朗道阻尼综述(精选.)甄选

1、)fon。kkv /kv、2 ()3 . dv 0朗道阻尼综述(精选.)朗道阻尼动力学处理波动问题，得到的结果与流体理论的有所不同。考虑一维静电波扰动:m怙，因此色散方程为2p ( mvT2n k Tkv2k3v4犷- dvqt f1 V x f 1E v f0 0 ，m1xEq fi dv0应用定积分公式2x nx dxn 1 x2x de经Fourier变换解得f1iqE vfom(kv )x2dx 呼 In22色散关系为：2 fD( ,k)1dv 0n k(kv)2其中p匹丄是等离子体振荡m 0频率。及I。、，递推得1 2m因此(2 m 1)!p (2 m 1)!k2mTm22m mm

2、0m考虑长波，k很小，相速度很大，展开:kv kv 2()(空)3 . dv 0取头两项，并考虑主要是电子的贡献，则2b2T1 (13孕)0 m,进一步近似可得2 2e(1 3k2 De)取平衡时的分布函数为Maxwellian 分布：-0 g 2mT exp(穿)而朗道认为，以上运算过程中，积分存在奇点问题，即在速度等于波的相速度时，积分的分母为0。以上的处理方法只是主值积 分，正确的计算需要沿着奇点下方的路径进行。如果按照朗道指出的路径积分，结果为丰 lm(v)k/Re(v)积分围道至于为什么要使用朗道围道进行 积分，还需要从问题本来的物理 过程看：如果最初有扰动，可以 对Vlasov方程

3、进行时间t的 Laplace变换求得以后的扰动电 场，而不是做Fourier变换(空间 上仍然做Fourier变换)：2i -4(13勒mei nekpt/ke ( tf1 v Xf1E vf)dt 0m这时,不再为实数，而是含有pfdp)t0 ikvh(p)qE(p)vf。0m虚部的复数。一般对于形如f1(p)1p ikvqE(p)vf。Dr( ,k) iDi( ,k)0其中虚部是小量，则iDi( r,k)/ Dr( r,k)这里下标r、对应为实部和虚部代入电场方程ikE ( p) $ (f10 v可解出电场-E(p)mf0)Tp ikv应用到此处，可以得到电子静电波的阻尼率E(p)-0 v

4、1ikt 0p i2 prbvfdV)v p ikv经Laplace反变换,2 fpe v 0e2 2/ pe 2/3讪 rlvr/k_rLmt f2n。ek3 Te 0eexp(严吕)2k Te 7 2 Te2Te k亠勺 2k2 De 2)1 IE(t) 2-eptE(p)dp2 i i这里 是充分大的实数，使得所有积分奇点都在积分线路的左边。而这些奇点(分母为 0)就是经过对应p i之后的色散limaga(x y)e ia(x y)i(xy)f(y)dylim(aga(x y)i(x y)f(y)dyc.c)方程。而 是充分大的条件，对 应于色散方程对速度 v的积分 中，奇点ip具有充分

5、大的虚k k部，因此积分是从奇点下方通过 的。有趣的是，朗道阐明了要解 决这个物理问题，积分围道需从 下方绕过，才能满足数学上的要 求。而一些数学家则认为这种做 法只是纯数学的东西，没有物理 意义。直到后来实验和模拟都证 实了朗道阻尼的存在，朗道的处 理方法才被普遍的接受。从物理上看，朗道阻尼其实是 波与电子的共振相互作用。当电 子的运动速度与波的相速度相差 不大时，电子就被波的势阱捕获， 从而与波一起运动。开始时速度 小于波速的粒子得到加速，而开 始时速度大于波速的粒子被减 速，最后被捕获的粒子平均速度 都与波的速度相同。对于 Maxwellian分布，运动 速度在波速附近的粒子中，速度 慢

6、的比速度快的粒子更多。从而 获得加速的粒子多于减速的粒 子。总体看来，波失去能量而粒 子获得能量。波的幅度就会逐渐 减小，形成阻尼。Fourier 变换：F(k) f(x)eikxdxF(k)eikxdkeikxf (y)e ikydydk由于如图围道积分大圆弧上 为0 (当a)，主值积分就等于负的小弧积分。F(k)eikxdk 2 f (x)Laplace 变换:F(p) f(t)eptdt0a iba ibF (p)eptdpeptdp f ( )e p da iba ib0e(a ib)(t )e(a ib)(t)-f( )de(a ib)(t )f( )dc.c.对于b ，与上图一样的围道 积分，大圆弧上为0,主