第一章导数及其应用（章末测评）- 高中数学人教A版选修2-2

1、导数及其应用一、选择题1函数yf (x)在xx0处的导数f (x0)的几何意义是()A在点xx0处的函数值B在点(x0，f (x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线的斜率D点(x0，f (x0)与点(0,0)连线的斜率答案C2曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1Cyex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为yeq blc|rc (avs4alco1(,x1)2.3函数f (x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是()A1，1B1，17C3，17D9，19Cf (x)3x23.令f (

2、x)0，即3x230，解得x1.当x(，1)时，f (x)0；当x(1,1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.所以f (x)在x1处取得极大值，f (x)极大值3，在x1处取得极小值，f (x)极小值1.而端点处的函数值f (3)17，f (0)1，比较可得f (x)的最大值为3，最小值为17.4已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值Dy1eq f (2x,1x2)eq f (x12,1x2)0，且仅在有限个点上等号成立，函数f (x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值5设f (x)，g(x)在a，b上可导，且f (x

3、)g(x)，则当axb时，有()Af (x)g(x)Bf (x)g(x)Cf (x)g(a)g(x)f (a)Df (x)g(b)g(x)f (b)Cf (x)g(x)0，(f (x)g(x)0，f (x)g(x)在a，b上是增函数，当axb时f (x)g(x)f (a)g(a)，f (x)g(a)g(x)f (a)二、填空题6若函数f (x)ax3bx在x1处有极值2，则ab_.7函数yeq f (1,3)x3ax2x2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是_(，1)(1，)yx22ax1有两个不相等零点，得(2a)240，得a21，解得a1.8直线yeq f (1,2)xb是曲线yln x

4、(x0)的一条切线，则实数b_.ln 21设切点坐标为(x0，y0)，则y0ln x0.y(ln x)eq f (1,x)，y|eq sdo6(xx0)eq f (1,x0)，由题意知eq f (1,x0)eq f (1,2)，x02，y0ln 2.由ln 2eq f (1,2)2b，得bln 21.三、解答题9某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：peq f (3x,4x32)(xN*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定

5、为多少件？解(1)因为次品率peq f (3x,4x32)，所以当每天生产x件时，有xeq f (3x,4x32)件次品，有xeq blc(rc)(avs4alco1(1f (3x,4x32)件正品所以T200 xeq blc(rc)(avs4alco1(1f (3x,4x32)100 xeq f (3x,4x32)25eq f (64xx2,x8)(xN*)(2)T25eq f (x32x16,x82)，由T0，得x16或x32(舍去)当0 x16时，T0；当x16时，T0；所以当x16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利10已知函数f (x)x312xm.(1)若xR，求函

6、数f (x)的极大值与极小值之差；(2)若函数yf (x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x1,3时，f (x)的最小值为2，求f (x)的最大值解(1)f (x)3x212.当f (x)0时，x2或x2.当f (x)0时，2x2.当f (x)0时，x2或x2.f (x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2,2)上单调递增f (x)极小值f (2)16m.f (x)极大值f (2)16m.f (x)极大值f (x)极小值32.16m16.m的取值范围为(16,16)(3)当x1,3时，由(1)知f (x)在1,2)上单调递增，f (x)在2,3上单调递减，f (x)的最大值为f (2)又

7、f (1)11m，f (3)m9，f (1)f (3)，在1,3上f (x)的最小值为f (1)11m，11m2，m9.当x1,3时，f (x)的最大值为f (2)(2)3122925.1若函数f (x)eq f (1,3)x3eq f (1,2)(2b1)x2b(b1)x在(0,2)内有极小值，则()A0b1B0b2C1b1D1b2Cf (x)x2(2b1)xb(b1)(xb)x(b1)令f (x)0，则xb或xb1，xb1是极小值点， 0b12，1b1.2定义在R上的函数f (x)满足：f (x)1f (x)，f (0)6，f (x)是f (x)的导函数，则不等式exf (x)ex5(其中

8、e为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(1，)D(3，)A由题意可知不等式为exf (x)ex50，设g(x)exf (x)ex5，g(x)exf (x)exf (x)exexf (x)f (x)10.函数g(x)在定义域上单调递增又g(0)0，g(x)0的解集为(0，)3已知函数f (x)xln(xa)的最小值为0，其中a0，则a的值为_1f (x)的定义域为(a，)，f (x)1eq f (1,xa)eq f (xa1,xa).由f (x)0，解得x1aa.当ax1a时，f (x)0，f (x)在(a,1a)上单调递减；当x1a时，f (x)0，f (x)在

9、(1a，)上单调递增因此，f (x)在x1a处取得最小值，由题意知f (1a)1a0，故a1.4若函数f (x)x2axeq f (1,x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)，)上是增函数，则a的取值范围是_3，)因为f (x)x2axeq f (1,x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)，)上是增函数，故f (x)2xaeq f (1,x2)0在eq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)，)上恒成立，即aeq f (1,x2)2x在eq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)，)上恒成立令h(x)eq f (1,x2)

10、2x，则h(x)eq f (2,x3)2，当xeq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)，)时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)heq blc(rc)(avs4alco1(f (1,2)3，所以a3.5已知函数f (x)eq f (1,2)x2aln x(aR)，(1)若f (x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f (x)的单调区间；(3)求证：当x1时，eq f (1,2)x2ln xeq f (2,3)x3.解(1)f (x)xeq f (a,x)，因为x2是一个极值点，所以2eq f (a,2)0，则a4.此时f (x)xeq f (4,x)eq f (x2x2,x)，因为f (x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f (x)0；当x(2，)，f (x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.(2)因为f (x)xeq f (a,x)eq f (x2a,x)，所以当a0时，f (x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f (x)xeq f (a,x)eq f (x2a,x)eq f (xr(a)xr(a),x)，所以函数f (x)的单调递增区间为(eq r(a)，)；递减区间为(0，eq