圆锥曲线最值问题常见类型以及解法

1、关于圆锥曲线的最值问题常见类型及解法第一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月类型一:两条线段最值问题 利用圆锥曲线的定义求解 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。关键：用好圆锥曲线的定义第二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例1、已知点F是双曲线 的左焦点，定点 A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为 . 思维导图：根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系两点之间线段最短FAPyx第三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例1、已知点F是双曲线 的左焦点，定点 A（1，4），P是双曲

2、线右支上动点，则的最小值为 . 解析：设双曲线右焦点为F/FAPyx第四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例2： 如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，当|AF|最大时， |MA|+|MF|是最大值。具体解题过程如下：已知椭圆 的右焦点F，且有定点A（1，1），又点M是椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标分析：第五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月则F的坐标为(4,0)解：设椭圆的左焦点为F由椭圆的

3、定义得：|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|连AF，延长交椭圆于M则| |MA|-|MF| | |AF|当且仅当M,A,F三点共线时，等号成立。 |MA|-|MF|的最大值为 |AF|，这时M与M 重合 |AF|= |MF|+|MA| 的最大值为要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF|最大，问题：本题解题到此结束了吗？最小值为 第六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月变式训练： 已知P点为抛物线 上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ _，此时P点坐标为 _.Qxy第七张，PPT共三十三页，创作于2

4、022年6月类型二：圆锥曲线上点到某条直线的距离 的最值切 线 法 当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。第八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。略解：圆心到直线L的距离d1= 所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r思考： 例1是否还有其他解题方法？问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？第九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月圆上的点到直线的最短距离即为两

5、平行直线间的距离另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直线与圆相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=m2=52，代入圆x2+y2=4整理得：第十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例2、求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.思维导图：求与 平行的椭圆的切线切线与直线 的距离为最值，切点就是所求的点. xyo第十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例2、求椭圆 上的点到直线 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.解：设椭圆与 平行的切线方程为 第十二张，PPT共三十三

6、页，创作于2022年6月变式训练： 动点P在抛物线 上，则点P到直线 的距离最小时，P点的坐标为_.第十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例3 求点 到椭圆 上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。分析：类型三：圆锥曲线上点到x轴（Y轴）上某 定点的距离的最值第十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月此时，所以 的最大值为即此时Q的坐标为：设点 Q(x,y)为椭圆 上的任意一点，则又因为x2 = 4- 4y2 所以（1y1）解：例3 求点 到椭圆 上点的最大距离

7、，并求出此时椭圆上的点的坐标。第十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月思考题：第十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月变式训练： 已知双曲线C： ，P为C上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小值为_.第十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例1： 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求： ABP的最大面积及此时点P的坐标。 动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。 要使ABP的面积最大

8、，只要点P到直线AB的距离d最大。设点P( )解：由已知： |AB|=2x-y-4=0直线AB：*解题过程如下：*分析：类型四第十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月d=由已知：2y4dmax=此时，y=1, x = d =点的坐标为( ，1 )Smax=第十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距离，从而求出ABP面积的最大值和点P的坐标。分析：y2-2y+2m=0设直线L与抛物线 y2=4x相切，直线AB：2x-y-4=0直线L的方程为：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=此

9、时，y=1,x= 直线L的方程为：2x-y+ =0两直线间的距离d=另解：把（*）代入抛物线的方程得其他过程同上。第二十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月回顾反思与能力提升：1、此法用了哪种数学思想方法？2、有没有别的办法？3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大 值，何时取最小值.第二十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月类型五:基本不等式法 先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值. 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.第二十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两

10、个顶点，直线 与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.AFEBxy思维导图：用k表示四边形的面积根据基本不等式求最值 第二十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.解析：依题意设得椭圆标准方程为 直线AB、EF的方程分别为 设第二十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为四边形AFBE的面积为第二十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月第二十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月变式训

11、练： 已知椭圆 的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，求四边形ABCD面积的最小值.第二十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月方法四:函 数 法 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.关键：建立函数关系式第二十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月例5、点A、B分别是椭圆 的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PAPF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值.xyABFMP思维导图：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数求这个函数的最小值 第二十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则由(1)、(2)及y0得AP的方程为第三十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月