雅可比迭代试验报告

1、雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告一、实验题目分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：10 x1 x2 2x37.2x1 10 x2 2x3 8.3 x1 x2 5x34.2使得误差不超过0.00001。二、实验引言.实验目的掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran语言；了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。.实验意义雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。三、算法设计1.雅可比迭代法原理：设有线性方程组Ax=b满足a. 0,将方程组变形为：x=Bx+f,则雅可比 (Jacobi)迭代法是指X(k1) Bxk f

2、,即由初始解逐步迭代即可得到方程组的 解。算法步骤如下:-可编辑修改-步骤1.给定初始值x?x20), ,x；0),精度e,最大容许迭代次数M,令k=1步骤2.对i=1,2,n依次计算nXi，n)(bjaijxj)/aH (aH0,i 1,2,ei| xxi(1)Xix(0) i1(0) i|步骤3.求出e maxe,若e1in则输出结果Xi(0)(i1,2, ,n),停止计算否则执行步骤4.步骤4.若k M ,k 1 k,转步骤继续迭代。若k M，表明迭代失败，停止计2.算法流程图-可编辑修改-开始读入数据max |乐一ICh钻束四、程序设计program jacobiimplicit no

3、neinteger:i,jinteger:ksave kreal,parameter:e=0.001integer,parameter二n=3real:x(n),y(n),b(n)-可编辑修改-data b/7.2,8.3,4.2/ real:D real:a(n,n) open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/write(10,*)*矩阵A的形式为*、write(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i=1:n)x(i)=0end forallk=0100D=0do i=1,ny(i)=b(i)do j=1,

4、nif(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end do-可编辑修改-do j=1,nD=abs(x(j)-y(j) end do forall(i=1:n) x(i)=y(i) end forall if(D=e) then k=k+1 write(10,*)”迭代次数为：,k goto 100 else goto 200 end if200write(10*)*write(10,*)用jacobi方法解得的结果Xt为：-可编辑修改-stop end program五、结果及讨论1.实验结果*矩阵A的形式为*10.00 -1.00

5、 -1.00-1.00 10.00 -1.00 TOC o 1-5 h z -2.00 -2.005.00迭代次数为：1迭代次数为：2迭代次数为：3迭代次数为：4迭代次数为：5迭代次数为：6迭代次数为：7*用jacobi方法解得的结果 Xt为:1.101.201.30-可编辑修改-2.讨论分析(1)误差从上述输出结果中可以看出，当迭代次数 k增大时，迭代值x1,y1,z1会越来越逼近方程组的精确解 x=1.0,y=1.2,z=1.3 o(2)收敛性在本题目中，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解该线性方程组，得 到的近似根是收敛的六、算法评价优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。缺点：

6、迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质(譬如是所谓对角占优阵) 以保证过程的收敛性。高斯 一塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的 精度所需迭代次数少)，但这个结论，在一定条件下才是对的，甚至有这样的方程组 雅可比方法收敛，而高斯一塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性 方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很正确的解。 而通常我们 选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在实际应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。 通过该算法以及编程对 求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代 一次只需计算一次矩阵和

7、向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大， 所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。附：高斯一赛德尔程序-可编辑修改-program G-S implicit noneinteger:i,jinteger:ksave kreal,parameter:e=0.001integer,parameter二n=3real:x(n),y(n),b(n)data b/7.2,8.3,4.2/real:Dreal:a(n,n)open (unit=10,file=1.txt)data a/10,-1,-1,-1,10,-1

8、,-2,-2,5/write(10,*)*矩阵A的形式为*、write(10,(1x,3f6.2,/)a forall(i=1:n)x(i)=0end forallk=0100D=0do i=1,n-可编辑修改-y(i)=b(i)do j=1,nif(ij) y(i)=y(i)-a(i,j)*y(j)end doy(i)=y(i)/a(i,i)end dodo j=1,nD=abs(x(j)-y(j)end doforall(i=1:n)x(i)=y(i)end forallif(D=e) thenk=k+1write(10,*)”迭代次数为：,kgoto 100else-可编辑修改-goto 200end if200write(10,*)*”write(10,*)用 Gauss-seidel方法解得的结果 Xt为:write(10,(1x,3f6.2,/)x(:)stopend program* 矩阵 A 的形式为 *10.00 -1.00 -1.00-1.00 10.00 -1.00-2.00 -2.005.00迭代次数为: 迭代次数