高等数学第九章课件

1、第九章 二重积分第一节 二重积分的概念及其性质第二节 二重积分的计算第三节 二重积分的应用第一节 二重积分的概念及其性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质一、二重积分的概念（一） 曲顶柱体的体积柱体体积=底面积*高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积（二） 平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于

2、零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值二、二重积分的性质性质设k为常数，性质2性质3 若积分区域D被一条曲线分为两个部分D1,D2，则性质4性质5 设M,m是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小值,是D的面积,则第二节 二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算如果积分区域为：X型其中函数 、 在区间 上连续.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法得如果积分区域为：Y型X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直

3、线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式二、二重积分在极坐标下的计算 设有极坐标系下的积分区域D, 用一组以极点为圆心的同心圆(r=常数)及过极点的一组射线(=常数)将区域D分割成n个小区域. 平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标(r,)之间的关系： x=rcos ,y=rsin ，(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两条连续曲线r=r1()，r=r2()围成 (2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射线=,=和连续曲线r=r ()围成 (3)若极点O在区域D*内,且D*的边界曲线为连续封闭曲线r=r

4、()(02) 第三节 二重积分的应用一、几何应用二、物理应用一、几何应用（一） 求立体的体积和平面图形的面积例1 计算由曲面及 xoy 面所围的立体体积。解设立体在第一卦限上的体积为 V1。由立体的对称性，所求立体体积 V = 4V1 。立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为于是，所求立体的体积例2 求两个圆柱面所围的立体在第一卦限部分的体积。解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底为它的底为它的曲顶为于是，立体体积为例3 求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体积为 V1 ，则所求立体的体积为V1 可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的底D 由半圆周及 x 轴围成。用极坐标系表示于是，所求立体体积（二） 求曲面的面积设曲面的方程为：如图，- 曲面 S 的面积元素曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲