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文档简介

1、A.B. 0,1C.0,1,2D.山东省青岛市2020-2021学年高一上学期期末数学试题学校:姓名:班级:-一、单选题1.集合 A = 3,2,1,0,1,2,集合B = x |2x 1| 1B.Vx e R,sin x 1C.3x e R, sin x 1D.3x e R,sin x 13.若角0的终边经过点P则 tan 0 =()A.C.D.命题“Vx e R,sin x 1 ”的否定为(4.A.兀B.2C.兀D.5.已知 a = sin160 b = cos50c = tan110,则a,b,c的大小关系为()A.B. c b aC.D. acb6.1 x 一 1已知函数f=1切,若f

2、 (a) = 2A.B. 127.基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在a型病毒疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t) = er描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率T近似满足R0 = 1 + rT .有学者基于已有数据估计出R0 = 3-22,丁 = 10.据此,的型病毒疫情初始阶段,累计感染病例数增加至I(0)的3倍需要的时间约为()(参考数据:ln3 * 1.10)A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天8.已知函数f (x)= |ln(1+ x)|, xj 1 (x + 2

3、)2, x 力,则上 :B. 若 a b ab b 2a bC.命(10f) 5D. lgx 0是x 0,0,0 中兀)的部分图象如图所示,则下列正A. f (x) = 2sin 2x + B. f(2021兀)=1确的是()一2兀、C.函数J =1 f (x)l为偶函数D. Vx e R, f兀尸兀)V ?+x J+f6xV6)=0已知定义在R上的函数f (x)同时满足下列三个条件:f (x)是奇函数;Vx e R,f x +二=-f (x);当 x e 0,-则下列结论正确的是()A. f (x)的最小正周期T =kB.f (x)在-旨上单调递增C. f (x)的图象关于直线x =-:对称

4、D.x =旺(k e Z)时,f (x) = 02三、填空题已知弧长为兀的弧所对的圆心角为60。,则这条弧所在圆的半径为 TOC o 1-5 h z 、一一一 (、3已知a为第一象限角,cos a7 2sin(兀+a)=-,则cos以=.V2)4 计算:lgV5 + 2log23 + log216 +-g2- + ln1 =.四、双空题16.某种物资实行阶梯价格制度,具体见下表:阶梯年用量(千克)价格(元/千克)第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20的部分8第三阶梯超过20的部分10则一户居民使用该物资的年花费”元)关于年用量x(千克)的函数关系式为若某户居民使用该物资的年花费

5、为100(元),则该户居民的年用量为 千克.五、解答题从“VxeR, f (2 + x) = f (2-x);方程 f (x) = 0有两个实数根 x,x , x + x = 4;1212Vx e R, f (x) f (2) ”三个条件中任意选择一个,补充到下面横线处,并解答已知函数 f (x)为二次函数,f (-1) = 一8 , f (0) = 一3 , .求函数f (x)的解析式;若不等式f (x) -kx 0对一切实数x恒成立,求实数k的取值范围.注:如果选择多个条件分别进行解答,按第一个解答进行计分2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元,由于土地价格持续上涨,到2018年已

6、经上涨到每亩120万元.现给出两种地价增长方式,其中P : f (t) = at + b(a, b e R)是 1按直线上升的地价,P : g(t) = clog2(d +1)(c,d e R)是按对数增长的地价,t是2006年以来经过的年数,2006年对应的t值为0.求f (t),g (t)的解析式;2018年开始,国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策,为此,该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在的10%以内,请分析比较以上两种增长方式,确定出最合适的一种模型.(参考数据:log210 - 3.32)一 一,一、,,( 兀、一( 兀 一、,,已知函数f (x) = sin(

7、2 x + 9) 0中 ;,函数y = f x- 为奇函数.V 2 J12 J求函数f (x)的单调递增区间;将函数y = f (x)的图象向右平移匹个单位,然后将所得的图象上各点的横坐标缩6一兀小到原来的1倍(纵坐标不变),得到函数y = g(x)的图象,证明:当xe 0,丁时,242g2(x) - g(x) -1 0 .20.已知函数 f (x) = ln(2 - 2 x)+ ln(2 - 2-x)求函数f的定义域;判断函数f的奇偶性,并说明理由;若f 3) 0,0, 中 . k22)求A,中,K的值;求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点?某时刻t0(单位:分钟)时,盛水筒W在过

8、O点的竖直直线的左侧,到水面的距离 为5米,再经过匹分钟后,盛水筒W是否在水中?6若函数f和g(x)的图象均连续不断,f和g均在任意的区间上不恒为0,f 的定义域为11,g的定义域为/2,存在非空区间A。(/广/J,满足:Vx e A,均有 f (x)g(x) 0,则称区间A为f (x)和g(x) 的“ Q区间”(1)写出f (x) = sinx和g(x) = cosx在0,兀上的一个“Q区间”(无需证明);(2)若 f (x) = x3, -1,1是 f (x)和 g(x) 的“Q 区间”,证明:g(x)不是偶函数;兀 In x ,(3)若f=一厂+ x + sin2x,且f (x)在区间(

9、0,1上单调递增,(0, +3)是f (x)和g(x) ex - e的“ Q区间”,证明:g (x)在区间(0, +3)上存在零点.参考答案B【分析】首先求出集合B,再根据交集的定义计算可得;【详解】解:因)B = x2x-l2,所以8 =3xl x-2又 A = -3,-2-1,0,1,2)故选:BA【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得.【详解】根据全称命题的否定为特称命题,贝I命题Vx e R,sin xV故选:A.C【分析】 根据任意角的三角函数的定义计算可得;【详解】解:角。的终边经过点尸-,所以 tan=j = -12故选:CC【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简可得fG)=V

10、2sm2x-L即可求出周期.4 J【详解】/(x) = sin4 x + 2sin xcosx 一 cos4 xGin2 x-cos2 x)Cin2 x + cos2 x)+ 2sin xcosx TOC o 1-5 h z .(兀)sin 2x-.V4 7/(x)的最小正周期为号=兀.故选:C.C【分析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断b 】 0 ,再由c sin 20 0, b a 0,.c = tan110o 0,/. c a b .故选:C.D【分析】先设 g (x) = IgT-,求得 g (a) + g (- a) = 0,再计算 f (a) + f (-a) = 2 -g

11、(a) + g (-a),结合 1 + xf (a) = 1,即求得 f (- a).J【详解】1 x函数f (x) = 1 - lg-中,定义域为(-1,1),+ x设 g (x) = lg-x,贝u g (-x) = Ig,故 g (x) + g (-x) = Ig + lg1x = lg1 = 0,+ x1 - x1 - x 1 + x故 g (a) + g (- a) = 0.由 f (x) = 1 -lg1- = 1 - g(x)知,f (a) = 1 - g(a), f (-a) = 1 - g(-a),故1 + xf (a) + f (-a) = 2 -g(a) + g(-a)

12、= 2 - 0 = 2,一 11 3而 f (a)=-,故 f (-a) = 2-=-. J乙 乙故选:D.【点睛】方法点睛:函数f (x) = g(x) + m,m是常数,g(x)是奇函数,此类函数已知f (a)的值,求f (-a)的值, 通常利用奇函数定义整理利用g3) + g(-x) = 0计算f 3) + f (-%)的值,再计算f (-a)即可.D【分析】根据已知数据先求出r = 0.222,可得I(0) *0 =1,则由com = 3解出即可.【详解】R0 = 1 + rT, R0 = 3.22, T = 10,即 3.22 = 1 + 10r,解得 r = 0.222,I (0)

13、 = e0 = 1,则 C0.222t = 3,解得 0.222t = ln3 牝 1.1,贝t = -1 x 5,0.222故累计感染病例数增加至I(0)的3倍需要的时间约为5天.故选:D.A【分析】在一个坐标系内分别作出七=f (%)和七=m的图像,观察二者有4个交点时m的范围.【详解】在一个坐标系内分别作出f (%) = (;+;)!:-11 和七=m的图像如上图示:要使方程f (%) - m = 0有4个不相同的解,只需约=f (%)和七=m的图像有4个交点,所以0vm们 则7 = !,其中分子b-a 0,分母ab不确定符号,故,:大 a b aba b小不确定,A错误;选项 B 中,

14、若 a b 0,得 a2 ab ;由 ab - b2 = b(a - b ) 0,得ab b2;故a2 ab b2,B 正确;选项C中,由根式有意义可知,x(10 - x) 0,即0 x 10,当尤=0或10时,x(10f) = 0, 当0 x 10时,利用基本不等式得。x(10-x) X-x) = 5成立,当且仅当x = 10-x即x = 5时等号成立,故tx(10- x) 5成立,C正确;选项D中,若lgx 0,则lgx 0 = lg1,则0 x 1,可推出x 1;反过来,x 1推不出0 x 1, 故lgx可能没意义,推不出lgx 0,故lgx 0是x 1的充分不必要条件,D正确.故选:B

15、CD.【点睛】方法点睛:不等式比较大小的方法:(1)作差法;(2)作商法;(3)利用基本不等式进行比较;(4)构造函数,利用函数单调 性进行比较.AC【分析】利用幂函数的性质判断A;利用正切函数的单调性判断B;利用指数函数的性质判断C;利 用单调性的定义判断D.【详解】由幂函数的性质可知f (x) = x:定义域为(-8, +8),且在(-8, +8)上递增,f (f)二-x :二-x:=- f (x),所以f (x) X 3是奇函数又是增函数,A符合题意;f (x) tan x在区间kK -K,kK+萼,k e Z上递增,但不能说f (x) = tan x是增函数,例如 22 Jk7kk7k

16、kN 人口工二 二,而tan二 tan 丁,B不符合题意;636y 3x -与 y = 3-x =x在(-8, +8)上都递增,所以f (x) = 3 x - 3-x在(-8, +8)上递增,又f (x)定义域为(-8, +8),f (-x) = 3-x - 3x =-(3x - 3-x )=- f (x),故 f (x) = 3x - 3-x 为奇函数,即f (x) = 3x 3-x是奇函数又是增函数,C符合题意;因为 f (x) x-cosx,所以 f (0) 0, f (兀)=-兀,0 f (兀),故 f (x) x-cosx不是增函数,D不合题意.故选:AC.【点睛】 方法点睛:判断函

17、数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f G)与f (-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f G)+ f(-x)= 0 (奇函数)或f (x)-f (-x)= 0 (偶函数)是否成立.AD【分析】 先利用图象得到A = 2,T =K,求得3 = 2,再结合x-三时取得最大值求得平,得到解析-L式,再利用解析式,结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可【详解】由图象可知,A = 2T 5兀 兀兀2k+ , 即 T = k = , 3 2,12 12 23由 x =-方时,

18、f (x) = 2sin 2 x12+ 中=2,得 2 x 一一 +中=+ 2k丸,k e Z2兀2兀即中=5 + 2k兀,k g Z,而0中兀,故中=3-,/2兀、f (2021兀)=2sin 2 x 2021k +一 =2sin k3 J故B错误;A正确;由 y = 1 f (x) = 2/sink知,.r、sin -2 x +k一 .(一2兀、=2 sin 2x +k 3 J不是恒成立,故函数y =if (x)i不是偶函数,故C错误;,兀一由x = 时,6称中心=2sin 2 X=2sin k = 0,故,0 是 f (x) = 2sin 2 x + 的对故 Vx g R, fk6 J故

19、D正确.故选:AD.【点睛】方法点睛:三角函数模型f (x) = Asin(g+中)+ b求解析式时,先通过图象看最值求A,b,再利用特殊 点(对称点、对称轴等)得到周期,求,最后利用五点特殊点求初相中即可.ABD【分析】先根据奇函数性质得到f(-x)=-f (x),f (0) = 0,再利用周期性定义判断A的正误,结合题意,利用奇函数的对称性研究函数f (x)的单调性、对称轴和对称中心即可.【详解】定义在R上的函数f (x)是奇函数,则f (-x)=-f (x),f (0) = 0.选项A中,Vx g R,fx+Kk 2 J一 .K _.V=-f (x),将 x + 代换 x,J则 f x

20、+ + =-f x + r k kA即f (x + k)= f (x),故f (x)的最小正周期T =K,正确;选项B中,结合f (0) = 0矢口,当x g 0,K 时,f (x) = 2x-1,易见f (x)在0,4上单调递增,K又由函数f (x)是奇函数,图象关于原点中心对称可知,f (x)在-,0 I上也是单调递增,即f (x)在-4,4上单调递增,b正确;选项C中,_ r kAVxgR,f x + =-f(x) = f(-x) k 2 JK .则将x-4代入得f x + - = fX =-是函数的对称轴,又f(X)在-:,:上单调递增,7 =兀,故函数的对称轴为44 4X = : +

21、悴,k e Z,故x = -不是对称轴,故C错误;422兀 k兀一选项D中,f (X)是奇函数,对称、轴为X = 了 +顶,k e Z,f (0) = 0=f (0) = f=0W k兀 A 对称中心为r,0V 2 Jk e Z,即当 x = (k e Z)时,f (x) = 02故D正确.故选:ABD.【点睛】本题的解题关键在于熟练掌握奇函数的性质,才能突破函数f(x)的单调性和对称性.13. 3【分析】根据弧长公式,把相应的值代入即可求出结果.【详解】因为60。= ;,由弧长公式l =a r知,-3这条弧所在圆的半径=a = = 3,3故答案为:3.14.-运4【分析】1先利用诱导公式化简

22、求得sin a= *,再结合角所在的象限,利用同角三角函数的平方关系求4余弦即可.【详解】依题意cos(A一、3_(Aa -一2sin( +a)= 一 可得,cosT-aV 2 J47V 2 J33+ 2sin a =天,即 sin a + 2sin a =日,1 解得 sin a = 4,-、,一一一八.-际又a 为弟一象限角,sin2a + cos2a = 1,则cosa 0,cosa = -y1 -sin2a =-4故答案为:亨15.【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【详解】lg 75 + 2旋23 + log Il; + 22+ ln111=lg52 + 3 + log 2-4

23、+ 2】g2 + 01=2 (lg5 + lg2)+ 3 - 4111=2lg10 -1 = 2 -1 =-故答案为:-1.6 x, x e (0,1016. J = 8x-20,x e (10,2010 x 一 60, x e (20, +s)15【分析】分段讨论根据阶梯价格制度即可求出,将y = 100代入可求该户居民的年用量.【详解】由表可得,当0 x 10时,y = 6x ,当 10 x 20 时,y = 6 x10 + 8 x10 +10 (x - 20)= 10 x - 60,6x8 x 20,10 x 一 60,x e (0,10 x e (10,20, x e (20, +8)

24、若某户居民使用该物资的年花费为100 (元),可得该户居民的年用量在(10,20】内,则8x-20 = 100,解得x = 15则该户居民的年用量为15千克.故答案为:y = 6x8 x 一 20,10 x 一 60,x e (0,10 x e (10,20 ; 15.x e (20, +8)17.条件选择见解析;(1)f =72 + 4X-3 ;(2)4-2扣3,4 + 2*.【分析】b . 设 f (x) = ax2 + bx + c(a。0),右选择,利用 f (0) = -3 ,f (-1) = -8 ,= 2求出2aa,b,c的值即可;若选择,利用f (0) = -3,f (-1)

25、= -8,结合韦达定理求出a,b,c的值即 可;若选择,利用f (0) = -3,f (-1) = -8,结合对称轴为x = 2求出a,b,c的值即可;f (x) -kx 0 对一切实数x 恒成立,利用 = (k - 4)2 -12 0 可得答案.【详解】(1)若选择:设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3,所以c = -3因为 f (-1) = -8,所以a -b- 3 = -8 (i)因为Vx g R, f (2 + x) = f (2 - x),所以f (x)图象的对称轴为x = 2所以-b = 2 (ii)2a由(ii)解得a = -1,b

26、= 4,所以 f (x) = -x2 + 4x-3若选择:设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3,所以c = -3因为 f (-1) = -8,所以a -b- 3 = -8 (i)因为方程f (x) = 0有两个实数根x, x满足x + x = 41 212所以由韦达定理得:x + x =-b = 4 (ii)12 a由(ii)解得a = -1, b = 4,所以f(x) = -x2 + 4x-3若选择:设 f (x) = ax2 + bx + c(a 丰 0)因为f (0) = -3,所以c = -3因为 f (-1) = -8,所以a -b- 3

27、 = -8 (i)因为Vx e R, f f (2),所以f (x)= f (2),f(x)图象的对称轴为x = 2max所以一b = 2(ii)2a由(ii)解得a = 1,b = 4,所以 f(x) = -x2 + 4x 3(2)因为三种不同的选择都能得到函数解析式f (x) = x2 + 4x 3,所以f (x) kx 0,即x2 + (4 k)x 3 0对一切实数x恒成立,等价于x2 + (k 4)x + 3 2 0对一切实数x恒成立,则y = x2 + (k 4)x + 3的图象恒在x轴上方,或在x轴上,所以x 2 + (k 4)x + 3 = 0无实根或有两个相等的根,所以 = (

28、k 4)2 12 10%,不符合要求;若按照模型 P: g (t) = 30log2(4 +1),到 2022 年时,t = 16,g (16) = 30log2 20 = 30(log210+1)= 30 x(3.32 +1) 129.6,对数增长的增长率为%爽=8% 10%,符合要求;19-(1)k-3,k+ (k ez);(2)证明见解析.综上分析,应该选择模型P2g (x)=-2,1,进而可得结论.( 。14 x 一 ? Jc _,由x e,求出()L)fc)(1)根据fxI 12)=sin2x+中一;I6)为奇函数可得中-,则f (x) = sin6:2 6 J【分析】,再由2kK

29、2x + 2k冗 + , k e Z 可得答案;62(2)根据三角函数图象的变换规律可得g (x) = sin(1)由题意知:y = f(J(c JxI 12)=sin:2 f ? J【详解】为奇函数一一. 兀-一一 兀一 、所以中=k (k e Z),中=k冗 h (k e Z) TOC o 1-5 h z 66因为o中,所以k=0,中=n26(一、所以f(x) =sin 2x + zI 6)由 2k 2x + 2k +, k e Z,262解得:k兀一生 x 0 且 g (x) -1 0,所以 2g2(x) - g(X) -1 = 2g(X) + 1g(X) -1 0【点睛】方法点睛:函数

30、y = Asin(g +中)(A0,30)的单调区间的求法:,把S +甲看作是一个整体,-3-由一+ 2k- x + 中 + 2k- kk e Z)求得函数的减区间;一一+ 2k- wx + 中 0.【分析】根据对数的真数大于零可得,2-2x 0且2 - 2-x 0,解不等式可得答案;证明f (-x) = f (x),根据奇偶性的定义可得答案;利用对数的运算性质化简f ( x) = ln 5-2侦+ 2-xj,然后得到f ( x) 0.【详解】由题意知:2-2x 0 且 2-2-x0解得:T X 22x = 2 (当且仅当x = 0时等号成立) 2x2 x所以5-2(2x + 2-x) 1,f

31、(x) = ln5-2因为f (x) 0.【点睛】方法点睛:判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1)直接法,f (-x)= f (x)(正为偶函数,负为奇函数);(2)和差法,f (-x) f (x)= 0 (和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商 法,f = 1( 1为偶函数,-1为奇函数).兀兀 .21.A=只=2& = 3K =2 ; (2) I分钟;再经过6分钟后盛水同不在水中.【分析】 (1)先结合题设条件得到尸=兀,A = 4K = 2,求得w = 2,再利用初始值计算初相中即可;(2)根据盛水筒达到最高点时d = 6,代入计算t值,再根据t0,得到最少时间即可;.一,一 兀、 3. 一. / 兀、(3)先计算气时sin 2t0-云=根据题意,利用同角三角函数的平方关系求cos 2t00 V 0 6 7 4V 0 6 7再由-分钟后sin(t +中)=sin 6f -)-fc-)-2t + =sin2t+V 0 6 76_V 0 6 73,进而计算d值并判断正负,即得结果.【详解】解:(1)由题意知,T =-,即2-=-,所以 = 2,由题意半径为4米,同车的轴心。距水面的高度为2米,可得:A = 4K = 2, 当 t = 0 时,d = 0,代入

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