2024-2025学年新教材高中数学第七章复数素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.QUOTE= ()A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i.2.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣= ()A.3 B.4 C.5 【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.3.复数z=QUOTE在复平面上对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为复数z=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】(2024·天津高二检测)在复平面上,复数QUOTE对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.由题意,复数QUOTE=1+QUOTEi,所以复数QUOTE对应的点的坐标为QUOTE位于第一象限.4.(2024·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z= ()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z=QUOTE=QUOTE=i(1-i)=1+i.5.z是纯虚数的一个充要条件是 ()A.z+QUOTE≠0 B.z-QUOTE≠0C.z·QUOTE≠0 D.QUOTE=-z(z≠0)【解析】选D.(1)设z=bi(b≠0),则QUOTE=-bi,所以z+QUOTE=0,所以QUOTE=-z(z≠0).(2)设z=a+bi(z≠0),则QUOTE=a-bi,因为QUOTE=-z,所以a-bi=-(a+bi),即a=0,又z≠0,所以b≠0,所以z是纯虚数,由(1),(2)知z是纯虚数的一个充要条件是QUOTE=-z(z≠0).6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)·a+3m+i=0,所以QUOTE所以QUOTE7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数QUOTE的点是 ()A.E B.F C.G D.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i,对应复平面内的点H.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,则点M的坐标为(a+2,a-2),当a=1时,坐标为(3,-1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a=1却不肯定成立,故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=QUOTE,则下列结论正确的是 ()A.z的虚部为i B.|z|2=2C.z2为纯虚数 D.QUOTE=-1+i【解析】选BC.因为复数z=QUOTE=QUOTE=1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.QUOTE=1-i,D不正确.10.设z是复数,则下列命题中的真命题是 ()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解析】选ABD.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不肯定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.11.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是 ()A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=QUOTE+iD.若z·(2+i)=10-5i,则QUOTE=3-4i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+QUOTE=2+i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i,所以选项C是真命题.若z·(2+i)=10-5i,则z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=3-4i,QUOTE=3+4i,选项D是假命题.12.下列复数不行能与复数QUOTE+i(a∈R)相等的是 ()A.-2i B.a2+iC.3-a2i D.3+a2i【解析】选ACD.由于QUOTE+i不行能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和QUOTE+i不行能相等;当a2=QUOTE,即a=1时,a2+i和QUOTE+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a2≤0,而QUOTE+i的虚部为1,故二者不行能相等;若3+a2i和QUOTE+i相等,则QUOTE而此方程组无解,故二者不相等.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.定义运算QUOTE=ad-bc,若复数x=QUOTE,y=QUOTE,则y=________.

【解析】依题意,y=4i(x+i)-2xi=4i2+2xi=-4+QUOTE=-4+QUOTE=-4+2=-2.答案:-214.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则QUOTE=________.

【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,QUOTE=5.答案:515.已知QUOTE=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.

【解析】因为QUOTE=b+i,所以a+2i=bi-1,所以QUOTE所以a+b=1.答案:116.已知QUOTE+QUOTEi是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________,b=________.

【解析】把QUOTE+QUOTEi代入方程得aQUOTE+bQUOTE+1=0,即QUOTE+QUOTEi=0.所以QUOTE即QUOTE解得QUOTE答案:1-QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,QUOTE均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若复数z在复平面上所对应的点在其次象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平面上所对应的点在其次象限,所以QUOTE解得-3<m<-QUOTE,所以m的取值范围是QUOTE.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=QUOTE.20.(12分)已知z1=cosθ+isin2θ,z2=QUOTEsinθ+icosθ,当θ为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|<QUOTE.【解析】(1)因为z1=z2,所以QUOTE即QUOTE解得θ=2kπ+QUOTE(k∈Z).(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,所以QUOTE即QUOTE解得θ=2kπ+QUOTEπ(k∈Z).(3)因为|z2|<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE,即3sin2θ+cos2θ<2,化简得sin2θ<QUOTE,解得-QUOTE<sinθ<QUOTE,所以kπ-QUOTE<θ<kπ+QUOTE(k∈Z).21.(12分)已知复数z=(2+i)-QUOTE(其中i是虚数单位,x∈R).(1)若复数z是纯虚数,求x的值;(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为z=(2+i)-QUOTE=(2-x)+(1-x)i,且复数z为纯虚数,所以QUOTE解得x=2.(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).【补偿训练】已知z1=x2+iQUOTE,z2=x2+ai对于随意实数x,都有QUOTE>QUOTE恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=QUOTE,|z2|=QUOTE,|z1|>|z2|⇒|z1|2>|z2|2⇒x4+x2+1>x4+a2⇒x2+1>a2⇒-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tanθ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;(2)求证