第十一章 _动量定理

1、第十章 动量定理(dn lin dn l)共四十九页实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体(zhngt)的运动情况。动力学普遍(pbin)定理概述对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。共四十九页 它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量

2、矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理(dngl)来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要(zhngyo)形式质心运动定理。共四十九页2动量定理(dn lin dn l)3质心运动(yndng)定理第十章 动量定理1动量与冲量共四十九页 一、动量(dngling) 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。 动量是度量(dling)物体机

3、械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 10-1 动量与冲量共四十九页2. 质点系的动量(dngling)写成分量(fn ling)形式为 式中，Px、Py、Pz分别表示质点系的动量P在轴x、y、z轴上的投影。 共四十九页质点系的质量(zhling)中心(简称质心)C的矢径为 即两端(lin dun)同时对时间求导，可得 可见，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。上式可写成分量形式为共四十九页 3.刚体系统的动量：设第i个刚体则整个系统：【例10-1】曲柄(qbng)连杆机构的曲柄(qbng)OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆A

4、B都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。共四十九页 解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB： （ P为速度瞬心， ） 共四十九页 共四十九页下图所示几种(j zhn)运动刚体的动量： 1、细长杆的动量(dngling)为P=ml/2，方向与vC 方向相同 2、在水平地面上作纯滚动的均质滚轮的动量为P=mr，方向与vC方向相同 3、绕轮心转动的均质轮，则不论轮子转动的角速度有多大，也不论轮子的质量多大，由于其质心不动，其动量总是等于零。 共四十九页例102已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动(gndng)，m20kg， R100mm， OA杆的角速度为 ，圆盘相对于O

5、A杆转 动的角速度为 ， 。求：此时(c sh)圆盘的动量。共四十九页 解：共四十九页已知: 为常量,均质杆OA = AB = ,两杆质量皆为 , 滑块 B 质量 . 求:质心运动(yndng)方程、轨迹及系统动量.例10-3共四十九页解:设 ，质心运动方程为消去t 得轨迹(guj)方程共四十九页系统动量(dngling)沿x, y轴的投影为:系统动量(dngling)的大小为:共四十九页2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量： 冲量：1力是常矢量：二、冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应(xioyng)的度量。共四十九页 3合力的冲量：等

6、于各分力(fnl)冲量的矢量和冲量的单位：与动量单位同共四十九页冲量的一些(yxi)实例共四十九页10-2 动量定理(dn lin dn l)1.质点(zhdin)的动量定理或即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.在 内, 速度由 , 有 即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.质点动量定理的微分形式质点动量定理的积分形式共四十九页2.质点系的动量定理(dn lin dn l)外力: , 内力: 内力(nil)性质:质点:质点系:或质点系动量定理的微分形式 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的

7、外力的矢量和.共四十九页 即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力(wil)冲量的矢量和.质点系动量定理(dn lin dn l)微分形式的投影式 质点系动量定理积分形式的投影式质点系动量定理的积分形式3质点系动量守恒定律若 , =恒矢量若 , = 恒量共四十九页设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块运动(yndng)分析， 例10-4 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面(ximin)上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。共四十九页由水

8、平方向(fngxing)动量守恒及初始静止；则共四十九页 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.例10-5共四十九页得解:由动约束力附加(fji)动约束力共四十九页dt 内流过截面的质量(zhling)及动量变化为 流体在变截面(jimin)弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力.流体受外力如图,由动量定理,有例10-6解:共四十九页 为静约束力; 为附加动约束力由于 得即 设共四十九页 由作用与反作用定律，流体对管壁的附加动压力 的大小等于此附加动反力，但方向相反，即

9、 管内流体流动时给予管壁的附加动压力(yl),等于单位时间内流入该管的动量与流出该管的动量之差。设计高速管道时，应考虑附加动压力的影响。 如图所示一水平的等截面直角形弯管。当流体被迫(bi p)改变流动方向时，对管壁施加有附加的动反力共四十九页 设进口截面的截面面积为S1，出口截面的截面面积为S2。进口平均流速为v1，出口平均流速度v2，流体的密度为。应用上面分析的结论，可知流体对管壁施加附加(fji)的动压力，它的大小等于管壁对流体作用的附加(fji)动反力，即 由此可见，当流速(li s)很高或管子截面面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处要安装支座。共四十九页【例10-7】如图所示均

10、质滑轮半径分别(fnbi)为r1和r2，两轮固连在一起并安装在同一转轴O上，两轮共重为Q，两重物的重量分别为P1、P2。已知M1向下运动的加速度为a1，求滑轮对转轴的压力。 解：以整体为研究(ynji)对象，受力分析如图所示。用动量定理，可得 而代入上式，可得 共四十九页应用动量定理解题(ji t)步骤大致如下： (1) 选取研究对象，分析研究对象上的外力(wil)(包括主动力 和约束反力)。 (2) 如果外力主矢等于零或外力在某轴上的投影代数和等于零，则应用质点系动量守恒定理求解。 (3) 如果外力主矢不等于零，先计算质点系的动量在坐标轴上的投影，然后应用动量定理求未知力(一般为约束反力)。

11、计算动量的速度必须是绝对速度，并要注意动量和力在坐标轴上的投影的正负号。 共四十九页10-3 质心(zh xn)运动定理 问题(wnt)：内力是否影响质心的运动？由得或 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.质心运动定理质心运动定理与动力学基本方程有何不同？共四十九页质心(zh xn)运动守恒定律在直角坐标(zh jio zu bio)轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:若 则 常矢量 若则 常量 共四十九页若，则 常矢量，质心作匀速直线运动;若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变

12、。质心(zh xn)运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。共四十九页均质曲柄AB长为r,质量为m1 ,假设受力偶作用以不变的角速度转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ,质心(zh xn)在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A 处的最大水平约束力Fx .例10-8共四十九页显然(xinrn),最大水平约束力为应用质心(zh xn)运动定理,解得如图所示解:共四十九页求:电机外壳(wi k)的运动.已知：地面水平,光滑

13、, , , ,初始静止, 常量.例 10-9 共四十九页设由 ,得解:共四十九页【例10-10】 如图所示滑块A质量为m，可在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长为L，质量不计，A端与滑块A铰接，B端装有质量为m1的小球，在铅直平面内可绕点A转动。设在力矩作用下，转动角速度为常数，初始时 ，弹簧恰为原长，求滑块A的运动规律。 解：取整体为研究对象，受力如图所示，建立水平向右的坐标轴Ox，点O取在运动初始时滑块A质心(zh xn)上，质点系的质心坐标为共四十九页根据(gnj)质心运动定理，有 解此微分方程，并注意到初始条件t = 0时， ， 故可得A的

14、稳态解的运动规律为共四十九页解：取人和船组成(z chn)的系统为研究对象，受力分析如图所示。取坐标轴如图所示。设人在走动前，人和船的质心x坐标分别为a和b。则系统质心的坐标为【例10-11】如图所示的小船，船长为l，质量为m，船上有质量为m1的人。设初始(ch sh)时小船和人静止，人站立在船的最左端，后来沿甲板向右行走，如不计水的阻力，求当人走到船的最右端时，船向左移动的距离为多少？共四十九页由于(yuy)在x轴上的坐标保持不变，即解得当人走到船的右端时，设船移动的距离为s，则系统质心(zh xn)的坐标为共四十九页解：取起重(q zhn)船，起重(q zhn)杆和重物组成的质点系为研究对

15、象。例10-12 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力(zl)不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。共四十九页船的位移(wiy)x，杆的位移重物(zhn w)的位移计算结果为负值，表明船的位移水平向左。共四十九页应用质心运动定理解题(ji t)的步骤如下： (1) 选取(xunq)研究对象，分析受力(画出质点系所受全部外力，包括主动力和约束反力)。 (2) 如果外力主矢等于零，或外力在某轴上的投影为零，则应用质心运动守恒定理求解。若初始静止，则质心的坐标保持不变。分别计算两个时刻质心的坐标(用各质点的坐标表示)，令其相等，即可求出所要求的某质点位移。共四十九页 (3) 如果外力主矢不等于零, 若已知质心的运动规律, 先求出质心加速度,然后应用(yngyng)质心运动定理求未知力(一般为约束反力) ；若已知作用于质点系的外力，先计算质心坐标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。共四十九页Thank You !共四十九页内容摘要第十章 动量定理。