Routh 稳定性判定

1、第五章 系统的稳定性5.2 Routh 稳定判据5.2 Routh（劳斯）稳定判据劳斯稳定判据的根据： 利用系统特征方程式的根与系数的代数关系，由特征方程中的已知系数来间接判别方程的根是否具有负实部，从而判定系统的稳定性。因此，劳斯稳定性判据又称为代数稳定判据。代数稳定判据还有胡尔维茨稳定判据。低阶系统(六阶以下)第五章 系统的稳定性5.2 Routh稳定判据一、劳斯稳定判据的步骤1. 列写系统的特征方程式2. 系统稳定的必要条件各系数同号且不为零或an0, an-10, , a10, a003. 列写Routh数列表其中：第五章 系统的稳定性5.2 Routh稳定判据Routh（劳斯）数列列

2、写规律 第一行为原特征方程式系数的奇数项，第二行为原系数的偶数项。从第三行起，每行的数都是由上两行的数算得的。等号右边的二阶行列式中，第一列都是上两行中第一列的两个数，第二列为被算数右上肩的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数的相反数。4. 系统稳定的充要条件Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。Routh表中第一列各元符号变化的次数等于系统不稳定根的个数。5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性解：1）充分条件例5.1 系统的特征方程求系统的稳定性。D(s)=s4s319s211s300 ，ai不全为正，所以系统不稳定。2）列写Routh数列3）第一列符号变化2次，

3、系统有两个不稳定根。5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性 低阶(二阶、三阶)系统的劳斯稳定判据 a00，a10，a20 三阶系统a30, a20, a10, a00, a1a2a0a30 二阶系统5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性例5.2 已知=0.2及0.86，试确定K取何值时，系统方能稳定。图5.2 系统方框图解：系统的传递函数为将已知条件代入，系统的特征方程为列出Routh数列为5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性如果要求所有特征根都在s=-a垂线左侧，可令 代入原特征方程式，得到 的特征方程，再用Routh判据即可。二、劳斯判据的特殊情况1. 劳斯表某一

4、行中的第一列元素为零，其余各项不（全）为零。用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令 0，按前述方法进行判别处理方法 如果上下各元素的符号相同，则系统存在一对共轭虚根，处于临界稳定状态；如果上下各元素的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。 5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性例5.3s4132s3330s222s1(0) 0s02事实上，该系统特征根如下：1、2、 j劳斯阵列第一列上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性2. 劳斯数列表某一行全为零 劳斯数列出现全零行表明系统在s平面有

5、对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。 j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjb利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯数列中其余各项。 处理方法5.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性-1、-1 j2、 -1 j、1 j显然，系统不稳定。其特征根如下：s717428s6351220s516/3064/30s45020s300200s2(0) 20s1-400/s020例5.45.2 Routh稳定判据第五章 系统的稳定性三、利用劳斯判据建立条件稳定系统例5.5 控制系统的闭环传递函数为 ，试求 （1）使闭环系统稳定的K值范围； （2）要求系统特征根全部位于s=-1垂线的左侧，确定K值范围。解：(1) 系统特征方程为 根据Routh稳定判据，对于该三阶系统，当K0，且144040K时，该系统稳定，即0K14时，该系统稳定；(2) 令s=z-1，代入原特征方程式，则有 根据Routh判据，此三阶系统，当40K-270，且111540K-27时，该系统稳定，即0.675K4.8，系统满足条件稳定5.2 Routh