第五课分式比例的性质

1、第五课 分式，比例的性质学习目标： 理解分式的基本性质 ，会用分式的基本性质进行简单恒等变形；理 解比例的性质，会应用比例的性质化简。一、基本概念1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都同时乘以或除以同一个 不为零 的整式，分式的值不变 这个性质叫做分式的基本性质 。用式子表示是 A=A? ； A=A（其中 M是不为零的整式）。B B? B B2（1） 当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同乘以 -1, 使分式的值不变， 且分子分母都不含负号。当分子或分母含有负号时， 利用分式的基本性质及有关法则， 把分子或分母的符 号变为的符号。3合比性质的表达 文字：在一个比例里， 第一个比的前后项的和

2、与它后项的比， 等于第二个比的前 后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。字母：已知 ，且有 ， 如果，则有。推导过程：4 分比性质的表达 文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项 的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。字母 ：已知 ，且有 ，如果 ，则有。推导过程合分比性质的表述文字：在一个比例等式中， 第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。字母：已知 ，且有 ，如果 ，则有。推导过程令则等比性质的表达文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比

3、例与原比例相等字母：已知 ，且有 ，如果 ，则有推导过程证法证法二由合比性质推论已知 ，且有 ，如果，则有更比性质的表达文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后 , 所得结果仍是 比例.字母：如果 a/b=c/d 那么 a/c=b/d （b、 d0）推导过程a/b=c/d 等号两边同乘 bd 得 ad=cb 同除 dc 得 a/c=b/d外项的积等于内项的积文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的 基本性质 。字母：如果 （ ， ， ， 都不等于零），那么 推导过程用 去乘的两边， 得 bd ，所以 典型例题yxy例 1若 a、 x、y 都是不为 0 的数，将 1 的分子与

4、分母都乘以 y ，得到x则分式 1 与 y 相等吗？ （ 相等 ）x xya 1 a b例 2： 1、若, 则_例 ： b 2 b,a b _,a 2bbba b 3 a b 分析： ,1,a 2b5b 2 b 2 b 22、如图，已知 AE 2， EC 3且 AD AEDB EC 则 AB DB将分式 2x的分子与分母都除以 x，得到 2，分式 2x与2相等吗？ （ 相等 ） ax a ax a1)1)AB AD DB分析：AE EC235DB DBEC333、已知x2,则3yxxyyx; 2xy分析：yx22 x y235x325; 2x y2g2314、若 a bc de f2,则bac

5、 def_a 2c 3eb2d3f(其中 bdf0,b2d3f0)分析：ace2b2c2f2; a2c3e 2bdfbdfb2d3f5、若 ace2,且ace 4，则bdfbdf3(其中 bdf0)分析：ace2,且ace4，则ace4bdbdf3bdf6例3 1、已知 x:y:z 1:2:3,则x 2y z zxx 2 y z x 4x 3x41zx3x x2、已知 xyz , 且2x yz 4, 则 x y z _235分析：xyz k,责2 x yz 4k 3k 5k 4235k 2则xy z 2k 3k5k 203、若2x 3y 4z,则 x: y: zxz xy分析：2x 3y 4z

6、 12k,则 x: y: z 6:4:3;x z 6k 3k 9 x y 6k 4k 2三、当堂检测1、下面各组中的分式相等吗？为什么？m n与 2m 2na 2a2)ab 与 b 1ac c4) a 与 a2、下面的式子正确吗？为什么？x2 x6m 12nm2n（1）=（ 2）x 1 2 x 18m 12 n2m3n3、若 3x 2y,则 x y4、若 mx ny, 则 x y5、ab若 a b c 0, 设acbc k, 则kcba四、课堂小结与反思五、课后练习231、若 2 a 与 a ，则x x42、若3,x 2, 4,x 1成比例，则 x 3、若 a m 2,那么 a m ;a mb

7、 n 3 b nb n(其中 b n 0,b n 0)4、已知 ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 ab bc ca 则 ABC的形状是 5、若 2x 5y,则下列比例式成立的是（）x A)yB) 5xyC) xy 252552y5abcD)3x6、若b c a c a bk,则 k 5、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (ab c)25、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (ab c)2第六课 因式分解学习目标：学会 十字相乘法， 公式法，分组分解等 各种方法进行因式分解， 熟记平方差，完全平方等常用的一些因式分解公式 。一、基本概念定义： 把一个多项式化为几个最简整式

8、的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解(也叫作分解因式) .因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤二、因式分解三原则1分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式)2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：3x2 x x( 3x 1) )三、基本方法(一) 提公因式法 ma mb mc m(a b c)如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提取公因式法 .找公因式的一般步骤：(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；( 2)取相同的字母，字母的指数取次数最低的；

9、(3)取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；( 4)所有这些因式的乘积即为公因式 .( 5)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出 “-”号时，多项式的各项都要变号.口诀： 找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶 .(二) 公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系， 某些多项式分解因式 .221、平方差公式：a2 b2 (a b)(a222、完全平方公式： a2 2ab b2 (a3、立方和公式：a3 b3 (a b)(a24、立方差公式：a3 b3 (a b)(a2如果把乘法公式反过来， 那么就可以用来把

10、b)b)2ab b2)ab b2)6、完全立方公式： a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)37、 a3 b3 c323abc (a b c)(a2b2 c2 ab bc ca)（三）分组分解法 能分组分解的多项式一般有四项或大于四项， 分法、三一分法 .（四）十字相乘法口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中1. 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 x2 （p q）x pq （x 特点： （ 1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和2. 二次项系数不为 1条件：（1）（2）（3） 分解结果：般的分组分解有两种形式：p）（x q） 进行分

11、解的二次三项式2axa1a2c1c2a1c2ax 2 bxbx c a1c1a2c2a2c1b a1c2 a2c1c=(a1x c1)(a2x c2)3. 二次项系数为 1 的齐次多项式 2例、 分解因式： a2分析：将 b 看成常数，( 16b)a 8b ( 16b)22例、 x2 y2 3xy 2把 xy 看作一个整体 1-11-2(-1)+(-2)= -3 解：原式 =(xy 1)(xy 2)28ab 128b 2把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+（-16b）= -8b 解： a2 8ab 128b2=a2 8b 4. 二次项系数不为 1

12、 的齐次多项式 例、 2x2 7xy 6y 21-2y2-3y（-3y）+（-4y）= -7y 解：原式 =（x 2y）（2x 3y）（五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元 .（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形 .（七）配方法 对于某些不能利用公式法的多项式， 可以将其配成一个完全平方式， 然后再利用平方差 公式，就能将其

13、因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形 .（八）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解特殊值法将2或10代入 x，求出数 P，将数 P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后 的每一个因数写成 2或 10的和与差的形式，将 2或 10还原成 x，即得因式分解式 . (十)待定系数法首先判断出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数， 从而把多 项式因式分解 .(十一)长除法不足的项要用 0 补，除的时候，一定要让第一项抵消、典型例题(一)提公因式法例 1分解因式 x

14、32x2x解：x3 2x2 xx(x22x 1)(二)公式法例 2、分解因式 a24ab4b2解： a2 4ab 4b2 (a 2b)2例 3、已知 a,b,c是 ABC的三边，且 a2 b2 c2 ab bc ca ，则 ABC的形状是 ( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形解：a2 b2 c2 abbcca222a2 2b222c2 2ab 2bc 2ca(a b)2 (bc)2(ca)2 0 abc(三)分组分解法例4、 分解因式 amanbmbn.解：原式 =(aman)(bm bn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)

15、例 5、 分解因式 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式 =(2ax 10ay) (5by bx) =2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)(四)十字相乘法例 6、 分解因式： x2 5x 6解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。原式= ( 2ax bx) ( 10ay 5by) = x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y)分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于 6=2 3=(-2) (-3)=16=(-1) (-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 12132+3=5.

16、解：22x2 5x 6= x2 (2 3)x 2 3 = (x 2)(x 3) 用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积， 次项的系数 .例 7、 2x2 7xy 6y 21-2y2-3y12+13=5且这两个因数的代数和要等于22例 8、 x2 y 2 3xy 把 xy 看作一个整体解：原式 =(x(五)换元法(-3y)+(-4y)= -7y2y)(2x3y)解：21-11-2(-1)+(-2)= -3 原式 =(xy 1)(xy 2)例9、分解因式 (x2x 1)x2x 2)12解：令y x2 x则原式 (y 1)(y2)122 y3y10(y5)(y(x2 x5)(x2x2)

17、(x2x5)(x2)(x(六)拆项、添项法例10、分解因式 bc(bc)ca(ca)ab(ab)解：原式 bc(ca a b)ca(c a)ab(a b)bc(ca)bc(ab)ca(ca)ab(ab)bc(ca)ca(ca)bc(ab)ab(ab)(bcca)(ca)(bcab)(ab)c(ca)(ba)b(ca)(ab)2)1)(cb)(c a)(ba)七)配方法例 11、分解因式x24x 3解：原式 x2 4x4 4 3 (x 2)2 1(x 2 1)(x1) (x 3)(x 1)八)主元法2 2 2b)例 12、分解因式 a2(b c) b2(c a) c2(a解：原式 a 2 ( b

18、 c)a(b2c2)(b2cc2b)(bc)a2a(bc)bc(bc)(ab)(ac)(九)特殊值法例 13、分解因式 x 39x223x15解：令x 2 ，则 x39x223x158 3646 15 105将105分解成 3 个质因数的积，即105 357注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2时的值 32则 x3 9x2 23x 15 (x 1)(x 3)( x 5)(十)待定系数法例 14、 分解因式 x4 x3 5x2 6x 4 解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式于是设 x4 x3 5x2 6x 4 ( x

19、22ax b)( x cx d )所以解得所以x 4 (ac)x 3 (ac baacadbd1，b 1， c2d ) x2 (ad bc) x bdc1bdbc42，dx3 5x2 6 x4 (x22x 1)(x2 2x 4)长除法例 15、 分解因式 3x3 5x2解：提示： x 1可以使该式 0，有因式 (x 1) ，如下图，所以原式 (x 1)(3x2 2x 2)三、当堂检测1分解因式： a2 8ab 128b 22. 分解因式： 3x2 11x 103. 分解因式( 1) 2005x2 (20052 1)x 20054.5y 6 能分解因式，并分解此多项式 1和x 2，求 a b的值

20、 .2 (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x21）当 m 为何值时，多项式 x2 y 2 mx2）如果 x3 ax2 bx 8有两个因式为 x四、课堂小结与反思五、课后练习1分解因式： x2 y 2 ax ay2 2 22. 分解因式： a2 2ab b2 c 23. 分解因式： x2 7x 64. 分解因式 x 2 xy 6y2 x 13y 6225、分解因式 x2 5xy 6y 2 8x 18y 126、 分解因式 ab b2 a b 2第七课 解方程（组）的方法学习目标：学会解一元一次方程，一元二次方程，简单的分式方程，及学会解二元一次方程组 。一、基本概念1. 解一元一

21、次方程的步骤： 去分母；去括号；移项；合并同类项：把方程化成 ax=b（a 0） 的形式； 得到方程的解 x=b/a.2 、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方 程。一元二次方程有四种解法：（1）、直接开平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。3. 解分式方程的基本思想就是设法将分式方程“转化”为整式方程。（ 1）解分式方程的基本方法去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分 母，使分式方程转化为整式方程， 但要注意，可能会产生增根， 所以，必须验根（ 2）解分式方程的其它方法1. 拆项法 2. 通分法 3. 交

22、叉相乘法4. 二元一次方程组的解法（1）代入消元法（ 2）加减消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的 个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。 这种将方程组中的未知数 个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。二、典型例题例 1一个三位数的百位数字是十位数字的 2 倍，个位数字比十位数字少 1，若把这个三 位数的百位数字跟个位数字对调，得到的新三位数比原三位数小396，求原三位数】分析：先找关键句 - “若把三位数的百位数字跟个位数字对调以后得到的新三位数比原三 位数小 396”，做这道题还要会用 x 表示三位数。若设 原三位数 的个位数字是 x，由题

23、意十位数字为 x+1，百位数字是 2（x+1） 原来三位数大小可表示为 2（x+1） 100+（x+1） 10+x对调后 新的三位数 个位数字是 2（ x+1），则十位数字为 x+1，百位数字是 x 新三位数大小可表示为 100 x+（ x+1 ） 10+2（ x+1） 解：设原来三位数的个位数字是x解：设原来三位数的个位数字是x由题意得到方程（ x+1） 100+（x+1）10+x=100 x+（x+1） 10+2（x+1）+3962（ x+1） 100+（ x+1） 10+x=100 x+（x+1）10+2（x+1）+396（约去代数式 ）2（x+1） 100+x=100 x+2 （ x+

24、1 ） +396（去括号）200 x+200+x=100 x+2x+2+39699x=198x=2（移项，合并同类项）系数化为 1）原来的数字个位 2，十位 x+1=3，百位 2（ x+1）=6。该三位数为 632 答：原来的三位数是 632例 2：（1）. 解方程： 2x 2 2 2b2-4ac （-3a） 2-4 1 （2a 2+ab-b 2） 3 5x2解：移项，得： 2x 2-5x 30，22）解方程： 2x2+7x-4 0 a 2，b7，c -4 22b2-4ac 72-4 2（-4） 49+32 81223）解方程： x2-a（3x-2a+b）-b 2 0（a-2b 0）2 2 2

25、x -3ax+2a -ab-b 022a1，b-3a ， c 2a2-ab-b 222 9a2-8a 2-4ab+4b a2-4ab+4b 2 (a-2b)当(a-2b 0) 时，得(4) 2x2 5x 2 0解： 可以分解为( x-2)(2x-1)=0解得 x1=21x2=21221 x 1 ，约去分母，例 3：(1) x 1 x 2 1 解：方程两边都乘 x 得： x 1 2, x 1 。检验：当 x 1时， x 1 x 1 0 。 所以： x 1是增根，即：原方程无解。x 7 x 3 x 4 x 6(2) 解方程： x 9 x 5 x 6 x 8 。x 9 2 x 5 2x62x82解：

26、 x 9x5x6x822221111即 x 9x5x6x8，1111移项，整理，得 x 9x 8 x6x 5 ，x8x9x5x6x 9 x 8x 6 x5，11x 9 x 8x 6 x5，去分母，得x 6 x 5x9x8解得： x 7。经检验， x7原方程的根。x 3 x4x1x2(3) 解方程：x 4 x5x2x3。方程两边分别通分，得222x 3 x 5 x 4 xx 5 x 411 即 x 5 x 4 x 3 x 2 ， x 5 x 4 x 2 x 3，7x解得2 。7x经检验，2 是原方程的根。原方程的根是2 3x 3 2x(4) 解方程： 3x 1 2x 2 。7x解：原方程化为 2 3x 2x 2 3 2x 3x 1 ，整理得 13x 7 ， 13 7x经检验 13 是原方程的根。7x原方程的根是13 。例4：(1)xy82x