重庆重庆一中2012014学年高二上学期期末考试数学理试题版含答案

1、秘密启用前2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试数学试题卷（理科）2014.1数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。.答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第I卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题10个小题，每小题 5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必

2、须填涂在答题卡上相应位置。.直线ax+y 1=0与直线2x+3y2=0垂直，则实数a的值为（）C.D.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P（A|JB） = （ TOC o 1-5 h z A. 1B.2C.1D.533263.已知圆的半径为 2,圆心在x轴的正半轴上，且与 y轴相切，则圆的方程是(A. x2+y2-4x=0 B . x2+y2+4x = 0C. x2 y2 -2x -3 = 0 D . x2 y2 2x -3 = 0c32 二D .3f(x)=x2+3xf(2)+

3、ex,则 f(2)的.棱长为2的正方体 ABCD-ABC1D1的内切球 的表面积为（）A. B , 16 二C . 4 二3.已知函数f （x ）的导函数为f （x ）,且满足关系式值等于()2_eA. -2B. - -22C.D.2 e -22.已知a、P是不重合的平面， a、b、c是不重合的直线，给出下列命题:r a 一一 a _ b | a工 ID 口a _L P ;nac; 3na fc _ bb _ ab _L a。其中正确命题的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 07.一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.二”332.3B. 2 二3。3D. 2 二38.已知双

4、曲线221=1(a 0,b 0)的右焦点为F ,若过点 a bF且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. (1,2B. (1,2) C. 2,二) D. (2,二)19.（原创）右函数y1=sin（2x1）+ （为=0,冗）,函数y2= x2+3，则（x2）+（y1 y2）2的最小值为（）A立式+这二B124D (，-3点+15)2,5.2 -、,6、2C. ()7210.（原创）若对定义在R上的可导函数f （x）,恒有（4 x）f （2x）+2xf（2x） A0 ,（其中f（2x）表示函数f（x）的导函数f（x）在2x的值），则f （x）（）A

5、.恒大于等于0 B. 恒小于0 C. 恒大于0 D. 和0的大小关系不确 定第R卷（非选择题，共100分）、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。11.如图，直三棱柱 ABCABG中，AA =AB=2,BC=1, AB -L BC ,则该三棱柱的侧面积为 。C12.（原创）如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐 n 角口 =一,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正6方形内的概率是。 TOC o 1-5 h z 32.已知函数f（x）

6、= -x +ax -x-1在（-,）上是单倜减函数，则实数a的取值范围是 O.如图，平面 ABCD _L平面ABEF ,四边形 ABCD是正方形，四边形 才ABEF是矩形，且AF =；AD =a , G是EF的中点，则GB与平面/AGC所成角的正弦值为 。m/rF G E.（原创）已知抛物线 x2 =2py（p 0）的焦点为F ,顶点为O ,准线为l ,过该抛物线上异于顶点 O的任意一点 A作AA，l于点A，以线段 AF, AA为邻边作平行四边形AFCA ,连接直线AC交l于点D ,延长AF交抛物线于另一点 B 。若AAOB的面积为S&OB，ABD的面积为S曲BD，则（s.aob）的最大值为S

7、 Abd三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。.（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F （1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（1）求曲线C的方程；（2）设直线l交曲线C于A, B两点，线段AB的中点为D（2, -1）,求直线l的一般式方程。.（本小题满分13分）如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且 PD _L AD, PD _L DC , PD=3,AD=2,若 MN分别是AB、PC的中点。(1)求证：MN _L DC ;(2)求点M到平面PAC的距离。1312.

8、(原创)(本小题满分13分)已知二次函数 f(x) = -ax +bx 6x+1(xWR), a,b 32为实常数。(1)若a =3,b = 3时，求函数f(x )的极大、极小值；(2)设函数g(x) = f(x)+7 ,其中f(x)是f (x )的导函数，若g(x)的导函数为g(x),g(0)0, g(x)与x轴有且仅有一一个公共点，求1)的最小值。g (0).(本小题满分12分)如图，在AABC中，/C=90, AC = BC=a,点P在边AB上，设 AP = XPB(?.0),过点 P 作 PE / BC 交 AC 于 E ,作 PF / AC 交 BC 于 F 。沿 PE 将APE翻折

9、成 MPE,使平面APE _L平面ABC ；沿PF将&BPF翻折成AB,PF ,使平面BPF _L 平面 ABC。(1)求证：BC 平面APE ；(2)是否存在正实数 九，使得二面角C - AB-P的大小为90?若存在，求出入的值;若不存在，请说明理由。20.(原创)(本小题满分22一 ，一一-x y一、 -一12分)如图，已知椭圆C：F+y =1(a b A0)的离心率是 a b21.(原创)(本小题满分12分)函数f(x)=+lnx,其中a为实常数。x(1)讨论f (x)的单调性；(2)不等式f(x)至1在xw (0,1上恒成立，求实数 a的取值范围； TOC o 1-5 h z . 1(

10、3) 右 a=0, 设 g(n =一十一+11十_,3 n123. n -1-.h(n) = + + +111 + 3- (n 2,n= N。是否存在实常数 b ,既使 g(n) - f (n) b 234 n又使h(n) f(n+1)0),化简得 y2 =4x(x 0)。(或由定义法) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由（2=钛11区=4乂2川得：（y +丫2）（必y2） =4（x1 x2）,由于易知1的斜率k存在,故(V +y2)y1 f =4,即2k =4,所以 k = 2,故 1 的一般式方程为 1:2x+y3 = 0。x _ x2.(本小题满分13分)解：如图建系，则 D(0

11、,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,3),则3 M (2,1,0), N(0,1,-)o2-f3 *(1)法一：MN =(2,0,), DC =(0,2,0)2-1 -3- MN DC =(2,0,) (0,2,0) = 0,，MN _L DC。 2法二：三垂线定理。4(2)法一：设n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量， TOC o 1-5 h z T-IPA = (2,0, -3),PC =(0,2, -3),n PA =0 I2x-3z =03z由加 =4=x=y = ,nPC=0 2y-3z=02取 z =2,则 x = y =3,

12、n =(3,3,2) , MA = (0,-1,0),n MAI 33石2 一一322d = 一4! = =,点 M 到平面 PAC 的距离为 。n 2222222法二：体积法。18. (本 小 题 满 分 13 分) 解： (1)33 2_ 2f(x)=x x -6x 1,. f(x)=3x 3x6=3(x 1)(x 2),2令 f (x) = 0 ,工4=-2,x2 =1,x(-00, -2)-2(-2,1)1（1,收）f(x)+00+f(x)E极大值极小值f极大值=f (-2) = 11 , f极小值=f (1) = 一 2(2) g(x) =ax2+bx -6+72二 axbx 1(a

13、 = 0), g (x) = 2ax b, g (0) = b 0 ,2 ,- b.： -b - 4a =0=- a =法一:g(1) a b 1 a 1g(0)4彳b1彳人 b14- + 1 =一十一十1，令 h(b) =一 + +1,b A0, b 4 b4b11,一，c，_,.一 ,h(b) =- ,令 h(b) = 0,又bA0,则b=2,当bw2 时，h(b) 0,当 bw (2,y)时, 4 bh(b) .0,. h(b)min =h(2)=21/ c+ +1=2。g(1)g (0)min = 2。法二:g(1)g(0)j.1 +1+12 2Jb- +1=2,4bb =2,.(g(

14、1)g (0)19.（本小题12分）解：（1）法一：以C为原点,CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面 ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图,P(x, y,0),BC/平面 APE。则 C(0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0) 设AP = PB = (x, y -a,0) = (a -x, -y,0)a aa a ,(_-,-7,0)从而 E(0, 3,0), F(3,0,0), , 1-,11a aa a 、于正 A (0,二 , 二 ),B (-,0,二 ), TOC o 1-5 h z 1 1 1 1- :/1.”1一 . a 一平面A PE的

15、一个法向重为CE =(0,0),：. 1a a又 CB =(a-,0,-a-) , CB CE=0,从而, 1, 1法二：因为FC / PE , FC S平面APE ,所以FC 平面APE ,因为平面 APE，平 面ABC，且 A E _L PE ,所以 A E _L平面 ABC .同理， B F _L平面 ABC ,所以B F / AE,从而BF /平面APE .所以平面 BCF /平面APE ,从而BC/平面A PE o（2）解：由（1）中解法一有： 湿=（0,二-,二邑），AB=（a-,_-,（1）, TOC o 1-5 h z , 1 .-1-1；1-1 a a1BP=（0, ，一）。

16、可求得平面CAB的一个法向量m = （一,九,一1）,平面PAB的，. +1+11T 4 c 口r 1八 2.一个法向量n=（1,1,1）,由m n = 0 ,即一十九一1 = 0 ,又九a0 ,九一九+1= 0 ,由于九 = 3 0 , c =1,j. a = 72, b =1 ,椭圆2C : 二 + y2 =1, 2且 D(2,0)。；Q(2,2k+m),设 P(x0,y。)，由2(kx m)22_2_22_2_= xy = kx m2xq2+ y =1 +2(kx + m)2 =2=(2k2 +1)x2 +4kmx + 2m2 -2 = 0,.222222 .122由于 A=16k m

17、-4(2k +1)(2m 2) = 0= 2k -m +1=0= m =2k +1 (*),而由韦达定理:-4km2x0 = 22k 1-2km 由(*) z , x022k 1-2km 2k=一2,m m2k212k 1J.y0=kx0+m = -+m=，J.P(,),mmm m设以线段PQ为直径的圆上任意一点M(x, y),由 MP MQ = 0有2k1o o 2k12k(x 一)(x -2) (y - 一)( y -(2k m) = 0= x y (一 - 2)x (2k m )y (1 - 一)mmmmm由对称性知定点在 x轴上，令y = 0,取x=1时满足上式，故过定点K（1,0）。

18、21.（本小题满分12分）解：（1）定义域为（0,y）（x）=耳+1 =二襄， x x x当 aw0 时，Vx0,A x-a0,A f x）0,f （x）在定义域（0,）上单增；当 a 0 时，当 x a 时，f（x）0, f （x）单增；当 0 x a 时，f（x） -xln x +xmax,xw (0,1,令 g(x) = xln x +x, x (0,1,1. 一 一g (x) = ln xx +1 = ln x 之 0(x = (0,1)，: g(x)在 x= (0,1上单增, x二 g(x)max =g(1) = 1,，a *1 ,故 a 的取值范围为1,y)。11 . 1（3）存在

19、，如b=0等。下面证明：1十一十一十|十一a ln n （n之2,nN+） 2 3 n一 123. n -1及+ + +HI +3-ln n (n = N+),注意 ln n = ln + ln +| + ln,2 3 n12n -11 k1这只要证 ln =ln(1+) (k=2,3/l|n) (*)即可，k -1 k -1 k -11谷易证明x ln(1 +x)对x 0恒成立(这里证略)，取x =(k 2)即可得上式成立。k -111让k =2,3, |,n分别代入(*)式再相加即证：1+-十|十a ln n (ne N+),3 n -111.1111.1于是 1 十一 + +IH+ -1 十一十 十| + ln n (n w N+)。2 3 n -1 n 2 3 n -1再证-2.3巾23 33 43n3：二 ln( n 1) (n -2,nN+),Y.2 A .iL,23 33 43n3；ln(n 1) (n _2,n N ) TOC o 1-5 h z ,11、 ，11、 ，1111、 1、 1、 1 1、之(市-亍)(9-T3) ( 23)山(23 ) : ln(1 ) ln(1 -) ln(1 ,三)川1n(1)223344n n123n111111,11111,1=(/3) - ( 2 -73) - (72 -Z?) - Ilf