2023九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时 正切教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切教学实录（新版）北师大版主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容为九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1，重点讲解锐角三角函数中的正切函数。

2.教学内容与学生已有知识的联系紧密。学生在学习本节课之前，已经学习了直角三角形的基本性质，掌握了勾股定理。本节课将在此基础上，引导学生理解正切函数的定义和性质，进一步巩固直角三角形的边角关系。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达几何关系的逻辑思维能力。

2.培养学生通过观察、实验、推理等数学活动，探索直角三角形边角关系的探究能力。

3.培养学生运用正切函数解决实际问题的应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了勾股定理和直角三角形的性质，能够识别和构造直角三角形。他们对三角形的边长和角度有一定的理解，但在应用这些知识解决实际问题方面可能还存在一些困难。

2.学生对数学的兴趣因人而异，但大多数学生在面对新的数学概念和公式时表现出了好奇心和探究欲。他们的学习能力各有不同，部分学生能够快速理解和应用新知识，而另一部分学生可能需要更多的指导和练习。学习风格上，有的学生偏好视觉学习，有的学生则更喜欢动手操作或口头讨论。

3.学生在学习正切函数时可能遇到的困难包括理解函数的定义，以及在几何图形中找到正切线段的难度。此外，将正切函数与实际问题相结合时，学生可能难以建立数学模型并找到合适的解决方案。这些挑战需要教师在教学中通过适当的示范、练习和反馈来帮助学生克服。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.确保每位学生拥有《2023九年级数学下册》教材，包括本节课的相关章节。

2.准备与正切函数相关的图片、图表和视频，帮助学生直观理解概念。

3.教室内设置多个小组讨论区，方便学生进行合作学习。

4.准备直角三角板和量角器等实验器材，用于学生实际操作和验证正切函数的性质。教学过程一、导入新课

1.教师通过提问：“同学们，我们已经学习了直角三角形的性质，谁能告诉我直角三角形中有哪些特殊角？”

2.学生回答，教师总结：直角三角形中有一个角是直角，其余两个角是锐角。

3.教师继续提问：“那么，我们如何表示这两个锐角呢？”

4.学生可能回答角度，教师引导：“是的，我们可以用角度来表示。但是，我们还可以用边长来表示这两个锐角。”

二、新课讲解

1.教师讲解正切函数的定义：“正切函数是指直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。记作tan(θ)，其中θ为锐角。”

2.教师通过PPT展示正切函数的图像，引导学生观察：“同学们，请看屏幕上的图像，这是正切函数的图像。大家发现，正切函数在第一象限是增函数，在第二、三、四象限是减函数。”

3.教师讲解正切函数的性质：“正切函数是周期函数，周期为π。当θ=π/2时，tan(θ)不存在。”

4.教师通过实例讲解正切函数的应用：“同学们，我们来做一个实例。已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求这个直角三角形的斜边长。”

5.学生独立完成题目，教师巡视指导。

三、课堂练习

1.教师发放练习题，要求学生独立完成。

2.教师讲解练习题中的重点和难点。

3.学生再次完成练习题，教师批改并讲解。

四、课堂小结

1.教师引导学生回顾本节课所学的知识点：“同学们，今天我们学习了正切函数的定义、性质和应用。大家掌握了这些知识点吗？”

2.学生回答，教师总结：“好的，大家掌握了。正切函数是直角三角形中一个重要的函数，它在很多实际问题中都有应用。”

3.教师布置课后作业：“请同学们课后完成教材中的练习题，巩固所学知识。”

五、课堂延伸

1.教师提问：“同学们，除了正切函数，还有哪些三角函数呢？”

2.学生回答，教师讲解余弦函数和正弦函数的定义、性质和应用。

3.教师布置课后作业，要求学生完成相关练习题。

六、课堂总结

1.教师总结本节课的教学内容：“同学们，今天我们学习了正切函数的定义、性质和应用。希望大家能够通过课后练习，巩固所学知识。”

2.学生回答，教师总结：“好的，希望大家能够通过课后练习，掌握正切函数的相关知识，为后续的学习打下坚实的基础。”

3.教师宣布下课：“同学们，今天的课就上到这里，下课！”知识点梳理1.直角三角形的性质

-直角三角形有一个角是直角（90度）。

-直角三角形的两条直角边互相垂直。

-直角三角形的斜边最长。

2.锐角三角函数的定义

-正弦函数（sinθ）：直角三角形中，锐角θ的对边与斜边的比值。

-余弦函数（cosθ）：直角三角形中，锐角θ的邻边与斜边的比值。

-正切函数（tanθ）：直角三角形中，锐角θ的对边与邻边的比值。

3.锐角三角函数的性质

-正弦、余弦和正切函数的定义域为锐角（0°到90°）。

-正弦、余弦和正切函数在第一象限内是增函数，在第二、三、四象限内是减函数。

-正切函数是周期函数，周期为π。

4.锐角三角函数的图像

-正弦函数图像是一个波浪形，在y轴的正半轴上。

-余弦函数图像是一个波浪形，在y轴的正半轴上，但与正弦函数图像相比，它向右平移了π/2。

-正切函数图像是一个垂直于x轴的直线，在y轴的正半轴上。

5.锐角三角函数的应用

-在几何问题中，利用三角函数求解角度和边长。

-在物理问题中，利用三角函数分析力的分解和合成。

-在工程问题中，利用三角函数进行角度和距离的计算。

6.正切函数的特殊值

-当θ=0°时，tan(θ)=0。

-当θ=30°时，tan(θ)=1/√3。

-当θ=45°时，tan(θ)=1。

-当θ=60°时，tan(θ)=√3。

-当θ=90°时，tan(θ)不存在。

7.正切函数的诱导公式

-tan(θ+π)=tanθ

-tan(θ+π/2)=-cotθ

-tan(θ+π)=-tanθ

-tan(θ-π/2)=cotθ

8.正切函数在坐标系中的应用

-在直角坐标系中，利用正切函数可以确定直线或曲线的斜率。

-在极坐标系中，利用正切函数可以确定点与极轴的夹角。典型例题讲解1.例题：已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，求斜边长。

解题过程：

-根据勾股定理，斜边长的平方等于两条直角边的平方和。

-斜边长^2=6^2+8^2

-斜边长^2=36+64

-斜边长^2=100

-斜边长=√100

-斜边长=10

答案：斜边长为10。

2.例题：在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=8cm，求AC和AB的长度。

解题过程：

-∠A=30°，在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

-因此，AC=BC/2=8cm/2=4cm。

-使用正弦函数求AB的长度：sinA=对边/斜边。

-sin30°=AC/AB。

-1/2=4cm/AB。

-AB=4cm/(1/2)=8cm。

答案：AC的长度为4cm，AB的长度为8cm。

3.例题：在直角三角形ABC中，∠B=45°，AC=√2cm，求AB和BC的长度。

解题过程：

-∠B=45°，在直角三角形中，45°角所对的边相等。

-因此，AB=AC=√2cm。

-使用余弦函数求BC的长度：cos45°=邻边/斜边。

-√2/2=BC/√2。

-BC=(√2/2)*√2。

-BC=1cm。

答案：AB的长度为√2cm，BC的长度为1cm。

4.例题：在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠C=90°，AB=10cm，求AC和BC的长度。

解题过程：

-∠A=60°，在直角三角形中，60°角所对的边是斜边的一半乘以√3。

-因此，AC=AB/2*√3=10cm/2*√3=5√3cm。

-使用正切函数求BC的长度：tan60°=对边/邻边。

-√3=BC/10cm。

-BC=√3*10cm。

-BC=10√3cm。

答案：AC的长度为5√3cm，BC的长度为10√3cm。

5.例题：在直角三角形ABC中，∠B=30°，∠C=90°，BC=12cm，求AC和AB的长度。

解题过程：

-∠B=30°，在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

-因此，AC=BC/2=12cm/2=6cm。

-使用正切函数求AB的长度：tan30°=对边/邻边。

-1/√3=BC/AB。

-AB=BC/(1/√3)。

-AB=12cm/(1/√3)=12√3cm。

答案：AC的长度为6cm，AB的长度为12√3cm。课堂1.课堂评价：

-提问环节：在课堂教学中，通过提问的方式检验学生对正切函数概念的理解程度。例如，提问“正切函数的定义是什么？”或“正切函数在直角三角形中有何应用？”来评估学生对基本概念的记忆和应用能力。

-观察环节：教师应密切关注学生的课堂参与度，包括学生的注意力集中程度、课堂讨论的积极性以及解决问题的能力。通过观察学生的互动和操作，教师可以评估学生的理解水平和参与程度。

-测试环节：在课堂结束时，进行简短的小测验，如填空题、选择题或简答题，以评估学生对正切函数知识点的掌握情况。测试题应涵盖本节课的主要知识点，如正切函数的定义、性质和图像。

2.及时反馈：

-对于学生在提问环节的回答，教师应给予及时的反馈，无论是肯定还是纠正，都要确保学生能够理解并记住正确的答案。

-在观察环节中，教师应鼓励学生积极参与，对于表现积极的学生给予表扬，对于表现不佳的学生给予适当的指导和鼓励。

3.作业评价：

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，关注学生是否能够正确应用正切函数解决实际问题。作业中可能包括计算题、应用题和证明题。

-点评反馈：在作业批改过程中，教师应给出详细的点评，指出学生的错误和不足，并提供正确的解题思路和方法。

-及时沟通：对于作业中的问题，教师应通过面谈或邮件等方式与学生沟通，确保学生能够及时了解自己的学习进度和需要改进的地方。

4.鼓励学生：

-在课堂和作业评价中，教师应鼓励学生不断努力，对于进步显著的学生给予表扬，激发学生的学习兴趣和动力。

-教师可以设立学习小组，鼓励学生之间相互帮助，共同进步。通过小组讨论和合作，学生可以加深对正切函数的理解。

5.评价记录：

-教师应记录学生的课堂表现和作业完成情况，以便跟踪学生的学习进度和效果。这些记录可以作为后续教学调整的依据。

6.定期评估：

-定期进行小测验或单元测试，以全面评估学生对正切函数知识的掌握情况。通过定期的评估，教师可以了解学生的整体学习状况，并针对存在的问题进行针对性的教学。板书设计①正切函数的定义

-正切函数（tanθ）

-锐角θ的对边与邻边之比

-θ的范围：0°<θ<90°

②正切函数的性质

-定义域：锐角

-增减性：第一象限增，第二、三、四象限减

-周期性：周期为π

-不存在性：θ=90°时，tanθ不存在

③正切函数的图像

-波浪形

-y轴正半轴

-周期性表现

④正切函数的应用

-几何问题：求角度和边长

-物理问题：力的分解和合成

-工程问题：角度和距离计算

⑤正切函数的特殊值

-θ=0°：tanθ=0

-θ=30°：tanθ=1/√3

-θ=45°：tanθ=1

-θ=60°：tanθ=√3

-θ=90°：tanθ不存在

⑥正切函数的诱导公式

-tan(θ+π)=tanθ

-tan(θ+π/2)=-cotθ

-tan(θ+π)=-tanθ

-tan(θ-π/2)=cotθ

⑦正切函数在坐标系中的应用

-直角坐标系：确定直线或曲线的斜率

-极坐标系：确定点与极轴的夹角教学反思与总结今天这节课，我们学习了正切函数的相关知识。我觉得，整体上，这节课的教学效果还是不错的。但是，在回顾整个教学过程之后，我也有一些反思和总结。

首先，我觉得我在教学方法上做了一些尝试。我尝试通过提问、小组讨论和实例分析等方式，让学生更加主动地参与到课堂中来。我发现，这种方法确实激发了学生的学习兴趣，让他们在解决问题的过程中学会了思考。但是，我也注意到，有些学生在讨论时显得比较被动，可能是因为他们对正切函数的理解还不够深入。所以，我需要在今后的教学中，更加注重基础知识的讲解和巩固。

其次，我在课堂管理上也做了一些调整。为了让学生更好地理解正切函数，我尽量用简单易懂的语言来解释概念，并且在课堂上多鼓励学生提问。我发现，这样一来，课堂氛围更加活跃，学生之间的互动也增多了。但是，我也发现，在课堂上，部分学生容易分心，这可能是因为他们对数学本身就不感兴趣，或者是因为他们对新知识的接受能力有限。因此，我需要思考如何更好地吸引这些学生的注意力，让他们也能参与到课堂中来。

在教学总结方面，我觉得学生在知识、技能和情感态度等方面都有所收获和进步。大部分学生能够掌握正切函数的定义、性质和应用，能够运用正切函数解决一些实际问题。在情感态度方面，学生对待数学的态度也有所改变，从最初的抗拒到现在的接受和尝试，这是一个很好的转变。

当然，在教学过程中，我也发现了一些问题和不足。比如，对于一些较复杂的应用题，学生的理解还不够深