微积分基础数学2图形曲率

1、第四节一、 曲线的渐近线二、 函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数图形与曲率 第四章 三、 弧微分四、 曲率及其计算公式无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线 .例如, 双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1. 求曲线的渐近线 .解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线斜渐近线若机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、 “纵坐标差”例2. 求曲线的渐近线 .解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充题 求笛卡儿叶形线的渐近线 . 解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线的参数方程 :因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 笛卡儿叶形线参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数图形的描绘步骤 :1. 确定函数的定义域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判别增减及凸性区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形

3、.为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 描绘的图形.解: 1) 定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 描绘方程的图形.解: 1)定义域为2) 求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态(极大)(极小)4) 求渐近线为铅直渐近线无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 又因即5) 求特殊点为斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动 目录 上页 下页 返回 结束 无定义例5. 描绘函数的图形. 解: 1) 定

4、义域为图形对称于 y 轴.2) 求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、 弧微分设在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 对应切线定义：弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为其长为则弯曲度与转角成正比，与弧长成反比；例6. 求半径为R 的圆上任意

5、点处的曲率 .解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别: 直线上任意点处的曲率为 0 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K 的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若曲线由参数方程给出, 则(2) 在点M处曲线凹侧的法线方向上，作机动 目录 上页 下页 返回 结束 一圆，其半径为称此圆为曲率圆，R为曲率半径。(3) 曲率中心坐标D(,)的计算公式：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处

6、的曲率.说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 ,因此铁道的曲率应连续变化 . 例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:显然例3. 求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K 最大最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:最大.补充：摆线的产生半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,其上定点 M 的轨迹即为摆线 .参数的几何意义点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束