2022新高考总复习《数学》(人教)第六章　数列6.2　等差数列

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI6.2等差数列第六章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破核心素养微专题6 例说数列中的逻辑推理必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d (n N* ),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列an 的通项公式:an=,可推广为an=am+(n-m)d.(

2、4)等差数列的前n项和公式:第2项差同一个常数公差等差中项 a1+(n-1)d 2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,S10=S20,则()A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当n32时,Sn0,所以a150,a160,所以d0,SnS15,故A,B,C正确;S31= =31a160,故D错误.故选ABC.4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则 =.答案 4 5.(2019北京,理10)设等差数列

3、an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案 0-10解析 在等差数列an中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列an的性质得当n5时,an0,当n6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.关键能力 学案突破考点1等差数列中基本量的求解答案 (1)A(2)25 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两

4、个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)设等差数列an的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=()A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案 (1)B(2)16 (2)an为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理得a1+4d=3,即a1=3-4d,把代入解得d=2,

5、a1=-5.S8=8a1+28d=16.考点2等差数列的判定与证明(1)证明 当n2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,变式发散(1)本例条件不变,判断数列an是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n2),a1= ”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n2),a1=2”,问题不变,试求解.(2)证明 当n2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得SnSn-(Sn-Sn-1)+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,对点训练2(2017全国1,文17)设S

6、n为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考点3等差数列的性质及应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质及应用【例3】 (1)(2020北京,8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案 (1)B(2)BC可知数列an是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.可知T1=-90,T3=-3150为最大项,自T5起均小于0,且逐渐减小.数列Tn有最大

7、项,无最小项.故选B.(2)由题意可得,因为数列an是等差数列,所以设数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列an中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.4答案 A解析 在等差数列an中,a2+a8=8,2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.考向2等差数列前n项和的性质【例4】 (1)(2020全国2,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(

8、称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)C(2)8 076解析 (1)由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-S

9、n,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=279+ 9=3 402.故选C.答案 -n2+10n 考向3等差数列前n项和的最值【例5】 (2020陕西汉中高三教学质量检测)设等差数列an满足a3=-9,a10=5.(1)求数列an的通项公式;(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn(A,B为常数),通过配方或借助图象求最值.(2)邻项变号法:对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列an的前n项和为Sn,S6S8,则()A.在数列an中,a1最大B.在数列an中,a3或a4最大C.S3=S10D.当n8时,an0(2)在