最值系列之将军饮马

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业最值系列之将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到

2、直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段【问题解决】作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA，所以PA+PB=PA+PB当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得PMN周长最小此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P、M、N、P共线时，PMN周长最小【例题】如图，点P是A

3、OB内任意一点，AOB=30，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则PMN周长的最小值为_【分析】PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P、P，化PM+PN+MN为PN+MN+PM当P、N、M、P共线时，得PMN周长的最小值，即线段PP长，连接OP、OP，可得OPP为等边三角形，所以PP=OP=OP=8【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，当P、M、

4、N、Q共线时，四边形PMNQ的周长最小。【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）三、几何图形中的将军饮马【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】正方形中的将军饮马【关于对角线对称】如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则DMN周长的最小值是_【分析】考虑DM为定值，故求DMN周长最小值即求DN+MN最小值点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，

5、连接BN交AC于点N，此时DMN周长最小【假装不存在的正方形】（2019山东聊城）如图，在RtABO中，OBA=90，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为AB，C，D【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称：也可以作点C的对称：【隐身的正方形】（2017辽宁营口）如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为A4B5C6D7【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C，当C、P、D共线

6、时，PC+PD最小，最小值为5，故选B三角形中的将军饮马【等边系列】如图，在等边ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是_【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值 过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7【隐身的等边三角形】如图，在RtABD中，AB=6，BAD=30，D=90，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是_【分析】对称点并不一定总是在已知图形上【角分线系列之点点】（2018山东潍坊）如

7、图，在RtABC中，ACB=90，AC=6AB=12，AD平分CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为A3B4CD【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为CE+EF，当C、E、F共线时得最小值，CF为CB的一半，故选C【角分线系列之点线】（2018辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，ABC=60， BD平分ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是AB2CD4【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN因为M、N皆为动

8、点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C矩形、菱形中的将军饮马【菱形高】（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是A6BCD4.5【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM当E、P、M共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：ACBD/2=BCEM【折点在边上】（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是ABCD【分析】点E为折点，E

9、是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D，连接AD，与y轴交点即为所求E点【折点与面积】（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为ABCD【分析】由可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的对称点B，化折线PA+PB为PA+PB当A、P、B共线时，取到最小值，选A【全等与对称】（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为ABCD【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小

10、值，此处E为折点，作F关于AB对称点F，则BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5，故选B四、特殊角的对称【60角的对称】（2018滨州）如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是ABC6D3【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P、P，化PMN周长为PN+NM+MP当P、N、M、P共线时，得最小值，利用60角翻倍得POP=120，OP=OP=OP，可得最小值【30角的对称】（2017湖北随州）如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P

11、是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，AOB=30，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M如图所示，连接PM，化PM+PN为PM+PN 当M、P、N共线时，得最小值，又MON=60且ON=2OM，可得OMN=90，故P点坐标可求【20角的对称】如图，已知正比例函数y=kx（k0）的图像与x轴相交所成的锐角为70，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为_【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P，化AM+MP+PN为AM+MP+

12、PN此处P为折点，作点N关于OP对称点N，化AM+MP+PN为AM+MP+PN当A、M、P、N共线且ANON时，值最小最值系列之将军饮马（二）【将军过桥】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置问题化为求AN+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】【将军过两个桥】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须

13、垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起AP平移至AQ，NB平移至MB，化AP+QM+NB为AQ+QM+MB当A、Q、M、B共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定P、N位置【将军遛马】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可将AM平移使M、N重合，AM=AN，将AM+BN转化为AN+NB构造点A关于MN的对称点A，连接AB，可依次确定N、M位置，可得路线【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为_【分析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP+QE最小即可，如图，将AP平移至AQ，考虑AQ+QE最小值作点A关于x轴的对称点A，连接AE