江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷

1、江苏南京师大附中2015届高三12月段考试卷 数学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上 1在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为 2在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 3对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期(天)1113141617192022个数20403010则这种花卉的平均花期为 天4若sin eq f(3,5)，eq bl

2、c(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4) 5直线xcos eq r(3)y20(R)的倾斜角的范围是 6设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2014) 7阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 8若等边三角形ABC的边长为2eq r(3)，平面内一点M满足，则 9有下面四个判断：命题“设a、bR，若ab6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函数f(x)lneq blc(

3、rc)(avs4alco1(af(2,x1)的图象关于原点对称，则a3其中正确的有 个10若双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 11设n为正整数，f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)，计算得f(2)eq f(3,2)，f(4)2，f(8)eq f(5,2)，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为 12已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为 13设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,

4、1，都有f(x)0成立，则实数a的值为 14已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x) 成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12则数列的通项公式an 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2eq f(1,2)ac(1)求证：cos Beq f(3,4)；(2)若cos(AC)cos B1，求角B的大小16（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，

5、E，F分别为AB，AA1的中点(1)求证：直线EF平面BC1A1；(2)求证：EFB1C17(本小题满分14分) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足（）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18.（本小题满分16分）已知抛物线D的顶点是椭圆C：eq F(x2,16)eq F(y2,15)1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 （1）求抛物线D的方程； （2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点 若直线l的斜率为1，求MN的长；

6、是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由19（本小题满分16分） 设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由20（本小题满分16分） 记数列的前项和为（N*），若存在实常数，对于任意正整数，都有成立 （1）已知，求证：数列（N*）是等比数列；（2）已知数列（N*）是等差数列，求证：； （3）已知，且，设为实数，若N*，求的取值范围南京师大附中2015届高三12月段考试卷 数 学 2014.12.30注意事项：本试卷共4页，包括填空题(第1题

7、第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上 1在复平面内，复数3i和1i对应的点间的距离为 解析3i1i|42i|eq r(4)222)eq r(20)2eq r(5).答案2eq r(5)2在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为eq f(f(1,2)12,4)eq f(,8).答案eq f(,8)3对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：花期(天)1

8、113141617192022个数20403010则这种花卉的平均花期为 天解析eq xto(x)eq f(1,100)(1220154018302110)15.9(天)答案15.94若sin eq f(3,5)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4) 解析因为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，sin eq f(3,5)，所以cos eq f(4,5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(r(2),2)(cos sin )eq f(r(

9、2),10).答案eq f(r(2),10)5直线xcos eq r(3)y20(R)的倾斜角的范围是 解析:由xcos eq r(3)y20得直线斜率keq f(r(3),3)cos .1cos 1，eq f(r(3),3)keq f(r(3),3).设直线的倾斜角为，则eq f(r(3),3)tan eq f(r(3),3).结合正切函数在eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上的图象可知，0eq f(,6)或eq f(5,6).6设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2014) 解析因为f(x)f(x)

10、，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 014)f(36711)f(1)1.答案17阅读下面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i的值为 解析第一次运行结束：i1，a2；第二次运行结束：i2，a5；第三次运行结束：i3，a16；第四次运行结束：i4，a65，故输出i4.答案48若等边三角形ABC的边长为2eq r(3)，平面内一点M满足，则 解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2eq r(3)，0)，B(eq r(3)，3)，则Meq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(1,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)

11、，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(5,2)2.答案29有下面四个判断：命题“设a、bR，若ab6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”；若函数f(x)lneq blc(rc)(avs4alco1(af(2,x1)的图象关于原点对称，则a3其中正确的有 个解析 对于：此命题的逆否命题为“设a、bR，若a3且b3，则ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；“p或q”为真，则p、q至少有一个为真命题，错误；“a、bR，a2b22

12、(ab1)”的否定是“a、bR，a2b20，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为aeq f(3,x2)eq f(1,x3).设g(x)eq f(3,x2)eq f(1,x3)，则g(x)eq f(3(12x),x4)，所以g(x)在区间eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上单调递增，在区间eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)上单调递减，因此g(x)maxgeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4，从而a4.当x0,知B为为锐角 12分故sin Beq f(1,2)，得Beq f(,6) .14分16（本小题满分14分） 如图，在直

13、三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，E，F分别为AB，AA1的中点(1)求证：直线EF平面BC1A1；(2)求证：EFB1C. 证明(1)由题知，EF是AA1B的中位线，所以EFA1B2分由于EF平面BC1A1，A1B平面BC1A1，所以EF平面BC1A1.6分(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1. 8分又A1C1B1ACB90，所以A1C1C1B1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面A1C1B1，A1C1平面A1C1B1，从而A1C1CC1，又CC1C1B1C1，CC1，C1B1平面BCC1B1，所以A1C1平面BCC1B1 又B1C平面BC

14、C1B1，所以A1C1B1C. . 10分因为A1C1BC1C1，A1C1，BC1平面BC1A1，所以B1C平面BC1A1. 12分又A1B平面BC1A1，所以B1CA1B.又由于EFA1B，所以EFB1C. 14分17(本小题满分14分) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足.（）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. 解：（）由题意得， 5分 （）因为 7分当时， 当且仅当，即时取等号 10分当时，可证在上单调递减，所以当时，取最

15、小值为 13分 由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元 14分18.（本小题满分16分）已知抛物线D的顶点是椭圆C：eq F(x2,16)eq F(y2,15)1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合 （1）求抛物线D的方程; （2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点 若直线l的斜率为1，求MN的长; 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如 果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意,可设抛物线方程为. 由,得. 抛物线的焦点为,. 抛物线D的方程为 4分(2)设,. 直线的方程为：, 联立,整理得: =9分 设存在直线满足题意,则圆心,过

16、E作直线的垂线,垂足为F,设直线与圆E的一个交点为.可得: 11分即= 14分当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.因此存在直线满足题意 16分19（本小题满分16分） 设函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1）的定义域为2分令=a2-4. 当故上单调递增3分 当的两根都小于0，在上，故上单调 递增5分 当的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别 在上单调递增，在上单调递减8分（2）由（1）知，因为，所以又由(1)知，于是10分若存在，使得则12分即 亦即再由（1）知，函数在上单调递增，而，所以与式矛盾故不存在，使得.16分20（本小题满分16分） 记数列的前项和为（N*），若存在实常数，对于任意正整数，都有成立 （1）已知，求证：数列（N*）是等比数列；（2）已知数列（N*）是等差数列，求证：； （3）已知，且，设为实数，若N*，求的取值范围解：（1）由，得（N*）， 从