光的衍射习题及答案

1、光的衍射习题及答案第二章光的衍射1.单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第K个带的半径。 的距离0为13单色光波长为 一半波带的半径。若极点到观察点450nmrj求此时第解:222kk 0rk022k0k0-2将上式两边平方,2 2222.kk 00 k04略去k2 2项，则将 k 1,0 100cm,4500k, k010-8 cm带入上式,0.067 cm2.平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形 小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变 能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心 4m的P 点的光强分别得到极大值和极小值；(2) P点 最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为 50

2、0nm大小。问:(1)小孔半径满足什么条件时，才解：(1)根据上题结论kr0将 r0 400cm,5 10-5cm 代入 得k 400 5 10 5k 0.1414, kcm当k为奇数时，P点为极大值; k为偶数时，P点为极小值。(2) P点最亮时，小孔的直径为2 1 2. rj 0.2828cm3.波长为500nm的单色点光源离光阑1可光 阑上有一个内外半径分别为0.5mm 口 1mm勺透光 圆环，接收点P离光阑1m,求P点的光强I与没有光阑时的光强度 解：根据题10之比。r 1mr01m R hk10.5mm Rhk21mm 500nm,Rhk11k1%有光阑时，得20.521500 10

3、 6 1000由公式LRh2（R r。）R211k rRr 0 RL R2k21k2121500 10 6 1000141000按圆孔里面套一个小圆屏幕 TOC o 1-5 h z 11111ap - a1a3 二 a1- a2 二a2二 a3a122222没有光阑时aoai所以4.波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏 上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？ （ 2） 要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏 幕分别向前或向后移动多少？解：（1） p点的亮暗取决于圆孔中包含的波 代数是奇数还是偶数.当平行光如射时，波带数为2 d 2k

4、2-ro ro1.3823632.8 10 6 103故P点为亮点.（2）当p点向前移向圆孔时，相应 的波带数增加；波带数增大到4时，p点变成 暗点，此时，p点至圆孔的距离为21,382r06 mm 750mmk 4 632.8 10则P点移动的距离为r Pq r 100cm - 75cm 25cm当p点向后移离圆孔时，波 带数减少，减少为2时，p点也变成暗点。 与此对应的p到圆孔的距离为21,382ro 6 mm 1500mmk 2 632.8 10 6则P点移动的距离为r Pq150cm -100cm 50cm5 .一波带片由五个半波带组成.第一波带片为 半径ri的不透明圆盘，第二半波带是

5、半径ri至r2 的透明圆环，第三半波带是r2至r3的不透明圆环， 第四半波带是r3至r4的透明圆环，第五半波带是 r4至无穷大的不透明区域，已知ri:r2 : r3：r4=1:6:、,3”用波长500nm的平行单色光照 明，最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) ri; (2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪 些位置上.解：因为5个半波带组成的半波带片上,Ki 1，ri 不透光；K2 2乃至上透光；K3 3,r2至r3不透光；K4 4r3至r4透光；K5 5,r4至无穷大不透光r1 ：2 : % : % 1： 2 : . 3:4500nmR0单色平行光第一条最亮的像点在。1m 1

6、000mm的轴上，即3f1r0 10 mm22f r0 Rh 工(1)0 k 11 . r0k-103 1 500 10 6.0.5 0.707(2)像点的光强：IP A2 (a2 a4)2 4a2所以2Ip 4a2 16I0(3)光强极大值出现在轴的位置是(即L L L3,5,7)3 f1 1m 10 mmf1f3f16.波长为人的点光源经波带片成一个像点，该 波带片有100个透明奇数半波带（1,3,5,）。另 外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换 上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I 0.解：100个奇数半波带通光总振幅100A。1a 100a i(a)2同样焦距和口径的透

7、镜可划分为200个半波带通光总振幅为199A200a112002 a1 200a I0200a 2 4(100a)2I (100a)21TT 2 一I04 (100a)247.平面光的波长为480nm，垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为 60cm.分别 计算当缝的两边到 P点的相位为兀/2和兀/6 时,P点离焦点的距离.解：设P点离焦点的距离为V，透镜的焦距为缝宽为b,则位相差和光程差的关系式22 . .2 .2 . ybsinb tan b f当缝的两边到焦点的距离为fy 2 bP点的位相差为2时，P点离一4 一4.8 10600o-0.18 mm20.42当缝的两边到P点

8、的位相差为百时，P点离 焦点的距离为f 4.8 10 4 600y - 0.06 mm2 b20.46.白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波 长的第三个次最大值与波长为 600nm的光波的 第二个次最大值重合.求该光波的波长.ko解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知bsin，.c 1bsin3 一2所以所以该光为紫色光.428.6 nm.波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的 后面，并使光焦距到屏上，问衍射图样的中央到 (1)第一最小值；(2)第一最大值；(3)第三最小值的 距离分别为多少？解：根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知：bsi

9、n btanb-ykf得第一、第三最小值的位置分别为f1000 5.461 10 4 0.5461mmb 1y3 3f 1.638mm b由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置 的近似式bsin k0 b fkoy1o100015.461 10 40.819mm.钠光通过宽0.2mm的狭缝后，投射到与缝 相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与 第二最小值间的距离为 0.885cm,问钠光的波长 为多少？若改用X射线（入=0.1nm）做此实验，问底 片上这两个最小值之间的距离是多少 ？解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根2k0 1据公式Sin k =1得第二最小值与第一最小值之间的距

10、离近 似地为y y2 y12fB y fb那么y b 0.02 0.885 590nm300d sin如果改用40 10 8cm时f 300 40 10 8八 3y 6 10cmb0.0212. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角9之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm最长的红光波长为760nm)解：由光栅方程dsinsin-47.6 103.80.0210 2所以2.18sin4。4.0 10224.0 100.02所以2.29式中所以10.02mm50212.292.186 362 10 3rad13.用可见光(76040

11、0nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：根据光栅方程得 j sin红 760nmd dj 2因为sin2 紫 800nmd d而 j 2， sin所以一级和二级不重叠.红 1520nm2 d dj 3,sin 33 紫 1200nmd d因为迭.3所以二级和三级光谱部分交设第3级紫光和第2级波长的光重合2 3 则 d d600nm3级波长为2的光重合 TOC o 1-5 h z 33所以12紫2 400设第2级红光和第322 -贝 U 3d 2d22 )月斤！2 &红 760 506.7 nm综上,一级光谱与二级光谱不重叠；二级光谱 的60

12、0 700nm 与三级光谱的 400 506.7nm 重叠.用波长为589nm的单色光照射一衍射光 栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为1510,求该光栅1cm内的缝数是多少?1 sin15 10d j j 18017 222(条/cm)2 589 10.用每毫米内有400条刻痕的平面透射光 栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：（1）光垂 直入射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以30角入射时，最多能观察到几级光谱？d .解:根据光栅方程dsin j得j fin可见j的最大值与前1的情况相对应3n真 正等于1时，光就不能到达屏上）.d -X 1根据已知条件400 rmi 4

13、0005,并取的L则得1i 4000425890 10 8（此处j只能取整数，分数无实际意义）即能得到最大为第四级的光谱线. 根据平行光倾斜入射时的光栅方d(sin sin 0) j (j 0, 1, 2,)d(sin sin 0)同样，取sin 1,得1(sin 301)j 幽 6.45890 10 8即能得到最大为第六级的光谱线.白光垂直照射到一个每毫米 250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30。处会出现哪些波长的光？其颜色如何?250条/毫米30390nm760nm760nm 时,由公式dsinddsin 30250 760 10 62.6 2j -sin 30390nm 时,12

14、50 390 10 6 25.1所以265.1这里j可取3, 4, 5d sin13 250 10 6 2667nm（为红色）d sin14 250 10 6 2500nm（为绿色）d sin15 250 10 6 2400nm（为紫色）17.用波长为624nm的单色光照射一光栅,已知该光栅的缝宽 b为0.012mm,不透明部分的宽度a为0.029mm,缝数N为103条。求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中为多少？解：（1）央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半宽度 单缝衍射图样的中央角宽度一_ _ _ _ 一 522 6.240 102 , 310.4 10 radb

15、1.2 10 3（2）单缝衍射图样包络下的范围内共有光 谱级数由下列式子确定d/丝3.42b 0.012式中d为光栅的光栅常数.所以看到的级数为3.（3）谱线的半角宽度的公式为：Ndcos人 cos1（即0）_ 56.24 105 3 1.52 10 radNd 100.004118. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分 子量 M=58.5,密度p =2.17g/cm3, （1）试证明相 邻两离子间的平均距离为M 一3、0.28192NAnm式中NA=6.02X 1023/mol为阿伏加德罗常数；(2) 用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在长.解掠射角为1 的方向上出现.试计算该X射

16、线的波：(1) 晶胞的棱边为d,那么亮离子间的平均距 离d。为d。现先计算晶胞的 /上、上, 2梭边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度P为m 4mNaClV d3这里,NaCl分子的质量由下式给出MmNaCl所以晶胞的棱边由上面两式联立解得1, 4M 3dN那么相邻两离子间的平均距离九为, d M ad0332 2N58.52 6.02 1023 2.170.2819nm(2)根据布喇格方程2d0sin 02d0 sn- 2.819sin10.0049nm219波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界 面上，晶体原子层的间距为 0.28nm问光线与界 面成什么角度时，能观察

17、到二级光谱。解： 2d sin 0 j-10j 2 0.0147 10sin 090.005252d 2 0.28 1000.318光线与界面成18的角度时，能观察到二级光谱。20如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为 b,缝距分别为d和2d,试用振幅矢量叠加法证 明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：sin2 uI I 02 3 2(cos2v cos4v cos6v)bsin d sin,v 中u 证明： 为A, Axau设单缝衍射的振幅为a,三缝衍射的总振幅 则(1 + cos +cos3 )A y i_ 2_ 2I =A =Ax +Aa ( 1 + sin22(1 +sin3 ), co

18、s +cos3 )2+(1 +23+2 (cossin uaa0a = usin +sin3 ) 2+cos2 +cos3 )bsinu=2 d sin2ud sincos 6v)Ia02(Sin U)23 2(cos2v cos4v cos6v) 10(，” u)23 2(cos2v cos4vuu其中bsin,vd sin21 宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻 痕。如图所示，以波长 500nm的单色光垂直投射， 将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻 璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm ,试问第一辑主最大方向的改变了 多少？解：首先求玻璃片的顶角A,

19、A 0.025rad1.43单色平行光经劈后的偏向角为0故玻片未加前的光栅方程为d sin1时,sintan A500nm, d 一410 nm代入上式，得arcsin() d17.46代入数据得:玻片加入后的光栅方程为d(sin sin 0)sin 0.2875或 sin 0.3125(a)即 16.71 或18.2145那么，第一级最大的方向改变为 22 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与 光栅的法线成0角，在和法线成11和53 的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两(1)试求入射角。；(2) 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱 线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？ 解：(1)如图(a)所示，若入射方向与衍射由向处于法线的同侧， 根据光程差的计算， 光栅方程为d(sin sin 0)