19.5反比例函数

1、北京市第八届“京研杯”教育教学研究成果征文注重“知识形成过程”的概念教学研究以“反比例函数”概念为例学 科：初中数学工作单位：北京师范大学昌平附属学校 姓 名：牛艳云 通讯地址：北京市昌平区沙河高教园北三街5号 邮 编：102206 单位电话：01080722286 联系方式电子信箱：1042886859注重“知识形成过程”的概念教学研究 以“反比例函数”概念为例北京师范大学昌平附属学校 牛艳云初中生在数学学习的过程中，数学概念是逻辑起点，同时是展开数学思维的基础。因此在数学学习中特别重要。怎样才可以让概念教学更加有效呢?教师在开展概念教学时，要充分考虑到学生的认知情

2、况，同时对概念学习的需求层次有充分的把握，合理地引导学生学习数学概念，概念的感知、概念的理解、概念的内化是学习概念的三大环节。教学中，教师要善于把握这三大环节中的关键点，引导学生进行高效化的数学概念学习。建立在学生认知发展水平与已有知识经验基础之上的数学教学才能令学生的思维更加活跃并积极参与到数学活动中，使学生能够在自主探索与合作交流中对基本的数学知识与技能数学思想与方法有真正的理解，在获得丰富数学活动经验的基础上对数学知识的形成与本质形成独到而深刻的理解。因此，教师应着眼于知识的形成、知识本质的揭示及学生发散思维的训练进行有效的数学课堂教学。下面我就结合反比例函数的概念教学进行说明。 一、教

3、学指导理论依据1.课程标准要求：结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.课程标准对函数概念的了解做了如下解释和建议：探索简单实例中的数量关系和变化规律；结合实例了解函数的概念并能举出函数的实例。3.2019年北京中考说明对了解反比例函数意义的要求是A级。二、教材分析反比例函数是基本初等函数之一，是在学习了平面直角坐标系、函数、正比例函数和一次函数之后又一类刻画现实世界变化规律的函数模型，本节内容不仅加深了对函数概念的理解，也巩固了研究函数的方法和技巧，为后续研究其他函数做了很好的铺垫。三、学情分析1.在知识层面，学生曾在小六（下）学过“正比例和反比例”，在八

4、（上）学过“平面直角坐标系，一次函数和正比例函数”，对“反比例”、“函数”等已经有了一定的认识，这为本节课反比例函数的学习奠定了良好的基础。2.在思维水平层面，九年级的学生已经具备一定的归纳和演绎推理能力，积累了初步的运用数学模型解决实际问题的经验，但是仍然处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，由于学生思维发展的个体差异性，小部分学生的抽象思维发展缓慢，思维浅表化，对数学概念的理解容易停留在表面，需在数学思想层面进一步领悟与提升。3.在心理层面，九年级学生心智已较成熟，而且已经具备了一定的数学基础和思维能力，他们渴望通过自己的探究发现知识，体验知识的获得过程，感受成功的喜悦。四、教学目标1.理解

5、反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数，能够用“待定系数法”求反比例系数。2.通过类比正比例和正比例函数的研究过程，经历反比例函数概念的形成过程；结合反比例的意义领会反比例函数的意义。3.通过探索反比例函数的形成过程，体会和认识反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，感受类比、归纳等数学方法，提升合作交流和探索能力。五、教学重难点教学重点：理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系。教学难点：类比正比例和正比例函数的概念，结合反比例的意义领会反比例函数的意义；根据已知条件，通过建立反比例函数的数学模型来解决实际问题。六、设计思路本节课的设计思路：1.类比“

6、正比例关系”到“正比例函数”的形成过程，由“反比例关系”形成“反比例函数”，让学生体验知识的形成过程，领会反比例函数的意义。2.将正比例函数和反比例函数进行对比分析，加强对反比例函数概念的理解。3.在练习阶段主要通过对反比例函数解析式的三种表达式进行辨析练习和反比例函数的实际应用题，加强学生对反比例函数定义的掌握和理解。七、教学过程环节一：复习回顾，提出问题师：1.用自己的语言描述函数的概念是什么？生：学生举手回答，言之有理即可。师：2.到目前为止，我们学过哪些函数？生：学生自主回答，并能准确说出他们的解析式。师：3.在研究一次函数的过程中，我们先后学习了一次函数的哪些内容?生：学生思考并回答

7、，注意答案的先后顺序师：4.那么本章学习一类新的函数反比例函数，应该学习内容？生：本章应该研究反比例函数的定义。设计意图：函数概念比较抽象，对学生而言文字表述比较困难，所以学生只要表述到位即可。通过复习函数的概念和一次函数、正比例函数的相关知识让学生克服对反比例函数这章知识的陌生感，也为反比例函数的学习提前做良好的铺垫。环节二：类比探究，引出定义师：小学里我们学过正比例和反比例这两个定义，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个量的比值是一个定值时，这两个量成正比例关系；如果两个量的乘积是一个定值时，这两个量成反比例关系，接下来请大家完成下面几个问题：一个矩形的宽为定值4m时，

8、面积S与长x成_关系，即_。在马路上匀速行驶的汽车，当速度是60km/h时，路程s与时间t成_关系，即_。一袋大米的质量是10kg，大米的总质量M和袋数n成_关系，即_。一个矩形的面积为定值16m2时，它的宽y与长x成_关系，即xy=_。在马路上匀速行驶的汽车，当路程为90km时，速度v与时间t成_关系，即_。一批100kg的大米，要均匀地装在若干袋子里，则每袋大米的质量m和袋数n成_关系，即_。生：教师引导学生回忆“正比例”和“反比例”的定义，在此基础上，学生认真完成，并小组交流，小题，最后教师引导学生类比归纳总结分析： 正比例关系 正比例函数 反比例关系反比例函数 类比 师：将几个正比例式

9、子进行适当变形，去掉分母，我们发现它们是我们学过的正比例函数。生：类比正比例到正比例函数的形成关系，我们可以将反比例也可以进行适当的变形，让左边只有一个未知数，这样每个式子有两种变形，但形式是一样的，所以学生只要说出一种变形即可。师：观察这几个式子，回答下列问题：问题1每个式子中常量和变量分别是什么？问题2这些关系式在结构上有什么共同点？问题3这两个量之间是否存在函数关系？问题4 你能归纳出这类函数的解析式来吗？问题5类比正比例函数，你能给它起个名字吗？生：学生自主观察并回答。对它的结构引导：左边是一个字母右边是一个比值的形式分子是一个不为0的常数，分母是一个字母，次数为1。（对结构的回答言之

10、有理即可）设计意图：和说的是同一类实际问题，只不过由于未知数的不同，导致列出的式子可以变形成我们学过的正比例函数，而列出的式子通过变形列出了几个形式相同的新的表达式，这就是我们要学的新知识反比例函数，这样引出，体现了研究反比例函数的必要性，同时培养学生小组合作和探索问题的能力。通过类比正比例和正比例函数的研究过程，经历反比例函数概念的形成过程；结合反比例的意义领会反比例函数的意义。在引导学生总结出反比例函数解析式的同时，带领学生分析解析式结构，加深对概念的理解。知识梳理 一般地，我们把形如（ k是常数，k0）的函数叫做反比例函数。 其中，k叫做反比例系数。环节三：巩固新知，辨析概念师：（ k是

11、常数，k0）中，自变量x和因变量y的取值范围是什么？为什么？生：x0，y0。理由描述合理即可。例1 判断下列函数是不是反比例函数，如果是，请写出反比例系数。生：学生自主回答，辨析概念：强调常数k的取值范围。通过对反比例函数解析式变形，总结快速求k的方法。 师：问题1 一个函数表达式怎样变形既可以判断它是反比例函数，又能快速求出k。生：xy=k (k0)练习 判断下列函数是不是反比例函数，如果是，请写出反比例系数。师：接下来我们对正比例函数和反比例函数作简单的对比： 生：学生自主回答正比例函数和反比例函数的区别： 名字的区别“正”和“反”； 解析式形式相同时，x的次数分别是“+1”和“-1”。设

12、计意图：借助例题，巩固定义，加深学生对概念的理解，并总结确定反比例系数的简便方法。通过与正比例函数作比较让学生在克服对放比例函数的陌生感的同时，理解正比例函数和反比例函数的区别，加深对反比例函数概念的理解。知识梳理反比例函数解析式变形：定义： 快速求k： 类比正比例函数： 环节四：拓展应用，加深理解例2 (1) 若函数为反比例函数，则a=_(2) 反比例函数的表达式为 ，则m=_例3已知y是x的反比函数，并且当x2时，y6。(1) 写出y关于x的函数解析式；(2) 当x4时，求y的值；(3) 当y=4时，求x的值。例4压强的大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么，当物体受到100N的压力时，

13、压强P(Pa)是受力面积S( QUOTE m2 m2)的函数。试判断它是哪一类函数，并求当物体的受力面积是5 m2 QUOTE m2 时，物体所受的压强。生：学生练习并展示，略设计意图：加深对反比例函数解析式结构的理解；会用待定系数法求反比例系数；在实际问题中，会通过建立反比例函数的数学模型来解决问题。环节五：课堂练习（略）环节六：课堂小结（略）八、最后感悟在这节概念课中，从复习正比例关系和正比例函数入手，进行类比学习。在学生已有的知识上自然生成新的概念，强调概念的生成和发展过程，从生活中具有反比例关系的两个变量入手，变形后引出反比例函数的概念和一般形式。概念是抽象的，而例子是具体的、形象的，所以本节课在概念辨析环节，利用例题和练习题让学生主动发现其变形表达式，从不同的角度去理解表达式，应用概念。本节课