教学课件5.1不定积分（合）

1、 山东理工职业学院 高等数学不 定 积 分5.1 不定积分的概念和性质分析: (1)边际成本即成本函数的导数; (2)固定成本5000元即产量为零时的成本(引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是 , 且固定成本是5000元.求总成本C与月产量 的函数关系.工作中遇到这样的经济问题：?已知一个函数的导函数，如何求这个函数？ 乘法 1. 原函数定义 微分法 逆运算 积分法 在微分学中,我们所研究的问题是寻求已知函数的导数. 但在许多实际问题中,常常需要研究相反问题,就是已知函数的导数,求原来的函数. 除法 逆运算5.1 不定积分的概念和性质 积分法 逆运算 微分法 微分法是研究如

2、何从已知函数求出其导函数.如已知函数要求它的导函数: 还会遇到的问题是: 已知函数 ,要求一个函数 ,使其导函数恰是:已知函数 ,要求它的导函数 已知导函数 ,要还原函数 逆问题5.1 不定积分的概念和性质5.1 不定积分的概念和性质原函数举例因为 , 定义1设函数 和 在区间 上有定义，若对 ，有 或则称函数 是 在区间 上的一个原函数.又因为 , 所以 是 在区间 上的一个原函数. 所以 是 在区间 上的一个原函数. 你明白了吗？定理1（原函数存在定理）如果函数 f(x) 在区间 I 上连续, 则它在该区间上存在原函数.注：连续函数一定有原函数. 每个初等函数在其定义区间上都有原函数. 提

3、问：在什么条件下,函数的原函数存在？ 如果存在，是否只有一个？5.1 不定积分的概念和性质原函数有如下特性： （1）如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数, 那么函数族F(x)C（C为任意常数）也是函数f(x)的原函数；（2） 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数). 是 在区间 上的一个原函数. 5.1 不定积分的概念和性质2.不定积分 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分, 定义2根据定义, 如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数, 那么 F(x)C 就是 f(x)

4、 的不定积分, 即积分号被积函数被积表达式积分变量积分常数5.1 不定积分的概念和性质记作5.1 不定积分的概念和性质 是 的一个原函数 是 的一个原函数如：例1 求.解：因为 ，即 是 的一个原函数， 所以5.1 不定积分的概念和性质解：因为故 例2 求 所以分析：与 有关的求导公式 例3 求函数 的不定积分 合并上面两式, 得到 解： 5.1 不定积分的概念和性质5.1 不定积分的概念和性质解： 因为 ,所以 (引例)某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是 , 且固定成本是5000元.求总成本 与月产量 的函数关系.= ?不定积分的运算从几何上看,函数 的任意一个原函数 的图像

5、是一条曲线；不定积分 代表一族曲线,称为函数 的积分曲线族.不定积分的几何意义5.1 不定积分的概念和性质-几何意义、性质每条曲线上相同横坐标点处的切线的斜率相等解 由题意知此曲线的方程为设所求曲线方程为：xyo112例4. 求过 点，且在任意一点 处切线的斜率为 的 曲线方程.又曲线通过点 ，5.1 不定积分的概念和性质-几何意义、性质不定积分的性质性质1 求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算性质2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面性质3 两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和（可推广）5.1 不定积分的概念和性质-几何意义、性质3.若 的一个原函数为 ，则 （

6、） 1.若 ，则 2.若 ，则 课 堂 练 习（A） （B） （C） （D）析：根据不定积分的定义，B析：5.1 不定积分的概念和性质-几何意义、性质4.设 是区间 内连续函数 的两个不同的原函数，且 ，则在区间 内必有 （ ）.（A） （B） 析：函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数5.设曲线通过点 ,且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方,求此曲线的方程. （C）（D）D解：设曲线的方程为：即由题意：所以又曲线过点故曲线的方程为课 堂 练 习5.1 不定积分的概念和性质-几何意义、性质基本积分公式 (k是常数)说明：5.2 不定积分的基本公式和直接积分法5.2 不定积分的

7、基本公式和直接积分法熟 记5.2 不定积分的基本公式和直接积分法直接积分法 直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质,有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些函数的不定积分. . 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法例1. 求解：不要忘记常数C例2. 求解：5.2 不定积分的基本公式和直接积分法5.2 不定积分的基本公式和直接积分法例3. 求解：例4. 求解： 例5 例6 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法例7 5.2 不定积分的基本公式和直接积分法5.2 不定积分的基本公式和直接积分法注意：当不定积分不能直接应用基本积分表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计

8、算计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数例如，要检查例3的结果是否正确，只需计算，就可以肯定计算结果一定正确5.2 不定积分的基本公式和直接积分法课 堂 练 习1.求解2. 求解3.求解解：课 堂 练 习4.求5.2 不定积分的基本公式和直接积分法 5.3 换元积分法5.3.1第一换元积分法（凑微分法） 5.3.2第二换元积分法5.3 换元积分法-第一换元积分法（凑微分）这是因为例如, 所以,的原函数.不是 换元 积分法 要解决上述问题,可进行适当的变量替换 在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分 时,要求积分变量 与被积函数 中的元(即 )必须严格对应.只有这样才能直

9、接积分.否则,就不能利用直接积分法.5.3 换元积分法-第一换元积分法（凑微分）这是因为例如, 的原函数.不是 换元 积分法 所以,令则被积函数被积表达式所以,将 代回 换元 积分法 5.3.1第一换元积分法 换元 积分法 令则由于即 是 的原函数.所求不定积分是正确的.上述方法具有普遍性是否正 确呢? 5.3.1第一换元积分法=变量替换=用积分公式=变量还原 第一换元 积分法 设 若 可导, 则有5.3.1第一换元积分法对照案例一换元积分法公式 这是 的函数 案例的计算过程 这是 的函数 的导数 的导数 关键是找到 ，使 与 结合凑成微分凑微分法 5.3.1第一换元积分法恰是的导数.例1求解

10、被积函数是两个因子: 和 的乘积 注意到视则因子是的函数 因子由此 正是 形式. 设则于是可用换元 积分法 5.3.1第一换元积分法例2求解被积函数是两个因子: 和 的乘积 视于是被积函数具有形式 可用换元 积分法 因本例可不设出中间变量 ,按如下格式书写:5.3.1第一换元积分法例3求解5.3.1第一换元积分法例4求解因为，而所以5.3.1第一换元积分法1. 下列各题求积方法有何不同?思考与练习5.3.1第一换元积分法应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一换元积分法应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一换元积分法6.

11、 ，5.； 7. 8.5.3.1第一换元积分法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求则得第二类换元积分法 .难求5.3.2第二换元积分法设函数 连续， 具有连续的导数 ，且 ， 是其反函数。定理2若则称为不定积分的第二类换元积分公式5.3.2第二换元积分法第二换元法的步骤对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法,引入适当的代换,以去掉根号.说明5.3.2第二换元积分法例 求解 令5.3.2第二换元积分法根式代换例如 求解 令5.3.2第二换元积分法例1求设 ，则 ，解5.3.2第二换元积分法例2 求解 令5.3.2第二换元积分法思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令

12、令5.3.2第二换元积分法三角代换5.3.2第二换元积分法 例1. 求解: 令则 原式5.3.2第二换元积分法例2. 求解: 令则 原式5.3.2第二换元积分法小结1. 第二类换元法常见类型: 令令令令令令5.3.2第二换元积分法常用基本积分公式的补充 小结5.3.2第二换元积分法小结5.3.2第二换元积分法分部积分公式设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 分部积分公式5.4 分部积分法或5.4 分部积分法（1）分部积分公式主要解决被积函数是两类函数乘积的 不定积分（2）使用分部积分公式的关键是恰当地

13、选择 和 ，一般地, 公式使用时，应注意：易求,且新积分 比原积分 易求. 例1 解：设 如果令 于是则计算更复杂则5.4 分部积分法设 ， 例2 解： 试一试： 5.4 分部积分法当被积函数为幂函数与三角函数之积时,如:要用分部积分公式.并选幂函数为即说明对某些不定积分来说,有时需用连续用若干次分部积分公式.当被积函数为幂函数与指数函数之积时,如:要用分部积分公式.并选幂函数为即5.4 分部积分法 例3 求： 被积函数可看作 与 1 的乘积解：5.4 分部积分法 例4 解：5.4 分部积分法 例5 解：5.4 分部积分法当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之积时,如:要用分部积分公式.并选对数函数、反三角函数为说明当被积函数单纯为对数函数,反三角函数时,也用分部积分公式5.4 分部积分法 解 例6 5.4 分部积分法因