山东省青岛市2020

1、A.B. 0,1C.0,1,2D.山东省青岛市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:姓名：班级：-一、单选题1.集合 A = 3,2,1,0,1,2，集合B = x |2x 1| 1B.Vx e R,sin x 1C.3x e R, sin x 1D.3x e R,sin x 13.若角0的终边经过点P则 tan 0 =()A.C.D.命题“Vx e R,sin x 1 ”的否定为(4.A.兀B.2C.兀D.5.已知 a = sin160 b = cos50c = tan110，则a，b，c的大小关系为()A.B. c b aC.D. acb6.1 x 一 1已知函数f=1切，若f

2、 (a) = 2A.B. 127.基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在a型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型:I(t) = er描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率T近似满足R0 = 1 + rT .有学者基于已有数据估计出R0 = 3-22,丁 = 10.据此，的型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的3倍需要的时间约为()(参考数据：ln3 * 1.10)A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天8.已知函数f (x)= |ln(1+ x)|, xj 1 (x + 2

3、)2, x 力，则上 ：B. 若 a b ab b 2a bC.命(10f) 5D. lgx 0是x 0,0,0 中兀)的部分图象如图所示，则下列正A. f (x) = 2sin 2x + B. f(2021兀)=1确的是()一2兀、C.函数J =1 f (x)l为偶函数D. Vx e R, f兀尸兀)V ?+x J+f6xV6)=0已知定义在R上的函数f (x)同时满足下列三个条件：f (x)是奇函数；Vx e R,f x +二=-f (x)；当 x e 0,-则下列结论正确的是()A. f (x)的最小正周期T =kB.f (x)在-旨上单调递增C. f (x)的图象关于直线x =-：对称

4、D.x =旺(k e Z)时，f (x) = 02三、填空题已知弧长为兀的弧所对的圆心角为60。，则这条弧所在圆的半径为 TOC o 1-5 h z 、一一一 (、3已知a为第一象限角，cos a7 2sin(兀+a)=-，则cos以=.V2)4 计算：lgV5 + 2log23 + log216 +-g2- + ln1 =.四、双空题16.某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用量(千克)价格(元/千克)第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20的部分8第三阶梯超过20的部分10则一户居民使用该物资的年花费”元)关于年用量x(千克)的函数关系式为若某户居民使用该物资的年花费

5、为100(元)，则该户居民的年用量为 千克.五、解答题从“VxeR, f (2 + x) = f (2-x)；方程 f (x) = 0有两个实数根 x,x , x + x = 4；1212Vx e R, f (x) f (2) ”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答已知函数 f (x)为二次函数，f (-1) = 一8 , f (0) = 一3 , .求函数f (x)的解析式；若不等式f (x) -kx 0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已

6、经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式，其中P : f (t) = at + b(a, b e R)是 1按直线上升的地价，P : g(t) = clog2(d +1)(c,d e R)是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数，2006年对应的t值为0.求f (t)，g (t)的解析式；2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据：log210 - 3.32)一 一，一、,，( 兀、一( 兀 一、,，已知函数f (x) = sin(

7、2 x + 9) 0中 ；，函数y = f x- 为奇函数.V 2 J12 J求函数f (x)的单调递增区间；将函数y = f (x)的图象向右平移匹个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩6一兀小到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y = g(x)的图象，证明：当xe 0,丁时，242g2(x) - g(x) -1 0 .20.已知函数 f (x) = ln(2 - 2 x)+ ln(2 - 2-x)求函数f的定义域；判断函数f的奇偶性，并说明理由；若f 3) 0,0, 中 . k22)求A,中,K的值；求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？某时刻t0(单位：分钟)时，盛水筒W在过

8、O点的竖直直线的左侧，到水面的距离 为5米，再经过匹分钟后，盛水筒W是否在水中？6若函数f和g(x)的图象均连续不断，f和g均在任意的区间上不恒为0，f 的定义域为11，g的定义域为/2，存在非空区间A。(/广/J，满足：Vx e A，均有 f (x)g(x) 0，则称区间A为f (x)和g(x) 的“ Q区间”(1)写出f (x) = sinx和g(x) = cosx在0,兀上的一个“Q区间”(无需证明)；(2)若 f (x) = x3， -1,1是 f (x)和 g(x) 的“Q 区间”，证明：g(x)不是偶函数;兀 In x ,(3)若f=一厂+ x + sin2x，且f (x)在区间(

9、0,1上单调递增，(0, +3)是f (x)和g(x) ex - e的“ Q区间”，证明：g (x)在区间(0, +3)上存在零点.参考答案B【分析】首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得;【详解】解：因)B = x2x-l2,所以8 =3xl x-2又 A = -3,-2-1,0,1,2)故选：BA【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，贝I命题Vx e R,sin xV故选：A.C【分析】 根据任意角的三角函数的定义计算可得;【详解】解：角。的终边经过点尸-,所以 tan=j = -12故选：CC【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简可得fG)=V

10、2sm2x-L即可求出周期.4 J【详解】/(x) = sin4 x + 2sin xcosx 一 cos4 xGin2 x-cos2 x)Cin2 x + cos2 x)+ 2sin xcosx TOC o 1-5 h z .(兀)sin 2x-.V4 7/(x)的最小正周期为号=兀.故选：C.C【分析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断b 】 0 ,再由c sin 20 0， b a 0，.c = tan110o 0，/. c a b .故选：C.D【分析】先设 g (x) = IgT-，求得 g (a) + g (- a) = 0，再计算 f (a) + f (-a) = 2 -g

11、(a) + g (-a)，结合 1 + xf (a) = 1，即求得 f (- a).J【详解】1 x函数f (x) = 1 - lg-中，定义域为(-1,1)，+ x设 g (x) = lg-x，贝u g (-x) = Ig，故 g (x) + g (-x) = Ig + lg1x = lg1 = 0，+ x1 - x1 - x 1 + x故 g (a) + g (- a) = 0.由 f (x) = 1 -lg1- = 1 - g(x)知，f (a) = 1 - g(a), f (-a) = 1 - g(-a)，故1 + xf (a) + f (-a) = 2 -g(a) + g(-a)

12、= 2 - 0 = 2，一 11 3而 f (a)=-，故 f (-a) = 2-=-. J乙 乙故选：D.【点睛】方法点睛：函数f (x) = g(x) + m，m是常数，g(x)是奇函数，此类函数已知f (a)的值，求f (-a)的值， 通常利用奇函数定义整理利用g3) + g(-x) = 0计算f 3) + f (-%)的值，再计算f (-a)即可.D【分析】根据已知数据先求出r = 0.222，可得I(0) *0 =1,则由com = 3解出即可.【详解】R0 = 1 + rT， R0 = 3.22, T = 10，即 3.22 = 1 + 10r，解得 r = 0.222，I (0)

13、 = e0 = 1，则 C0.222t = 3，解得 0.222t = ln3 牝 1.1，贝t = -1 x 5，0.222故累计感染病例数增加至I(0)的3倍需要的时间约为5天.故选：D.A【分析】在一个坐标系内分别作出七=f (%)和七=m的图像，观察二者有4个交点时m的范围.【详解】在一个坐标系内分别作出f (%) = (；+；)!：-11 和七=m的图像如上图示:要使方程f (%) - m = 0有4个不相同的解，只需约=f (%)和七=m的图像有4个交点，所以0vm们 则7 = !，其中分子b-a 0，分母ab不确定符号，故，:大 a b aba b小不确定，A错误；选项 B 中，

14、若 a b 0，得 a2 ab ;由 ab - b2 = b(a - b ) 0，得ab b2；故a2 ab b2，B 正确；选项C中，由根式有意义可知，x(10 - x) 0，即0 x 10，当尤=0或10时，x(10f) = 0， 当0 x 10时，利用基本不等式得。x(10-x) X-x) = 5成立，当且仅当x = 10-x即x = 5时等号成立，故tx(10- x) 5成立，C正确；选项D中，若lgx 0，则lgx 0 = lg1，则0 x 1，可推出x 1；反过来，x 1推不出0 x 1， 故lgx可能没意义，推不出lgx 0，故lgx 0是x 1的充分不必要条件，D正确.故选：B

15、CD.【点睛】方法点睛：不等式比较大小的方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用基本不等式进行比较；(4)构造函数，利用函数单调 性进行比较.AC【分析】利用幂函数的性质判断A；利用正切函数的单调性判断B；利用指数函数的性质判断C；利 用单调性的定义判断D.【详解】由幂函数的性质可知f (x) = x：定义域为(-8, +8)，且在(-8, +8)上递增，f (f)二-x :二-x：=- f (x)，所以f (x) X 3是奇函数又是增函数，A符合题意;f (x) tan x在区间kK -K,kK+萼，k e Z上递增，但不能说f (x) = tan x是增函数，例如 22 Jk7kk7k

16、kN 人口工二 二，而tan二 tan 丁，B不符合题意；636y 3x -与 y = 3-x =x在(-8, +8)上都递增，所以f (x) = 3 x - 3-x在(-8, +8)上递增，又f (x)定义域为(-8, +8)，f (-x) = 3-x - 3x =-(3x - 3-x )=- f (x)，故 f (x) = 3x - 3-x 为奇函数，即f (x) = 3x 3-x是奇函数又是增函数，C符合题意;因为 f (x) x-cosx，所以 f (0) 0, f (兀)=-兀，0 f (兀)，故 f (x) x-cosx不是增函数，D不合题意.故选：AC.【点睛】 方法点睛：判断函

17、数的奇偶性，其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域;(2)判断f G)与f (-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f G)+ f(-x)= 0 (奇函数)或f (x)-f (-x)= 0 (偶函数)是否成立.AD【分析】 先利用图象得到A = 2，T =K，求得3 = 2，再结合x-三时取得最大值求得平，得到解析-L式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可【详解】由图象可知，A = 2T 5兀 兀兀2k+ ， 即 T = k = , 3 2，12 12 23由 x =-方时，

18、f (x) = 2sin 2 x12+ 中=2，得 2 x 一一 +中=+ 2k丸，k e Z2兀2兀即中=5 + 2k兀,k g Z，而0中兀，故中=3-，/2兀、f (2021兀)=2sin 2 x 2021k +一 =2sin k3 J故B错误;A正确;由 y = 1 f (x) = 2/sink知，.r、sin -2 x +k一 .(一2兀、=2 sin 2x +k 3 J不是恒成立，故函数y =if (x)i不是偶函数，故C错误;,兀一由x = 时，6称中心=2sin 2 X=2sin k = 0，故，0 是 f (x) = 2sin 2 x + 的对故 Vx g R, fk6 J故

19、D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：三角函数模型f (x) = Asin(g+中)+ b求解析式时，先通过图象看最值求A，b，再利用特殊 点(对称点、对称轴等)得到周期，求，最后利用五点特殊点求初相中即可.ABD【分析】先根据奇函数性质得到f(-x)=-f (x)，f (0) = 0，再利用周期性定义判断A的正误，结合题意，利用奇函数的对称性研究函数f (x)的单调性、对称轴和对称中心即可.【详解】定义在R上的函数f (x)是奇函数，则f (-x)=-f (x)，f (0) = 0.选项A中，Vx g R,fx+Kk 2 J一 .K _.V=-f (x)，将 x + 代换 x，J则 f x

20、+ + =-f x + r k kA即f (x + k)= f (x)，故f (x)的最小正周期T =K，正确;选项B中，结合f (0) = 0矢口，当x g 0,K 时，f (x) = 2x-1，易见f (x)在0,4上单调递增，K又由函数f (x)是奇函数，图象关于原点中心对称可知，f (x)在-，0 I上也是单调递增，即f (x)在-4,4上单调递增，b正确;选项C中，_ r kAVxgR,f x + =-f(x) = f(-x) k 2 JK .则将x-4代入得f x + - = fX =-是函数的对称轴，又f(X)在-：,:上单调递增，7 =兀，故函数的对称轴为44 4X = : +

21、悴,k e Z，故x = -不是对称轴，故C错误；422兀 k兀一选项D中，f (X)是奇函数，对称、轴为X = 了 +顶,k e Z，f (0) = 0=f (0) = f=0W k兀 A 对称中心为r,0V 2 Jk e Z，即当 x = (k e Z)时，f (x) = 02故D正确.故选：ABD.【点睛】本题的解题关键在于熟练掌握奇函数的性质，才能突破函数f(x)的单调性和对称性.13. 3【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果.【详解】因为60。= ；，由弧长公式l =a r知，-3这条弧所在圆的半径=a = = 3，3故答案为：3.14.-运4【分析】1先利用诱导公式化简

22、求得sin a= *，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求4余弦即可.【详解】依题意cos(A一、3_(Aa -一2sin( +a)= 一 可得，cosT-aV 2 J47V 2 J33+ 2sin a =天，即 sin a + 2sin a =日，1 解得 sin a = 4，-、，一一一八.-际又a 为弟一象限角，sin2a + cos2a = 1，则cosa 0，cosa = -y1 -sin2a =-4故答案为：亨15.【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【详解】lg 75 + 2旋23 + log Il； + 22+ ln111=lg52 + 3 + log 2-4

23、+ 2】g2 + 01=2 (lg5 + lg2)+ 3 - 4111=2lg10 -1 = 2 -1 =-故答案为：-1.6 x, x e (0,1016. J = 8x-20,x e (10,2010 x 一 60, x e (20, +s)15【分析】分段讨论根据阶梯价格制度即可求出，将y = 100代入可求该户居民的年用量.【详解】由表可得，当0 x 10时，y = 6x ,当 10 x 20 时，y = 6 x10 + 8 x10 +10 (x - 20)= 10 x - 60，6x8 x 20,10 x 一 60,x e (0,10 x e (10,20， x e (20, +8)

24、若某户居民使用该物资的年花费为100 （元），可得该户居民的年用量在（10,20】内，则8x-20 = 100，解得x = 15则该户居民的年用量为15千克.故答案为：y = 6x8 x 一 20,10 x 一 60,x e (0,10 x e (10,20 ； 15.x e (20, +8)17.条件选择见解析；(1)f =72 + 4X-3 ；(2)4-2扣3,4 + 2*.【分析】b . 设 f (x) = ax2 + bx + c(a。0)，右选择，利用 f (0) = -3 ,f (-1) = -8 ,= 2求出2aa,b,c的值即可；若选择，利用f (0) = -3，f (-1)

25、= -8，结合韦达定理求出a,b,c的值即 可；若选择，利用f (0) = -3，f (-1) = -8，结合对称轴为x = 2求出a,b,c的值即可；f (x) -kx 0 对一切实数x 恒成立，利用 = (k - 4)2 -12 0 可得答案.【详解】(1)若选择：设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3，所以c = -3因为 f (-1) = -8，所以a -b- 3 = -8 (i)因为Vx g R, f (2 + x) = f (2 - x)，所以f (x)图象的对称轴为x = 2所以-b = 2 (ii)2a由(ii)解得a = -1，b

26、= 4，所以 f (x) = -x2 + 4x-3若选择：设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3，所以c = -3因为 f (-1) = -8，所以a -b- 3 = -8 (i)因为方程f (x) = 0有两个实数根x, x满足x + x = 41 212所以由韦达定理得：x + x =-b = 4 (ii)12 a由(ii)解得a = -1， b = 4，所以f(x) = -x2 + 4x-3若选择：设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3，所以c = -3因为 f (-1) = -8，所以a -b- 3

27、 = -8 (i)因为Vx e R, f f (2)，所以f (x)= f (2)，f(x)图象的对称轴为x = 2max所以一b = 2(ii)2a由(ii)解得a = 1，b = 4，所以 f(x) = -x2 + 4x 3(2)因为三种不同的选择都能得到函数解析式f (x) = x2 + 4x 3，所以f (x) kx 0，即x2 + (4 k)x 3 0对一切实数x恒成立，等价于x2 + (k 4)x + 3 2 0对一切实数x恒成立，则y = x2 + (k 4)x + 3的图象恒在x轴上方，或在x轴上，所以x 2 + (k 4)x + 3 = 0无实根或有两个相等的根，所以 = (

28、k 4)2 12 10%，不符合要求;若按照模型 P： g (t) = 30log2(4 +1)，到 2022 年时，t = 16，g (16) = 30log2 20 = 30(log210+1)= 30 x(3.32 +1) 129.6，对数增长的增长率为%爽=8% 10%，符合要求;19-(1)k-3,k+ (k ez);(2)证明见解析.综上分析，应该选择模型P2g (x)=-2,1，进而可得结论.( 。14 x 一 ? Jc _，由x e，求出()L)fc)(1)根据fxI 12)=sin2x+中一；I6)为奇函数可得中-，则f (x) = sin6:2 6 J【分析】，再由2kK

29、2x + 2k冗 + , k e Z 可得答案;62(2)根据三角函数图象的变换规律可得g (x) = sin(1)由题意知：y = f(J(c JxI 12)=sin:2 f ? J【详解】为奇函数一一. 兀-一一 兀一 、所以中=k (k e Z)，中=k冗 h (k e Z) TOC o 1-5 h z 66因为o中，所以k=0，中=n26(一、所以f(x) =sin 2x + zI 6)由 2k 2x + 2k +, k e Z，262解得：k兀一生 x 0 且 g (x) -1 0，所以 2g2(x) - g(X) -1 = 2g(X) + 1g(X) -1 0【点睛】方法点睛：函数

30、y = Asin(g +中)(A0,30)的单调区间的求法：，把S +甲看作是一个整体，-3-由一+ 2k- x + 中 + 2k- kk e Z)求得函数的减区间；一一+ 2k- wx + 中 0.【分析】根据对数的真数大于零可得，2-2x 0且2 - 2-x 0，解不等式可得答案；证明f (-x) = f (x)，根据奇偶性的定义可得答案；利用对数的运算性质化简f ( x) = ln 5-2侦+ 2-xj，然后得到f ( x) 0.【详解】由题意知：2-2x 0 且 2-2-x0解得：T X 22x = 2 (当且仅当x = 0时等号成立) 2x2 x所以5-2(2x + 2-x) 1，f

31、(x) = ln5-2因为f （x） 0.【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，f （-x）= f （x）（正为偶函数，负为奇函数）；（2）和差法，f （-x） f （x）= 0 （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商 法，f = 1（ 1为偶函数，-1为奇函数）.兀兀 .21.A=只=2& = 3K =2 ； （2） I分钟；再经过6分钟后盛水同不在水中.【分析】 （1）先结合题设条件得到尸=兀，A = 4K = 2，求得w = 2，再利用初始值计算初相中即可;（2）根据盛水筒达到最高点时d = 6，代入计算t值，再根据t0,得到最少时间即可；.一，一 兀、 3. 一. / 兀、（3）先计算气时sin 2t0-云=根据题意，利用同角三角函数的平方关系求cos 2t00 V 0 6 7 4V 0 6 7再由-分钟后sin（t +中）=sin 6f -)-fc-)-2t + =sin2t+V 0 6 76_V 0 6 73，进而计算d值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T =-，即2-=-，所以 = 2，由题意半径为4米，同车的轴心。距水面的高度为2米，可得：A = 4K = 2， 当 t = 0 时，d = 0，代入