江苏省苏州市2018届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

1、2018届高三年级第一次模拟考试 （五）（满分160分，考试时间120分钟）填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.已知i为虚数单位，复数 z=当-|i的模为.已知集合 A=1, 2a, B = 1, 1, 4,且 A? B,则正整数 a=.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y2 = 8x的焦点坐标为 .苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 .已知 4a= 2, logax = 2a,则正实数 x =.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍

2、是比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n, x的值分别为3, 3,则输出v的值为.（第6题）（第9题）0WxW 3,.已知变量x, y满足x+yQ 则z= 2x3y的最大值为 . x 一 y + 3 w 0）.已知等比数列an的前n项和为Sn,且鬻二一普，a4- a2= - -5,则a3的值为. S3 88.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90。桦卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表 面

3、积至少为 .（容器壁的厚度忽略不计，结果保留兀 ）.如图，两座建筑物 AB, CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的 张角/ CAD =45 ,则这两座建筑物 AB和CD的底部之间的距离 BD =m.（第10题）（第13题）.在平面直角坐标系 xOy中，已知过点 A（2, 1）的圆C和直线x + y=1相切，且圆心在直线 y = 2x上，则圆C的标准方程为 .已知正实数a, b, c满足1 + 1=1,7 + 1=1,则c的取值范围是 .a ba+ b c.如图，ABC为等腰三角形，/ BAC = 120 , AB=AC = 4,以A为圆心，1为半径的圆分别交AB

4、 , AC与点E, F, P是劣弧EF上的一点，则PB 比的取值范围是.已知直线y=a分别与直线y = 2x-2,曲线y=2ex+x交于点A, B,则线段AB长度的最小值为解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分14分）已知函数 f(x) = (43cosx+ sinx)2 243sin2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量 x的取值集合;兀 兀.(2)若xC -y, -2-,求函数f(x)的单调增区间.（本小题满分14分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知E, F, G, H分别是 A1D1 ,

5、 B1C1 , DID, C1C的中点.求 证： EF /平面ABHG ;(2)平面 ABHG，平面 CFED.（本小题满分14分）如图，B, C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B, C之间的距离为100兀km,海岛A在城市B的正东方向50 km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西。角（“。，1其中锐角”的正切值为2）航行到海滨公路 P处登陆，再换乘汽车到城市 C.已知船速为25 km/h,车速 为 75 km/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与 。的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy中，

6、椭圆C： x2 + y2=1(ab0)的离心率为 坐，椭圆上动点 P到一个焦点的 a2 b22距离的最小值为3( 12-1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0, 1)的动直线l与椭圆C交于A, B两点，试判断以 AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.(本小题满分16分)已知各项是正数的数列an的前n项和为Sn.若 Sn+Sn-1 = a2-2(nCN*, n2),且 a1 = 2.3求数列an的通项公式；若Sn0 , qw 1)的等比数列，且an的前n项积为10Tn.若存在正整数 k,对任意n N* ,使得T(，1)n为定值，求首项 al的值.ikn.(本小题满分16分)已知函

7、数f(x) =x3 + x2 , x 0.当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f( x) + f(x) =ex3在区间(0, + 00止有实数解，求实数a的取值范围;a 右存在头数 m, nC0, 2,且|mn|之1使得f(m) = f(n),求证：1汽“w e.2018届高三年级第一次模拟考试 （三）数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）.【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的 前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳41:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB, AC与圆。分别切于点B, C

8、, P为圆。上异于点B, C的任意一点，PDXAB ,垂足为D, PEL AC,垂足为 E, PFXBC,垂足为 F.求证：PF2 = PD PE.B.选彳42:矩阵与变换（本小题满分10分） 已知 M = 1 2 , 3= 1 ,求 M4 3 .2 17C.选彳44 44:坐标系与参数方程（本小题满分10分）x = 1 + t,在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点。为极点，x轴正半轴y = t3为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p= 2COs-L,若直线l与曲线C相交于A, B两点，求sin2 0 AOB的面积.D.选彳45:不等式选讲(本小题满分10分)已

9、知 a, b, cC R, a2+b2+c2=1,若 |x 1|+|x+1|R(ab + c)2 对一切实数 a, b, c 恒成立，求实数 x的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.(本小题满分10分)如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面，其交线为 AB ,且AB = BP = 2, AD = AE = 1 , AE AB ,且 AE / BP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2)线段PD上是否存在一点 N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于|?若存在，试确定5点

10、N的位置；若不存在，请说明理由.(本小题满分10分)在正整数集上定义函数y=f(n),满足 f(n)f(n + 1)+1 = 22 f(n + 1),且 f(1) = 2.,、9(1)求证：f(3)-f(2)=-；1(2)是否存在实数a, b,使f(n) = 一a+1,对任意正整数 n恒成立，并证明你的结论.：b2018届苏州高三年级第一次模拟考试 数学参考答案10. 18119.淄 2. 2 3. (-2, 0) 4. 5. 2 6.48 7.-9 8. ； 9. 30 兀4. (x 1)2+(y +2)2 = 212. 1,3-11, 93 + ln2215.解析：(1) f(x) = (

11、/3cosx + sinx)2 2-/3sin2x =3cos2x+ 273sinxcosx+ sin2x 2/3sin2x3(1 + cos2x) + 1 cos2x帽sin2x(2 分)=cos2x J3sin2x +2 = 2cos 2x+； +2.(4 分)r兀兀当 2x+w=2kTt + Tt,即 x=kTt + (ke Z)时，f(x)取得最小值 0, 兀此时自变量x的取值集合为 x x=kTt + y, kCZ.(7分)兀(2)由知 f(x) =2cos 2x+万 +2.令兀 + 2k 兀 w 2x+ y& 2 兀 + 2k 兀(k C Z), (8 分)解得 *+ k 兀 w

12、xw M+k 兀(kC Z), (10 分) 36兀 兀人兀兀兀 兀又 xC万，令 k=1, x-2,一刀，令 k=0, xC 万，,兀 兀 兀兀兀 兀所以函数f(x)在一万，上的单倜增区间是 _-2, 一 6和 W 2 .(14分)16.解析：(1)因为E, F是A1D1 , B1C1的中点，所以 EF / A1B1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1 / AB ,所以 EF /AB.(3 分)又 EF?平面 ABHG , AB ?平面 ABHG ,所以EF /平面 ABHG.(6分)(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CD，平面 BB1C1C ,又 BH?平面 BB

13、1C1C ,所以 BH，CD.(8 分)设 BHH CF=P,易知BCHA CC1F,所以/ HBC =/ FCC1.因为/ HBC +Z PHC=90 ,所以/ FCC1 +/ PHC= 90 .所以/ HPC=90 ,即 BHCF.(11 分) 又 D6 CF =C, DC, CF?平面 CFED , 所以BH，平面CFED.又BH?平面ABHG ,所以平面 ABHG，平面 CFED.(14分)17.解析：(1)由题意，轮船航行的方位角为以所以/ BAP = 90 & AB = 50,则 AP =50=-50-, BP=50tan(90 e 4 50sin(90 =50cos 9cos (

14、90 3 sin 0cos (90 0) sin 0,50cos 0所以 PC = 100-BP= 100-(4 分)sin 0由a至up所用的时间为-=券=-2-,25 sin 0100 由P到C所用的时间为t2 =50cos 0sin 0754_ 2cos 03 3sin 0(6分)所以由A经P到C所用时间与。的函数关系为24 2cos 0f( Ht1+t2=snr+ 33sn?62cos( + 43sin 03(8分)一 兀 1函数f（。的定义域为“，万，其中锐角a的正切值为1（2）由知）H6 2cos(3sin 0n2 a04 一所以f (1 3cos 0 )9sin2 0令 f（=e

15、0,解得 cos。= -.（io 分）3 TOC o 1-5 h z 设 60e o, 1，使 cose 0=-. 23当。变化时，f （0,） f（。的变化情况如下表:0(% 0 0)00兀00,1（。）一0十f( 0)X极小值 TOC o 1-5 h z （12 分）所以当0= 60时函数f（瞰得最小值，此时 BP = 50cos 9 0 =253217.68（km）. sin 0 02故在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点，所用时间最少.（14分）.解析：（1）由题意知c=坐，所以a=V2c.（1分） a 2又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3（#1）,所以a-c= 3/2

16、3, （2分）解得 c= 3, a= 3y2,所以 b2 = a2c2=9, （4 分）所以椭圆C的标准方程为 净算=1.（6分）（2）当直线l的斜率为0时，令y= 1,则x=为此时以AB为直径的圆的方程为 x2+（y+1）2=16; （7分）当直线l的斜率不存在时，以 AB为直径的圆的方程为 x2 + y2 = 9.（8分）x2+ （y+1） 2=16,联立解得x=0, y=3,即两圆过点T（0, 3）.x2 + y2=9,猜想：以AB为直径的圆恒过定点 T（0, 3）. （9分）对一般情况证明如下：设过点M（0, 1）的直线l的方程为y= kx-1,与椭圆C交于点A（x1 , y1）, B

17、（x2 , y2）,y = kx -1, x2 + 2y2= 18,消去 y,整理得(1 + 2k2)x2-4kx-16=0,所以 x1 + x2 = 4k, x1x2 = .(12 分) 1+2k21 + 2k2()因为TA TB =(x1 , y1 3) (x2, y2-3) = x1x2 +y1y23(y1 + y2) + 9 = x1x2 + (kx1 1)(kx2 -1)-3(kx1-16 (k2+ 1)-1 + kx2- 1) + 9= (k2+ 1)x1x2 - 4k(x1 +x2) + 16 =2k2口16= -2)1 + 2k21+ 2k2+ 16=0,所以TAXTB.所以存

18、在以AB为直径的圆恒过定点 T,且定点T的坐标为（0, 3）. （16分）.解析：（1）当n2时，Sn+Sn 1 =翅产，3a2+ 1 + 2所以 Sn + 1 + Sn =3,两式相减得 an+1 + an=1(an+1 a2), 3即 an+ 1 an=3, n2; (2 分)a2+2当 n = 2 时，S2+ S1=,即 a23a210=0,解得 a2=5 或 a2=2(舍),3所以 a2 a1 = 3,即数列an为等差数列，且首项 a1 = 2,所以数列 an的通项公式为an= 3n 1.（5分）由知an=3n-1,所以Sn=n (3n 1 + 2)3n2 + n由题意可得 入Sn-

19、= 3n2+对一切n C N*恒成立, 2n+1 2n+21 3n2+n.i己 cn=,贝 cn 1 =2n+23 (n1) 2+ ( n-1)2n+ 1，n2,所以 cncn1 - 3n2+11n_4 n2.(8 分)2n+2当 n4 时，cn0 , qw1),a1 a2 an=10Tn,两边取常用对数，得Tn = lga1 + lga2 + + lgan.令 bn= lgan = nlgq + lga1 lgq,则数列bn是以lga1为首项，lgq为公差的等差数列.(13分)T (k+1) nTkn为定值，令一，则上*iTkn(k+ 1) n (k +1) n 1knlga1 +2kn (

20、kn 1)2 lgqlgq=即(k +1)2科 2lgqn +(k + 1)- k崂=0 对 nC N* 恒成立, 因为 q0, q w1,（k+1） 2-科 2= 0,所以问题等价于（k+1）-0或a2=q.将V= 5代入(k + 1) -科k 0,解得四=0或(i = 1. k因为 k N* ,所以0 w 1,所以 a2= q.又an0,所以a1=我.(16分)x3 + x2, x0,当 x0 时，f(x) = - x3 + x2, f (x) = - 3x2+2x=- x(3x-2),2令f (x)0,解得x= 0或x=3(舍)，所以当x0时，f (x)0时，f(x) = ex 2x,

21、f (x) = ex2,令 f (x)0,解得 x= ln2, 所以当 0 xln2 时，f (x)ln2 时，f (x)0 ,所以函数f(x)在区间(0, ln2)上为减函数，在区间(ln2 , + 8比为增函数，且f(0) = 10.(4分)综上，函数f(x)的单调减区间为(一8, 0)和(0, m2),单调增区间为(ln2, +8).(5分)(2)设 x0 ,则一x0), x、则 g （x）2x+1- = x22x3 + x2 3x2（x1） （2x2 + 3x+3）x2,（7 分）令 g (x)0,因为 x0,所以 2x2 + 3x+30,故解得 x=1.当 xC(0, 1)时，g (

22、x)0,所以函数g(x)在区间(0, 1)上单调递减，在区间(1, + 8止单调递增， 故函数g(x)在x= 1处取得最小值g(1)= 5.(9分)要使方程a= g(x)在区间(0, + 8止有解，当且仅当 ag(xmin= g(1)= 5, 综上，满足题意的实数a的取值范围为5, +8). (10分)(3)由题意知 f (x)ex-a.当awo时，f (x)0,此时函数f(x)在0 , + 8比单调递增，由f(m) = f(n),可得m=n,与条件|mn|团盾，所以a0.(11分)令 f (x)0,解得 x= lna.当 xC(0, lna)时，f (x)0 , 所以函数f(x)在(0, l

23、na)上单调递减，在(lna , +8)上单调递增. 若存在 m, nC0, 2, f(m) = f(n),则 lna 介于 m, n 之间，(12 分) 不妨设 0WmnanW2.因为f(x)在(m, lna)上单调递减，在(lna, n)上单调递增，且 f(m) = f(n), 所以当 mexWn时，f(x) wf(m)= f(n),由 0WmnC2, |mn| 可得 1 C m, n, 所以 f(1) wf(m) f(n).又f(x)在(m, lna)上单调递减，且 0Wmna,所以f(m) f(0) 所以 f(1) wf(0)同理 f(1) (ab+c)2 对一切实数 a, b, c恒

24、成立，所以 |x-1|+|x+1| 3.当 x3,即 xW 3；当一1WxW时，23 不成立；当 x1 时，2x3,即 x卷.33综上所述，实数x的取值范围为 8, 2 U 2, +8.(1。分)22.解析：(1)因为平面 ABCD，平面 ABEP ,平面 ABCDA平面ABEP = AB , BPXAB ,所以BPX 平面ABCD.又AB LBC,所以直线BA , BP, BC两两垂直， 以B为原点，分别以 BA , BP, BC所 在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 P(0, 2, 0), B(0, 0, 0), D(2, 0, 1), E(2, 1, 0), C(0, 0, 1).因为BC,平面 ABPE,所以BC=(0, 0, 1)为平面ABPE的一个法向量.(2分)V, z),pD=(2, 2, 1), CD = (2, 0, 0),设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,n CD=0, 2x=0,则即令 y=1,则 z=2,故 n = (0, 1, 2). (4 分)nPD=0, 2x 2y+z=0,设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为 TOC o 1-5 h z n ntt n n BC 22