[PPT]材料力学课件之能量方法

1、第8章 能量方法8-1 外力功与杆件的变形能 一、外力功与弹性应变能1.外力功W 在弹性体受力变形过程中，外力在沿其作 用方向的位移上做的功。2.弹性应变能（Dlastic strain energy）或弹性变形能（Dlastic deformation energy）U弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能。三、能量方法 利用上述功和能的概念来求解变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称为能量法。能量法的应用很广泛，它不仅适用于线性弹件问题，而且还适用于非线性弹性体。它也是用有限元法求解固体力学问题的重要基础。二、功能原理（Princi

2、ple for work and energy） 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗，则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能，其表达式如下：U=W四、 杆件的应变能1.比能2.应变能(1)微应变能du=udV(2)应变能（一）、拉压杆的应变能应变能是一种体积分布能量。全杆的应变能，等于所有杆段应变能之和或者等于所有微段应变能之和。(3)等截面且轴力为常数的杆段的应变能(4)分段等截面且各段轴力为常 数的杆的应变能例求u，U。注：应变能(比能)的计算一般不能用叠加原理。(二)、剪切变形应变能和比能如图示的纯剪切单元体，其应变能和比能是：单元体微元功等于微变形能微比能剪切

3、比能剪切应变能(三)、圆轴扭转应变能例： 求图示扭转圆轴的应变能。解：轴的两段扭矩均为常量，易于求出该扭转圆轴的应变能如下：(四)、平面弯曲时的应变能 推导广义胡克定律时已指出：正应力不会引起剪应变；剪应力也不会引起线应变。可知，正应力不会在剪应变上做功；剪应力不会在线应变上做功。故，梁内任意一点的比能等于正应力对应的比能与剪应力对应的比能之和。梁的应变能k与截面形状有关的剪应力不均匀分布修正系数。如截面为矩形k=1.2，圆形k=10/9，薄壁圆环形k=2，共字型k=A/AW。梁的应变能实践和记算表明：对于高跨比较小的梁，剪应力影响项较小，一般可以略去。梁弯曲变形时的应变能可用下式计算。(五)

4、、组合变形时的应变能根据实际情况，求出横截面上任一点的正应力及剪应力。比能：应变能：组合变形时的应变能最后一项是关于 z 的对称积分，结果为零。组合变形时的应变能当不考虑弯曲剪切影响时，有可见，当轴y为对称轴,即组合变形中的弯曲变形为对称弯曲时，组合变形时的应变能等于与截面上各独立内力对应的基本变形应变能的总和。注：(1)杆件应变能的取值与加载次序无关； (2)应变能都是内力(荷载)的二次函数，因此，一般不能 用力的独立作用原理进行叠加计算。 (3)在荷载产生的内力或位移属于不同类型时，可以叠加。例：试用下述三种方式，计算图示简支梁的应变能。(1)同时由零开始逐渐加载至P、M；(2)先加载至P

5、，再加载至M；(3)先加载至M，再加载至P。应变能只与荷载的最终值有关，而与加载的中间过程或加载的先后次序无关。 利用功能原理计算位移U=W由功能原理当结构上只作用一个作功的广义荷载P时，利用功能原理，可方便地求得与P对应的广义位移d。d= 2 U /P例：82、卡氏定理若弹性体上作用有n个已知的广义力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位移分别为D1、D2、D3、Dn 。则弹性体由广义力表示的变形能U 对某个广义力Pi的偏导数，等于与Pi相应的广义位移 Di 。证明弹性体的应变能只与荷载的最终值有关，而与加载的中间过程或加载的先后次序无关。于是，总

6、变形能为略去高阶微量，得卡氏定理的应用由得1. 拉压杆件系统的位移计算 对于拉压杆件系统，能够写出如下公式：2.圆轴扭转时的位移计算3.平面弯曲梁的位移计算4.组合变形时的位移计算卡氏定理的应用说明（1）力和位移均有广义性；（2）注意所求位移有无相应的广义力，有则直接对它求偏 导，无则需要虚设一个相应的广义力；（3）要注意所求位移相应的广义力，是否与所求位移不对 应的其它荷载，具有相同的名称。如果是，需要先将 与所求位移相应的广义力换个名称，以避免求偏导发 生概念上的错误；(4）在运算时，一般不要将体系的应变能求出来后再求偏 导数，应当先求偏导数再进行积分运算（简称“先求导 后积分”）；（5）

7、区分不同的荷载类型，分别应用有关公式，还需要 弄清楚，写内力方程需要将杆件（或简单结构）分为 几段，来进行正确的描述（应变能的计算同样需要分 为几段来计算）。 (6)广义力与广义位移间的相应关系：一个力相应的位移为该力作用点沿力矢正向的线位移；一个力偶相应的位移为作用有该力偶的平面沿力偶转向的角位移；一对力相应的位移为该对力两作用点沿力矢正向的相对线位移；一对力偶相应的位移为作用有该对力偶的两平面间沿力偶转向的相对角位移。分别如图a、b、c、d所示。例：8-4 功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理贝蒂瑞利互等定理由意大利的E.Betti于1872年和英国的Rayleigh于1873年分别

8、独立提出。同一根梁，分别处于图a和图b的荷载作用状态，图中所示的位移有广义力引起自己作用点的位移，也有一个另一力作用点的位移。功的互等定理功的互等定理：如果将上述两种荷载同时作用在该梁上，如图示，两种荷载不同的施加次序，都将得出相同的应变能，于是有：功的互等定理如在某线弹性体上作用两组广义力，则第一组力在第二组力引起的广义位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的广义位移上所做的功。或 i 状态的力在 k 状态的位移上所做的功等于 k 状态的力在 i 状态的位移上所做的功。Wik=Wki或 Pi.Dik=Pk.Dki二、位移互等定理麦克斯韦位移互等定理由英国J.C.Maxwell于1864年提

9、出。由功的互等定理知：如果广义力数值上相等，Pi=Pk则 Dik=Dki如在某线弹性体上作用两个数值相等的广义力Pi 和Pk ，则Pi单独作用下引起Pk作用点沿Pk方向的广义位移在数值上等于Pk单独作用下引起Pi作用点沿Pi方向的广义位移。8-5 余能与余能原理一、余能概念考察图示非线性弹性材料的轴向拉杆，荷载伸长关系曲线和应力应变关系曲线。显然，荷载与位移、应力与应变之间不再服从线性弹性关系。由于与具有相同的量纲。且余能概念注意：杆件的余能或余比能没有明确的物理意义，但有明确的几何意义，就是曲线上方的面积。即在和数 PD 下，W* 为 W 的余数。因此习惯上称W*为余功。类似地有称为余(应变

10、)能称为余比能余能概念应变能通常表示为广义位移的函数。余能通常表示为广义力的函数。特殊情形：线弹性材料，P-D和s-e曲线为一斜直线，是矩形PD和se的对角线，故：即线弹性体的余能（或一点处的余比能）与应变能（或一点处的比能）相等。三、卡氏第二定理1.克罗蒂-恩盖塞定理适用于线弹性体与非线弹性体由意大利工程师F.Crotti于1878年、德国工程师F.Engesser于1889年分别提出。若弹性体上作用有n个已知的广义力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位移分别为D1、D2、D3、Dn 。则弹性体由广义力表示的余能U* 对某个广义力Pi的偏导数，等于与Pi相应的广义位移 Di 。证明仿前。2、卡氏第一定理由意大利工程师A.Castiliano于1873年提出。若弹性体上作用有n个已知的广义力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位移分别为D1、D2、D3、Dn 。则弹性体由广义位移表示的应变能U对某个广义位移Di的偏导数，等于与Di相应的广义力Pi 。证明：适用于线弹性体与非线弹性体，求弹性体的