2010年高考全国卷一理科数学答案解析

1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事

2、件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4兀R2如果事件A、B相互独立，那么P(A.B)=P(A)P(B)其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么3V=兀R34n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P(k)=Ckpk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)nn一选择题(1)复数3+2i2-3i(A)i(B)-i(C)12-13i(D)12+13iA【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.3+2i=(3+2i)(2+3i)=6+9i+4i-62-3i(2-3i)(2+3i)13记cos

3、(-80)=k，那么tan100=1-k21-k2kkB【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】sin80=、：lcos280fcos2(80)=+lk2，所以tan100=tan80sin80Ql-k2cos80ky1,(3)若变量x,y满足约束条件0,则z=x-2y的最大值为x一y一20,(A)4(B)3(C)2(D)1B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域(如右图)，由图可知,当直线l经过点A(1,-1)吋，z最大，且最大值为z=12x(1)=3maxy(4)已知各项

4、均为正数的等比数列a,aaa=5,aaa=10,J则aaa=n123789456(A)5迈(B)7(C)6(D)4迈A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知aaa=(aa)a=a3=5TOC o 1-5 h z1231322aaa=(aa)a=a3=10,所以aa=503,789798828所以aaa=(aa)a=a3=(、：aa)3=(506)3=524564655V28(1+2仁)3(1-真)5的展开式中X的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)45.B【命题意图】本小题主要考查了考生对

5、二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】(1+2x)3(1-3x)5=(1+6-x+12x+8xyx)(1-3x)5故(1+2岚)3(1-3：)5的展开式中含X的项为xC3(3x)3+12xC0=-10 x+12x=2x,所以x的系数为-255(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种6A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想.【解析】可分

6、以下2种情况：(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门，有C1C2TOC o 1-5 h z34种不同的选法；(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门，有C2C1种不同的34选法所以不同的选法共有C1C2+C2C1=18+12=30种.3434(7)正方体ABCD-ABCD中，BB与平面ACd所成角的余弦值为Bliii11D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD的距离是解决本题的关键1所在，这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB/DD”所以BB与平面ACD所成角和DD1与平面ACD所成角相TOC o 1-5 h z

7、11i111等，设DO丄平面ACD,由等体积法得V=V,即1D-ACDD1-ACDS-DO=-S-DD.设DD1=a,3AACD3AACD11则S=-ACADsin60=-x(屈)2x色=色a2S=1ADCD=1a2AACD21222AACD22所以DO=与平面ACD所成角为01SDDa33AACD1=S3a231AACD1.DO屯來sin0=所以cos0=DD331(8)设a=log2,b=In2,c=5-2,则3AavbvcBbvcvaCcvavbDcvbvaC【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析

8、】a=l0g32=loh,i2=ioh，而log23log2e】,所以a2=log4log3,所以cva，综上cvavb.J522已知F1、F2为双曲线c：x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，zF1PF2=600，则P到x轴的距离为(A)32(b)(C)3(D)2j2,从而错选aA,这也是命题者的用苦良心之处.12【解析】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b=，所以a+2b=a+aa2又0af(1)=1+y=3,即a+2b的取值范围是(3,+).(11)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)4+、

9、；2(B)3+；2(C)4+22(D)3+22D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法一一判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力【解析】如图所示：设PA=PB=x(x0),ZAP0二Q,则ZAPB二2a，APO=sina1+x2PAPB=IPAI-1PBIcos2a=x2(12sin2a)=x2(x2=x4x2x2+1x2+1Bx4一x2，令PAPB=y，则y=，即x4(1+y)x2y=0，由x2是实数，所以x2+1。A=一(1+y)24xlx(一y)0,y2+6y+10，解得y-3+2f2.故（PAPB）=3+22.此时x=21

10、.min（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为2再（A）(C)2朽8朽(D)B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB丄平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有112IV=x2xx2xh=一h,当直径通过AB与CD的中点时，h=2212=2、扛,故四面体ABCD323maxmax绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）第II卷注意事项：答题前，考生先在答题卡上用直径0.

11、5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。第II卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。第II卷共10小题，共90分。二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）（13）不等式72x2+1x1的解集是.0,2【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致x2+10TOC o 1-5 h z3兀(14)已知a为第二象限的角，cos2a=,则tan

12、(丁+2d)=.541-7【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为a为第三象限的角，所以2ae(2(2k+1加,兀+2(2k+1加)(keZ)，又cos2a兀4=14a1,解得1I4ya1x=2y=x2x+ay=11x十24a1y=h1a.4(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD，则C的离心率为.16.3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，

13、形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，|BF=、：b2+c2=a,作DD1丄y轴于点D,则由丽=2FD，得OF_BFDD一BD133，所以DD_2丨OF_c,3ca23c3c2即xD=宁由椭圆的第二定义得1fd=匸冇）=a-页3c2又由丨BF1=21FDI，得c=2a一，整理得3c2一2a2+ac=0.a、2两边都除以a2,得3e2+e一2=0,解得e=-1（舍去），或e=-.三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意:.在试题卷上作答无效）已知ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bco

14、tB，求内角C.【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，

15、求X的分布列及期望.【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥S-ABCD中，S”D丄底面ABCD,AB/DC,AD丄DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点，平面EDC丄平面SBC.（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A-DE-C的大小.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.(20)

16、(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数f(X)=(x+1)lnx-x+1.若xf(x)0.【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.(21)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.证明：点F在直线BD上；设FAFB二9，求ABDK的内切圆M的方程.【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识