式表示它由我们上面已经介绍过的类似方法解决 这是秦九韶对“孙子问题”的推广他的方法是：如果同余式组 中的模数 不两两互素，则把它们分解为素因数（但秦九韶并没有提出素因数的一般概念，的积，由此求出 的最小公倍数为， 据此易求得正整数 使它们两两互素，且它们的乘积 恰好是 的最小公倍数，并使得 则我们就可将 用 来代替，从而把模数不两两互素的同余式组转化为两两互素的问题来 解决通过进一步研究，我们还可以发现，秦九韶的方法与现在通常所说的连分数解法完全一致 使我们惊奇的是，这类问题的研究虽最早见于孙子算经，但秦九韶在数书九章自序中却说：他对这一问题的探讨，是由于它“不载九章，未有能推之者”，所

58、以他才发愤钻研的，至于他是否了解孙子算经的内容，全然没有提及由此我们可以想像，秦九韶的工作尽管可能没有以孙子算经为基础，但他青年时代曾随“太史”学习造历知识，必然接触到天文历法中的同余式思想，因此，他的研究是有一定的历史背景的经过秦九韶的刻苦钻研，终于使解决一次同余式（组）问题的方法形成了较为系统的数学理论，其功绩是十分巨大的 与中国相比，西方数学家对于同余式（组）的研究则要迟得多意大利学者斐波那契的算术(1202年）中虽有好几道同余式组的问题，但其研究的水平不高于孙子算经从14世纪到17世纪，西欧数学著作中仅零星出现少量的一次同余式问题对于这些问题，即使有正确答案，也没有一般的解法 从 18

59、世纪上半叶开始，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler,1707-1783 )、法国数学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange, 1736-1813）和德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）等相继开始研究同余式的问题1734年，欧拉在俄罗斯彼得堡学报发表 了关于同余式 的解法，他的方法是通过对a,b辗转相除来求解的，与秦九韶的“更相减损”思想完全一致拉格朗日利用连分数讨论这一问题，他把既约分数化成连分数删去最后一项1/n，再化成普通分数y/x，其分子，分母当 , N是偶数个时是ax=by+1的解；当它们是奇数个时，则是ax=by-

60、1的解1801年，“数学王子”高斯出版了他的数学巨著算术研究，全书共七章，第二章专门讨论一次同余式及同余式组的解法他讨论了模数不两两互素的情形，方法是利用算术基本定理将模数化为素因数的连乘积高斯的研究，给出了一次同余式的最一般的定理，使这一理论最终得到完善 无独有偶，西方对同余式问题的研究也是起源于天文历法，如高斯在算术研究中解释某一同余式问题的起源时说：“这一问题是从年序学产生的” 由此可见，在西方，直到18世纪，经欧拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比较系统地建立起一次同余式的理论这在当时的数学界引起了很大的轰动，当时居世界数学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些