长沙一中高三第一次模拟考试理科数学

1、长沙市一中高三第一次模拟考试理科数学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 -i（其中i为虚数单位）的虚部等于（D)C. .2idTB .必要不充分条件D.既非充分又非必要条件以原点为中心，边长为0 m -1m :二 0【解析】将直线x-y -1=0代入双曲线 x2 - y2 = mm的取值范围是（D）-1 m 0m -1求得y = ，则有2m -1三(4 , 1 )- 1 m+3.同理由 xw （1,1）亦得3m1,又双曲线焦 TOC o 1-5 h z A 22

2、2 .A . - B . i【解析】Ji二亘！ 一空.名.1 -i 2222、2 W2x W4 是 |x+1|W3 成立的是（A）A .充分不必要条件C.充要条件3、已知f :xt 2sinx是集合A（A10,2冗）到集合B的映射，若B =0,1,2,则A中的元素个数最多为（A） TOC o 1-5 h z A. 6B. 5C. 4D. 35 二二【解析】右 2sin x =0,则 x=0,n,2n ；右为 x=，则 x=,;若 2sin x = 2,则 x =.6 624、某一批袋装大米质量服从正态分布N（10,0.01）（单位kg,）任选一袋大米，它的质量是 9.8kg 10.2kg 内的

3、概率为(已知 6(1) = 0.8413,(2)=0.9772 ) (B)A. 0.8413B, 0.9544C, 0.9772D, 0.6826【解析】P(9.8 一 10.2)=F (10.2) -F (9.8)=：二，(10.2 -10) 一：1(9.8-10)0.10.1二中(2) - ：(-2) =2中(2)-1 =0.9544.225、已知双曲线 C : x - y =m的焦点在y轴上，直线l : x - y-1 = 0与双曲线C的交点在点在y轴上有m0,故_1m0.6、点P是球O的直径AB上的一个动点，设 PA = x，过P点且与直径 AB垂直的截面积记 为y （如图所示），则函

4、数y = f（x）的图象大致是（B）ABCD【解析】y =:R -(R-x)2 = ：(-x2 2Rx)(0 x 2R).7、我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球，变轨前后嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆.若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ,远地点到地心的距离为 n ,第二次变轨后两距离分别为 2m、2n （近地点是 指卫星距离地面最近的点，远地点是指卫星距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的 TOC o 1-5 h z 离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（A）A,不变B,变小C.变大D.无法确定【解析】第一次变轨前椭圆离心率为口二

5、m ;第二次变轨后椭圆离心率为2n2m ,即离m n2m 2n心率不变.8、在航天员进行的一项太实验中，先后要实施6个程序，其中程序 A只能出现在第一步或最后一步，程序 B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（C）A. 24 种B. 48 种C. 96 种D. 144 种【解析】C2 A A2 =96.9、已知x2 cx 2 limx 2 x -2=a ,且函数yb= alnx+-+c在（1,e）上具有单调性，则 b的取值 x范围是（D）(-0,e1,e(-0 Ue,D.(-二,1Ue, 二)-,x2 - c x 2【解析】因l i mu2x 立 x -2所以xcX2中含有因式x 2

6、,于是-3, a=lim x 2 x -2一.b则 y = l nx .x3 r- xby =aln x+ +c在（1, e）上具有单调性，所以 xb W1,若be ,选D.10、某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD ABCiDi的顶点AO黑“电子狗”爬行的路线是出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”AAt ADt III，黄“电子狗”爬行的路线是 ABt BB1T I IL它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完 2007段后知自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电

7、 了狗”间的距离是(B)A. 0B. 1C. 2zD. 73【解析】黑“电子狗”爬行路线必须为AAt AD1T DC1T CQt CBt BA|周期为6.黄“电子狗”爬行路线必须为ABt BB1T B1c1T CQ1T DDt DA|周期为6.,黑电子狗爬行2008段后必停在C处，黄电子狗爬行 2007段后必停在C1处.，它们之间口目离为1.题号答案选择题答题卡456BDB78910ACDB二、填空题(本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横 线上)1 n 11、已知(2x-)n展开式的二项式系数和为 64,则展开式中常数项为 -160.x【解析】/ 2n =

8、64 = 26,，n = 6 ,，展开式常数项为160 .12、已知f (x) =sin(2x + *),且函数f(x)为f (x)的导函数，若f (x) + f(x)为奇函数,贝Utanq、： -2.【解析】/ f (x) =2cos(2x +*),令 F (x) = f (x) + f (x) =sin(2x + 中)+2cos(2 x + 中)，；F(x)为奇函数，, F(0) =0,二 sin 平+2cos 华=0,，tan中=2.13、如图所示，动点P ( x, y )所在的区域为四边形 ABCD (含边界) 若目标函数z =ax + y只在点D处取得最优解，则实数 a的取值范围 是

9、(-二，-1)U(1，,二).2 11 【解析】目标函数y=ax+z,a ，a kDC=1,，a 1.22 .a的取值范围为(-0,T)U( 一,代). 214、平面上的向量PA,PB 满足 |PA|2 +|PB|2 二 4,且 PA PBPB = 0,若向量 TOC o 1-5 h z 124PC =PA + PB,则|PC|的最大值是一333【解析】*. PA PB=0,PA_lPB,又|PA|2+|PB|2 = 4，所以 |AB|=2,且点 P 在以AB为直径的圆上，如图建立直角坐标系，则点A(-1,0)，点B(1,0),设点P(x, y),则22x2 +y2 =1, PA = (-1-

10、x,-y),PB = (1-x,-y),F12 -fF1.PC PA -PB,. PC =(x, -y), 3332122 102 一.|PC |2=(1-x)2 y2 = -x,7-1x 1, 393-1 216 , 士 .，一，一4,x = -1时，| PC |取得最大值为 一，所以| PC |的最大值是-. 93,一，-13 a 2 一15、对于函数 f(x)二 |x| x +(3a)|x|+b, 32(1)若 f(2) =7 ,则 f (-2) = 7(2)若f(x)有六个不同的单调区间，则a的取值范围为2 a 0时，f(x)须有三个不同的单调区间11 3 a 22,f (x) =-

11、x 一 x +(3 a)x +b(x 0),二 f (x) = x ax + (3 a),32f (x) =0 中 &=a2 -4(3-a) 0,a a2 +4a-120, a2 或 a 0 且 3 a A0,. 2a 0),函数f(x) = m n,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 . 2(1)求缶的取值范围；(2)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a = J3,b + c = 3,当编最大时,f(A) =1 ,求MBC的面积.解(1) f (x) = cos2 x -sin2 x 2.3sin - xcos x=cos2 x +：J3sin 2 x = 2sin(

12、x )6o A0,J.函数f(x)的周期T =ji一,由题意可知解得0 co三1,即co的取值范围是i;|0 ：_1 ：(2)由(1)可知的最大值为1, . f (x) =2sin(2x -),； f(A) =1.sin(2A -)=131一,而一2A+一 b 0)的离心率为,直线l : y = x + 2与以原点为圆心、a b3椭圆G的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆&的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线11过点后且垂直于椭圆的长轴，动直线 l2垂直11于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求动点M的轨迹C2的方程;1(3)过椭圆Ci的焦点F2作直线l与曲线C2

13、交于A、B两点，当l的斜率为一时，直线li上 2是否存在点M,使AM _L BM ?若存在，求出 M的坐标，若不存在，说明理由222直线l :x y+2 =0与圆x +y =b相切,2,2二b,. b =亚 b2=2. a2 =3. TOC o 1-5 h z 22，椭圆C1的方程是+L = 132(2)：|MP|=| MF2|，二动点M到定直线l1 : x =1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离.，动点M的轨迹方程是以L为准线，F2为焦点的抛物线2.，点M的轨迹C2的万程为y = 4x.(3)由y2=4x,得焦点为N (1, 0),准线方程为x=1.直线 l 的方程为 x -2y -1

14、=0，代入 y2 =4x,得 y2 -8y -4 = 0 .22由韦达定理得 + y2 =8,y1y2 =4,设 A(, yj B(, y?)44设曲线C2的准线上存在点 M ( 1,m),使得AM _L BM ,则 / BM =0,22，(一心,甘。,_2_222 2._16m -16m(y14(y1 72) % y2 16y1y2 16 = 0,m2 -8m 16=0, m = 4 .,准线上存在点 M (-1,4),使AM .L BM20、(本小题满分13分)预测经销时间共60天，在经销这一产某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许记念品,品期间第n天的利润(单位：万元)为an1,1n,

15、10(1 三 n 20).为了获得更多的利润,(21 n 60)n天的日禾【J润商店将每天获得的利润购进纪念品增加货源投入到次日的经销中，定义第bn第n天的利润，例如:坊二n天投入资金的总和b3a381al a2(1)求灯、b2的值;(2)求第n天的日利润率bn ；(3)该商店经营此纪念品期间，哪一天的日利润率最大，则该日经销最火爆，问经销最火 爆会发生在第几天，并求该天的日利润率.一 ，1解(1)当n =1时，匕=；81当 n = 2 时，bz =.82(2 )当1 n W 2 时，优=初=%=111 an,=an = 1 ,bna 1_181a1a2 HIan81 n -1 n 807 n

16、 =1时上式也成立,当 1 En M20时,当 21 n M60时，bn180 nbn1n0:1081 a a2 1他20 a21 HI an8120 a21 I。an1一 n10101 (n-21)(n 20)202nn2 -n 1600,第n天的利润率bn =1 ,1 -n -20,( n N*) n 802nF,21 - n -60,(n N*)n2 -n 1600(3)当 1 n E20 时,11bn =是递减数列，此时 bn的最大值为n =一;n 80 nn81当 21 一，二当n =40时, 79 81279该商店经销此纪念品期间，第 40天的经销最火爆，且该天的日利润为 .792

17、1、(本小题满分13分)一，一 一31.237已知函数f(x)=ax +-(sini)x 2x+c的图象过点(1,)，且在一 2,1)内单倜递减, 26在1,收)上单调递增.(1)证明sin 8=1，并求f(x)的解析式;45(2)右对于任息的x1, “ w m,m+3(m之0),不等式| f (x1)一 f的)|W恒成立，试问2这样的m是否存在.若存在，请求出 m的范围，若不存在，说明理由；(3)已知数列 Qn)中，& w (0,1,an = f (an),求证：an 8 ln an(n = N*).解：(1) ；f(x)=3ax2+(sine)x2,由题设可知:f (1) = 0 目”即f

18、 ( -2) 1 时，f (x)在m,m+3上递增.故 f (x)max = f (m+3), f (x)min = f(m)12m 2m2, 一 一 _1_ 31_2_13由 f (m 3) - f (m) (m 3) (m 3) - 2(m 3) - m 323215 45=3m 12m- 22得-5 M m M 1.这与条件矛盾，故舍.(n)当0WmW1时，f (x)在m,1上递减，在1,m+3上递增.f(x)min = f (1), f(x)max =maxlf (m), f (m 3)又91599f (m 3) - f (m) =3m 12m3(m 2) - 0(0 _ m -1),22f(x)max =f(m 3)，45 t _M f(x1)-f(x2)|f(x)maX-f(x)min = f(m+3)-f(1)2,则 a=