高三数学概念、方法、题型、易误点总结十一、概率

1、高三数学概念、方法、题型、易误点总结（十一）班级 姓名 十一、概率随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。理解这里m、的意义。如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：从中任取2件都是次品；从中任取5件恰有2件次品；从中有放回地任取3件至少有2件次品；从中依次取5件恰有2件次品。（答：；） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A

2、+B)P(A)+P(B)。如（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）_（答：0.51）； （3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到 ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）4、对立事件

3、：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P()。如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是_（答

4、：）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_;这名同学至少得300分的概率为_（答：0.228；0.564）；（3）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_（答：）；（4）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是_（答：）；（5）有甲、乙两口袋，甲袋中有

5、六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_（答：）；（6）平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。求p和q的值；试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：；3秒；）6、独立

6、事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。如（1）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为_（答：）提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件

7、中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件A=“”， B=“”；列式计算；作答。例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：取到的2只都是次品；取到的2只中正品、次品各一只；取到的2只中至少有一只正品。解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法 （1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为 （2）

8、由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为 （3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：恰有1人译出的密码的概率；至多1人译出的密码的概率；若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译

9、出密码”为事件F。 （1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。 （2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的 （3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得： 解得：n=16例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1rn）的概率。解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他

10、用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：9、掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是A、 B、 C、 D、10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.02711、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是A、0.4，1 B、（

11、0，0.4 C、（0，0.6 D、0.6，1）12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则A、P1P2 B、P1=P2 C、P1P2 D、P1=2P213、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为A、3 B、4 C、5 D、614、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36，则q的值为A、 B、 C、 D、9、C 10、C 11、A 12、B 13、B 14、C

12、18、有1个数字难题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则：两人都未解决的概率为_；问题得到解决的概率为_。19、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，其中1个是正确的，3个是错误的，某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答，那么这个学生卷面上正确答案不少于7个题的概率是_。18、（1）1/3 （2）2/3 19、0.3671875解答题23、某气象站天气预报的准确率为80%，求： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率（结果保留2位有效数字）。23、（1）0.41 （2）0.74

13、24、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：事件A：指定的4个房间各有1人；事件B：恰有4个房间中各有1人；事件C：指定的某个房间中有2人；事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人。24、（1） （2）（3） （4）25、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8，0.7，从两批种子中各取1粒，求： （1）2粒种子都能发芽的概率； （2）至少有1粒种子发芽的概率； （3）恰好有1粒种子发芽的概率。25、（1）0.56 （2）0.94 （3）0.3826、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0r，r1），且各个元件能否正常工作是相互独立的，试求图

14、中两种系统的可靠性。26、（1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠 例5. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？ 每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）； 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）解： 设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是

15、重复排列，共有个.再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有 个，所以 由于取出后不放回，所以总的基本事件数为个，事件M的基本事件数为，所以 32002年全国高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19) （本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)。() 求至少三人同时上网的概率；() 至少几人同时上网的概率小于0.3?解： () 至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即 () 至少4人同时上网的概率为 至少5人同时

16、上网的概率为 因此，至少5人同时上网的概率为小于0.3。42003年全国高考江苏卷(17) 天津文科卷(20) （本小题考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。）有三种产品，合格率分别为0.90, 0.95和0.95，各抽取一件进行检验。() 求恰有一件不合格的概率； () 求至少有两件不合格的概率。(精确到0.001)解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C。() P(A) = 0.90，P(B) = P(C) = 0.95，P( eq oac(A,) = 0.10，P( eq oac(B,) = P( eq oac(C,) = 0.05。因为事件A、B、

17、C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(A B eq oac(C,) + P(A eq oac(B,) C) + P( eq oac(A,) B C) = P(A) P(B) P( eq oac(C,) + P(A) P( eq oac(B,) P(C) + P( eq oac(A,) P(B) P(C) = 0.90 0.95 0.05 + 0.90 0.05 0.95 + 0.10 0.95 0.95 = 0.176 0.17575答：恰有一件不合格的概率为0.176。() 解法一：至少有两件不合格的概率为P(A eq oac(B,) eq oac(C,) + P( eq oac(A,)

18、B eq oac(C,) + P( eq oac(A,) eq oac(B,) C) + P( eq oac(A,) eq oac(B,) eq oac(C,) = 0.90 0.052 + 2 0.10 0.95 0.05 + 0.10 0.052 = 0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012。解法二：三件都合格的概率为P(A B C) = P(A) P(B) P(C) = 0.90 0.952 = 0.812 0.81225由 () 知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1 P(A B C) + 0.176 = 1 ( 0.812 + 0.176 ) =

19、 0.012。答：至少有两件不合格的概率为0.012，52002年全国高考上海文科卷(7) 上海理科卷(7)在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件。竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增到14名，但只取其中7 名裁判的评分作为有效分。若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 。(结果用数值表示)提示：所求概率为 62003年全国高考上海文科卷(9) 上海理科卷(9)某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 。(结果用分数表示)提示：属于同一个国家的概率为，所求概率为 或：所求概率为 例

20、1 今有标号为1,2,3,4,5的五封信，另有同样标号的五个信封；现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率 解 设恰有2封信配对为事件A，恰有3封信配对为事件B，恰有4封信（也即5封信配对）为事件C，则“至少有2封信配对”事件等于A+B+C，且A、B、C两两互斥 P(A)= ，P(B)= ，P(C)= ，所求概率为P(A)+P(B)+P(C)= 所以至少有两封信配对的概率是 点评 只有当事件彼此互斥时, 求事件和的概率才可以使用公式P(A+B)=P(A)+P(B) 例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率 解法一 任取四张牌，

21、设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌为同一花色为事件B3；只有两张牌为同一花色，另两张牌为不同花色为事件B4，可见，B1，B2，B3，B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4P(B1)=，P(B2)=，P(B3)=，P(B4)=，P(A)= P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)=0.8945解法二 由解法一知，为取出的四张牌的花色各不相同，P()=P(A)=1 P()=1=0.8945所以至少有两张牌花色相同的概率是0.8945 点评 解法二充分运用了正难则反的思想，使解题过程清楚简洁 只有当两个事

22、件为对立事件时, 才可以使用公式P(A)+ P()=1 例3 掷三颗骰子（各面分别标有数字1到6的正方体玩具），试求：（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；（2）恰好一颗骰子出1点或6点的概率 解 （1）用A、B、C分别表示事件“第1、2、3颗骰子出现1点或6点”，因为每颗骰子出现的点数互不影响，故A、B、C独立，且P(A)= P(B)= P(C)=，没有一颗骰子出现1点或6点就是事件，P()=P()P()P()=（2）“恰有一颗骰子出1点或6点”可分解为三个事件A，B，C之和，且这三个事件两两互斥，故所求概率为：P=P(A)+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=3()2=点评 事件间的互斥和相互独立是两个不同的概念, 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生, 两事件相互独立是指