2022高考总复习 数学(人教A理一轮)12.4　二项分布与正态分布

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI12.4二项分布与正态分布第十二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.条件概率及其性质 P(B|A)+P(C|A) 2.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=,此时称随机变量X服从,记

2、作,并称p为成功概率.两 二项分布 XB(n,p) 3.正态分布(2)正态曲线的特点曲线在x轴的上方,与x轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线x=对称;曲线与x轴之间的面积为1;当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移;当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= ,则称随机变量X服从正态分布,记作.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(-X+);P(-2X+2);P(-32)=0.3,则P(X0)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8答案 B解

3、析 XN(1,2),所以P(X2)=0.3.答案 B 4.若随机变量X服从二项分布 ,则()A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3)D.P(X=3)=4P(X=1)答案 D 答案 A解析 设事件A表示“甲能回答该问题”,事件B表示“乙能回答该问题”,事件C表示“这个问题被解答”,则关键能力 学案突破考点1条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()(2)将三颗骰子各掷一次,记事件A为“三个点数都不同”,B为“至少出现一个6点”,则条件

4、概率P(A|B)=,P(B|A)=.解题心得求条件概率的基本方法有两个: 对点训练1(1)每场足球比赛的时间长度为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中了.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前发生抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为()(2)袋子中有8个除了颜色外都相同的小球,有5个红球,3个白球,现在不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出白球的条件下,第二次也摸出白球的概率是.考点2独立重复试验与二项分布【例2】 (2020江苏盐城高三模拟)已知某高校综合

5、评价有两步:第一步是材料初审,若材料初审不合格,则不能进入第二步面试;若材料初审合格,则进入第二步面试.只有面试合格者,才能获得该高校综合评价的录取资格,现有A,B,C三名学生报名参加该高校的综合评价,假设A,B,C三位学生材料初审合格的概率分别是(1)求A,B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率;(2)记随机变量X为A,B,C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数,求X的概率分布列.解题心得1.独立重复试验满足的两个条件:一是在同样的条件下重复进行;二是各次试验之间相互独立.2.二项分布满足的条件(1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每

6、次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生;(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.对点训练2九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.质量/g5,15)15,25)25,35)35,45)45,55数量4121185考点3正态分布(多

7、考向探究)考向1正态曲线的性质【例3】 (1)(2020安徽明光中学高三月考)若随机变量XN(3,2),且P(X5)=0.2,则P(1X5)等于()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布XN(90,2)(试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 ,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.答案 (1) A (2)180解析 (1)由于XN(3,2),则正态密度曲线关于直线x=3对称,所以P(1X5)=1-2P(X5)=1-20.2=0.6,故选A.解题心得利用正态分布密度

8、曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,曲线与x轴之间的面积为1.对点训练3(2020四川泸县高三诊断)设随机变量服从正态分布N(3,4),若P(a+2),则实数a的值为() 答案 D解析 因为随机变量服从正态分布N(3,4),P(a+2),根据正态分布的特征,可得2a-3+a+2=6,解得a= .考向23原则的应用【例4】 (1)已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(mX104)0.135 9,则m等于()附:P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5A.100 B.101 C.102 D.103(2)(2020四川棠湖中学高三月考

9、)通过大数据分析,每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X,且XN(3 000,502).则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3 100的概率约为()(参考数据:若XN(,2),有P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3)A.0.045 6B.0.682 6 C.0.998 7D.0.977 3答案 (1) C (2) D 解题心得利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于(-,+,(-2,+2,(-3,+3中的哪一个.对点训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽

10、取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3之外的零件数,求P(X1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3之内的概率约为0.997 3,从而零件的尺寸在(-3,+3之外的概率约为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.E(X)160.002 7=0.043 2.(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,