6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理（2）

1、【新教材】余弦定理、正弦定理教学设 计（人教A版）第1课时余弦定理教材分析本节首先研究把两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从的两边和 它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比拟容易地证明了余弦定理，然后 利用其初步解三角形.教学目标与核心素养课程目标.掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形 问题；.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量 积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.数学学科素养.数学抽象：余弦定理及其推论；.逻辑推理：余弦定理在

2、边角互化中的应用；.数学运算：解三角形；.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，表达了知识之间的辩证统教学重难点重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用;难点：余弦定理的探索及证明.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程一、情景导入问题:在三角形中，两边及其夹角，怎么求出此角的对边？三条边，怎么求出它的三个角呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本42-44页，思考并完成以下问题1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些变形？3、什么是解三角形？要求

3、：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答下列问题。三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2 = b2 + c2 - 2bccosAb2 = a2 + c2 2accosB c2 = a2 + b2 2abcosC推论:2+c、2q22bccosB=2+。2一人22accosC=/+2c22ha2、解三角形一般地，三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为：三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；三角形的三条边就可以求出其它角。四、典例分析、举

4、一反三题型一三边解三角形例1在ZkABC中，角A, B,。所对的边分别为历b, c,且。=7, b=5, c=3,求ZkABC的内角中最大的 角.【答案】120.【解析】V abc,：.A最大.按 +02 -层 52 + 32 7218sA =-= 2x5x3 = F又0。4 150.2、45.【解析】1、由余弦定理得8SB=W=E=一坐又003180。, .*.5=150.2、： b ： c=2 ： 6 :（小+1）,令 a=2k, b=y16k9 c=（+1）Z（QO）.由余弦定理的变形得，Z72 + c2 4Z2 _ 6-+ （小 + 1）2 4）2 仍 cos 2bc2x加攵义（市+1

5、）攵2 ：.A=45.题型二两边及一角解三角形 例2 在A3C中，=3，b=也,8=45。，解此三角形.V6+V2y6y/2【答案】 9, A = 60, C=75。或 c=Y 0 , A = 120, C=15.【解析】由余弦定理知b2=a1+c2-26zccos B,2 = 3 + 4-2仍.乎c即 *一加c+l=0.解得C=卑正或c=监亚,当c=4牛舄寸，由余弦定理得 乙乙乙cos A= 7T2bccos A= 7T2bc2 + /+/一层，十LZ!=i加+/2,.2V0/l180o, /M = 60, A C=75.V0/l180o, /M = 60, A C=75.当=加二律时,由余

6、弦定理得Z72+c2z2cosA= 2bcZ72+c2z2cosA= 2bc1-2-V0A180, AA = 120, C=15.V6+V2y6y2故 c= V ,、，A = 60, C=75。或 c=V 八,A=120, C=15.乙乙解题技巧：（两边及一角解三角形的方法及考前须知）(2)一般地,解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理.使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角.假设使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数 问题.跟踪训练二1.在ABC 中,C 15co=9 BC=, AC=5,那么 A3=( 乙 JA. 42B.V30C./29【答案】A.

7、【解析】COSc VI.cos C=2cos-y52_535,= 32,在ABC 中，由余弦定理，得 A4nAG+BG-ZACBCcosCnSZ+yzxSxlx；AB=4y/l题型三 余弦定理在边角转化中的应用 例3 (1)在ABC中，角A, B, C所对应的边分别为q, b, c,从x)sC+ccos 3=24那么彳=(2)在A3C 中，假设 lgm+c) + lg(-c) = lg/?1的上，那么 A =【答案】(1) 2, (2) 120.2 + 按一3层 + ” yi 22【解析】(1)由余弦定理得反。sC+ccosF-+c.F=端=凡 所以=24即月=2.(2)由题意可知 lg(a+c)(tzc)=1g b(Jb+c),所以(a+c)(ac)=Z?(/?+c),即 b2-c2a2= be.所以cos A =/?2 + c2 z22hc12,又 0。4 屹 nx七、作业 课本44页练习，52页习题6.4的6题.教学反思本节课主要考察学生对于公式的理解与应用的能力，在如何正确应用余弦定理公式的问题上。通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指 引下通过向量法证明出余弦定理，能掌握余弦定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但 是在运用过程中我们发现，学生