2022高考总复习 数学(人教A理一轮)2.3　函数的奇偶性与周期性

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.3函数的奇偶性与周期性第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是奇函数关于对称f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如

2、果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x) 最小的正数最小的正数常用结论1.函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶

3、,奇偶=奇.(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.常用结论2.周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)= ,则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.常用结论(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x

4、+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称;(4)若y=f(x)对任意的xR,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则函数y=f(x)的图象关于点 中心对称.(5)已知函数f(x)图象的对称轴为x=m,若f(x)在区间(m,+)上单调递增,则当|x1-m|x2-m|时,f(x1)f(x2);若f(x)在区间(m,+)上单调递减,则当|x1-m|x2-m|时,f(x1)0时,f(x)=aln x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=(

5、)A.-1B.0C.-2D.1答案 C解析 由题意f(-e)=-f(e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x0时,f(x)=-2ln x-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案 D解析 f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.A.是奇函数,且在(0,+)单调递增B.是奇函数,且在(0,+)单调递减C.是偶

6、函数,且在(0,+)单调递增D.是偶函数,且在(0,+)单调递减答案 A 5.(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)= ,则f(-8)的值是.答案 -4解析 y=f(x)是奇函数,f(-8)=-f(8)= =-4.关键能力 学案突破考点1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性: (2)由题意知函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f

7、(x)是奇函数.思考判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得 判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.对点训练1(1)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 (1)C(2)B解析 (1)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-x)=-f(x),

8、g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故函数f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),故函数|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故函数f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故函数|f(x)g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.考点2函数奇偶性的应用【例2】(1)设f(x)-x2=g(x),xR,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为()A.g(x)=x3B.g(x)=cos x C.g(x)=1+xD.g(x)=x

9、ex(2)已知函数y=f(x+1)-2是奇函数,g(x)= ,且f(x)与g(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则x1+x2+x6+y1+y2+y6=.(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f(x)是定义在2b,1-b上的偶函数,且在2b,0上单调递增,则f(x-1)f(2x)的解集为()答案 (1)B(2)18(3) B解析 (1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.(2)因为函数y=f(x+1)-2

10、为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称, 关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,则(x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)=23+43=18.故答案为18.(3)f(x)是定义在2b,1-b上的偶函数,2b+1-b=0,b=-1.f(x)在-2,0上单调递增,f(x)在0,2上单调递减.由f(x-1)f(2x)可得|x-1|2x|,即(x-1)24x2,且-2x-12,-22x2,求得-1x ,故选B.思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?解题心得 1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的

11、奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.对点训练2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x0时,f(x)=xln x,则x0时,f(x)=()A.xln xB.xln(-x) C.-xln xD.-xln(-x)(3)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos x(aR)为偶函数,则a=.答案 (1)B(2)B(3)解析 (1)设x0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上

12、的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.考点3函数周期性的应用【例3】(1)(2018全国2,理11)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)= 则f(5+log26)的值为.解题心得 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.答案 (1)C(2)12解析 (1)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)

13、=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.(2)由题意当x4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+)上的周期为1.因为2log263,所以5+log26(7,8),1+log26(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)= =26=12.对点训练3(1)(2020陕西西安中学

14、八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=()A.-8B.-4C.0D.4(2)(2020陕西二模,文6)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 x0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.答案 -8解析 f(x)是奇函数,f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(4-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1x2x3x4,则x1+x2=2(-6)=-12,x3+x

15、4=22=4,x1+x2+x3+x4=-8.考点5函数性质的综合应用【例5】 (1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2),c=g(),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bc0的解集为()答案 (1)C(2)C(3)D解析 (1)因为奇函数f(x)在R上是增函数,所以当x0时,f(x)0.对任意的x1,x2(0,+)且x1x2,有0f(x1)f(x2),故g(x1)g(x2),所以g(x)在(0,+)上单调递增.因为g(-x)=-xf(-x)=xf(x),所以g(x)为

16、偶函数.又因为log24.1(2,3),20.2(1,2),所以120.2log24.1,而b=g(-20.2)=g(20.2),所以ba0,则f(x)在0,+)上单调递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-,0上也单调递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)0,可得f(2x-1)-f(x-2),即f(2x-1)f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-12-x,解得x1,故选D.思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函

17、数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.对点训练5(1)(2020河南开封三模,理11)若函数f(x)对a,bR,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b0时有f(a)+f(b)0,则称f(x)为函数.下列函数:f(x)=x-sin x,f(x)=ex-e-x,f(x)=ex+e-x, 是函数的为()A.B.C.D.(2)(2020河北张家口二模,理6

18、)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数,并且当x1,2时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)0时有f(a)+f(b)0,即当a-b时有f(a)-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.由f(x)=x-sin x,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),即有f(x)为奇函数;又f(x)=1-cos x0,可得f(x)为R上的增函数,故是函数.f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,又f(x)=ex+e-x0,可得f(x)为R上的增函数,故是函数.f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故不是函数.又f(x)在(-,0),(0,+)上单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)f(1),故不是函数.故选A.(2)根据题意,函数f(x+1)