高中数学讲义微专题47多变量表达式范围——放缩消元法

1、- - -微专题 47 多变量表达式的范围放缩消元法一、基础知识：在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若 f x, y g x , g x m ，则 f x, y m2、常见的放缩消元手段：（ 1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（ 2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于 0 ，达到消元的效果（ 3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（

2、 4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。3、放缩消元过程中要注意的地方：（ 1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“” ；若求最大值，则对应的不等号为“” 。放缩的方向应与不等号的方向一致（ 2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性， 所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。 若将关于 x, y 的表达式 f x, y进行放缩消去y ，得到 g x ，例如 f x, y g x ，则下一步需要求出 g x

3、 的最小值（记为 m ） ， 即 f x,y g x m ， 通过不等式的传递性即可得到 f x, y m 。 同理， 若放缩后得到： f x, y g x ， 则需要求出 g x 的最大值 （记为 M ） ， 即 f x, y g x M ，然后通过不等式的传递性得到 f x, y M（ 3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去、典型例题:3例1：设集合 一 b|l a b 2中的最大兀素与最小兀素分别为M,m,则M m的值a为 TOC o 1-5 h z 3 3思路：考虑分别求出 一 b的最大值与最小值，先求 一 b的最大值，只

4、需a取最小，b取最 aa333大：一b 2 5即M 5 ,再求一b的最小值，由1 a b可知利用b a进行放a1a33缩，从而消去b ,可得：一b a ,再利用均值不等式可得：aa3 b 3 a 2J3 a 2A所以-b的最小值m 2J3 ,从而M m 5 273a a aa答案：5 2、, 3cc b,例2：已知A,B,C是任意三点，BC a,CA b,AB c,则y 上的最小值是 a b c思路：因为a b c,所以结合不等号的方向可将a消去，从而转化为关于 b,c的表达式:b,然后可从b出发，构造出与第一项互为倒数的性质2b c cc以便于利用均值不等式解出最值：b - 2b - zb-

5、c c 2 c 2 cc 1 2b c 1- 1c b - 1V2 -,所以 y J2 2b c 2 c 22a b c 2从而有：例3：设实数a,b,c满足a2 b2c 1 ,则a b c的最大值为由a b c可联想到a b与a22b2b2的关系，即a b2七一，所以思路22c ,然后可利用a bc进一步放缩消元，得a b cc V2c c,在利用c 1即可得到最大值:所以ab c的最大值为 J2 1,其中等号成立条件为:a b八22. 2ab a b c2c 1c1答案：J 1小炼有话说：本题也可从22 、 一.a b入手，进行三角换兀:r cos , 22，由a b c可得b rsin、

6、c ,然后根据不等号的方向进行连续放缩,消去,r,c即可得到最值:c rcos rsin c 、.2rsin、2r c ,2c c ,2 1已知关于 x的一元二次不等式2axbxc 0在实数集上恒成立，且 a b ,则b c-bc的最小值为（b aA.B.C.D.思路:由不等式恒成立可得:b24ac0 ,结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去c,b2一，所以T4ab坛4a a2. 24a 4ab b4ab 4a2,对于该其次分式可两边同时除以a2,可得:4 itb由a ab可知t1,从而将问题转化为t24t4 ，一，的最小值。t24t 4答案:小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元,如果

7、选择a,b,则因分式中含a,b的项较多,消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是10ac 25c2的最/、值为（）关键A. 2B.C.2、. 5D.思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式,即a2210ac 25c22a 5c 0 ,从而消去了 c得2a2ab a a b210ac 25c2ab a a b然后根据分母特征:ab,a aab构造21a abab ab - ab不等式得:abab44 a.1ab ab号成立条件:答案：Da 5cabab小炼有话说：本题在处ab

8、abab理a2abab a a b2、2,从而最小值为426一的最值时还可以从分式入手： babbabab a b而对分母利用均值不等式：2a-消去b,所以4222已知正数x, y,z满足xy z 1,则思路:所求表达式涉及 3个变量，首先确定主元,ab2xyzz的最小值是通过观察可发现分母中的2xy可与条件中的x2222.2y具备不等关系，而x y 1 z可用z表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于z的表达式求得最值解：x2 y2z2 1z2,因为 2xy x2 y2L 1所以有2xy122x y11 z21 z2xyz1 z1 z2Q4（等号成立条件:例

9、 7：设 x, y, z思路：本题虽然有3个变量，但可通过4於41则2x23z2的最大值是2进行消元，观察所求式子项的次数可知消去y更方便，从而可得 2x2 y 3z2 2x23z2 z 2。然后可使用“主元法”进行处理，将x视为主元,即 f x 2x2 x 3z22但本题要注意x的取值范围与z相关，即 x 0,2 z ,通过配方（或求导）可知x的最大值在边界处取得，即f x maxmax3z2z 2,5z28z从而达到消去 x的效果，再求出g z max 3z222,5z2 8z中的最大值即可解：Q x y z2x22y 3z2x2x 3z22x23z2x,y,z 0 y 2 x z4x的极

10、小值点x maxmax,f3z2z 2,f3z2 5z28zf x max max 3z2 z 2,5z2 8z 8 其中 z 0,2 TOC o 1-5 h z 22设 g z max 3z z 2,5z 8z 83若 3z2 z 2 5z2 8z 8- z 223z2 z 2,z3,2g z2 可得：g z max g 212235z 8z 8, z 0,2_2_2_2_2_2_2_2x2y 3z22x2x 3z2z 2 max 3z2z 2,5z28z 8g 212例 8：已知函数 f x f 1 ex 1 f 0 x -x22(1)求f x的解析式及单调区间9(2)右不等式f x -x

11、 ax b恒成立，求 a 1 b的取大值 TOC o 1-5 h z 一 ,一、 x 1解：(1) f x f 1 e f 0 x,代入 x 1 可得：f 1 f 1 f 01 f 01,x 112f 1,f x f 1 e *一*,令乂 0 可得：f 0 f 1 e2ex 1 2f x e x x2f xex x 1,可知 f 00Q f x在R上单调递增x ,0时，f x 0 x 0, 时，f x 0f x在 ,0单调递减，在 0, 单调递增 TOC o 1-5 h z 1cle.(2)恒成立的不等式为：e x - x -x ax b即e x ax b 022设 g xex x ax bg

12、 x 0 minxx一g x e a1,令gx 0,即解不等式e a 1若a 1 0,可解得x ln a 1g x在 ，ln a 1 单调递减，在In a 1 , 单调递增g X min g ln a 1a 1 In a 1 aln a 1b a 1 a 1 In a 12a 1 ln a 122卜面求a 1 a 1 In a 1的最大值人2令t a 1 ,设h t1h t 11 Int2t tln t t 1tlnt t 02111nt2令h t 0,可解得0 t eh t在0,e单调递增，在 e,单调递减h t he - emax2ea 1 b2一 . 一一 e当a 1 0时，可得a 1

13、b 0 2当 a 1 0时，g xexa 1 x b且 x 时， a 1 x , g xg x为增函数，与g x 0恒成立矛盾,.e综上所述：a 1 b的最大值为一 2例9：已知函数f x,te2x 2t ex x2_2,x22t21,t R,x R,求 f x,t 的最小值思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量t存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将t视为自变量，x视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去t ,从而得到关于x的函数,然后求得最小值即可。解：f x,t 2t22 ex1 2x-e22xx A一 xe 12xxe 11 2x-e,e x12x12xt 0

14、f x,t e x xe 12222x 1 2 x设 gx -e-xxe 122xx x xxgxe xexe exe1设 h xex x,可知 h xex 1h x在 ,0单调递减，在 0,单调递增h x h 010ex x 0 恒成立令g x 0,即解不等式ex 1 0 x 0g x在 ,0单调递减，在 0, 单调递增g xf x,t即 f x,t一 ，3的最小值为32例10:已知函数f(1)若f x在 1,1上的最大值和最小值分别记为Ma,ma,求Ma ma、一 _2设b R,若f x b 4对x1,1恒成立，求3a b的取值范围解：(1) f x3x3x 3a, x ax3 3x 3a

15、, x a3x2 3,x a23x 3,x a当a 1时，可得x a3f x x 3x 3a f x在 1,1单调递增M a f 14 3a, m a f 14 3a当a1,1 时，fx3 3x 3a,xx 3x 3x 3a,xa,11,a3x23x23,x3,xa,1可得：f x1,a1,a单调递减,在 a,1单调递增max,f 14 3a,23a,m6a可知:1,1 时,33a3,1 时3a综上所述:1时,3x2(2)不妨设h3可得3a,m a8,a4,a1,13 x3 x3x3a单调递减3a3a3a3x3x4,h x max2,33a3ab,xb,x3x23x23,x3,x4恒成立可知:2对任意的xh24恒成立1,1恒成立当a 1时，由(1)可知h xmaxh 14 3ab,hx minh 14 3a b4 3a3a4 3a3aa,b无解13x max3ab,hXmin ha3a3a3a3a6a，即a33a3ab 6a 23a6a即a33