柯西不等式课后作业

1、 柯西不等式课后作业一、选择题1.若a2b21，x2y22，则axby的最大值为()A.1B.2 C.eq r(2) D.4【答案】C【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axbyeq r(2).2.若实数a，b，c均大于0，且abc3，则eq r(a2b2c2)的最小值为()A.3 B.1 C.eq f(r(3),3) D.eq r(3)【答案】D【解析】abc1a1b1c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1a1b1c)2(121212)(a2b2c2)，a2b2c23.当且仅当abc1时等号成立，eq r(a2b2c2)的最小值为eq r(3).3.已知xy1，且x0，y0

2、，那么2x23y2的最小值是() A.eq f(5,6) B.eq f(6,5) C.eq f(25,36) D.eq f(36,25)【答案】B【解析】2x23y2(2x23y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)eq f(6,5)eq f(6,5)eq blc(rc)(avs4alco1(r(2)xf(r(2),2)r(3)yf(r(3),3)eq sup21(2)eq f(6,5)(xy)2eq f(6,5)，当且仅当eq r(2)xeq f(1,r(3)eq r(3)yeq f(1,r(2)，即xeq f(3,5)，yeq f(2,5)时等号成立，2x2

3、3y2的最小值为eq f(6,5).4.若aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)1，beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)4，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A.1 B.1 C.2 D.2【答案】C【解析】(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值为2.5.已知a2b2c21，x2y2

4、z21，taxbycz，则t的取值范围为()A.(0,1) B.(1,1) C.(0，1) D.1,1【答案】D【解析】设(a，b，c)，(x，y，z).|eq r(a2b2c2)1，|eq r(x2y2z2)1，由|，得|t|1.t的取值范围是1,1.二、填空题6.已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_.【答案】12【解析】a2b3c6，1a12b13c6，(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当eq f(1,a)eq f(1,2b)eq f(1,3c)，即a2，b1，ceq f(2,3)时取等号.7.若a(1,0，2)，

5、b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为_.【答案】4eq r(5) 【解析】由题知，abx2z，由柯西不等式知 1202(2)2(x2y2z2)(x02z)2，当且仅当向量a与b共线时“”成立，516(x2z)2，4eq r(5)x2z4eq r(5)，即4eq r(5)ab4eq r(5).故ab的最大值为4eq r(5).8.已知aeq r(1b2)beq r(1a2)1，则a2b2_.【答案】1【解析】由柯西不等式得(aeq r(1b2)beq r(1a2)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当eq f(b,r(1a2)eq f(r(1b2),a)时，上式取等号，ab

6、eq r(1a2)eq r(1b2)，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.三、解答题9.已知为锐角，a，b均为正数.求证：(ab)2eq f(a2,cos2)eq f(b2,sin2).【证明】设meq blc(rc)(avs4alco1(f(a,cos )，f(b,sin )，n(cos ，sin )，则|ab|eq blc|rc|(avs4alco1(f(a,cos )cos f(b,sin )sin )|mn|m|n| eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(a,cos )sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(b,sin )sup12(2)eq r(

7、1) eq r(f(a2,cos2)f(b2,sin2)，(ab)2eq f(a2,cos2)eq f(b2,sin2).10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.【解】如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为eq r(4R2x2)，于是 ABCD的周长l2(xeq r(4R2x2)2(1x1eq r(4R2x2).由柯西不等式得l2x2(eq r(4R2x2)2eq f(1,2)(1212)eq f(1,2)2eq r(2)2R4eq r(2)R.当且仅当eq f(x,1)eq f(r(4R2x2),1)，即xeq r(2)R时等号成立.此时，宽eq r(4R2r(2)R2)eq

8、r(2)R，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4eq r(2)R.能力提升1.函数yeq r(x22x3)eq r(x26x14)的最小值是()A.eq r(10) B.2eq r(10) C.112eq r(10) D.eq r(10)1【答案】D【解析】yeq r(x122)eq r(3x25).根据柯西不等式，得y2(x1)22(3x)252eq r(x1223x25)(x1)22(3x)252(x1)(3x)eq r(10)(x1)(3x)2252eq r(10) 112eq r(10)，当且仅当eq f(x1,3x)eq f(r(2),r(5)，即xeq f

9、(2r(10)1,3)时等号成立.此时，ymineq r(112r(10)eq r(10)1.2.已知a，b，c均大于0，Aeq r(f(a2b2c2,3)，Beq f(abc,3)，则A，B的大小关系是()A.AB B.AB C.AB D.AB【答案】B【解析】(121212)(a2b2c2)(abc)2，eq f(a2b2c2,3)eq f(abc2,9)，当且仅当abc时，等号成立.又a，b，c均大于0，abc0，eq r(f(a2b2c2,3)eq f(abc,3).3.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则eq f(abc,xyz

10、)_. 【答案】eq f(5,6)【解析】由柯西不等式知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当eq f(a,x)eq f(b,y)eq f(c,z)k时取“”.由k2(x2y2z2)22536，解得keq f(5,6)，所以eq f(abc,xyz)keq f(5,6).4.已知a1，a2，an都是正数，且a1a2an1.求证：eq f(aoal(2,1),a1a2)eq f(aoal(2,2),a2a3)eq f(aoal(2,n1),an1an)eq f(aoal(2,n),ana1)eq f(1,2).【证明】根据柯西不等式得左边eq f(a

11、oal(2,1),a1a2)eq f(aoal(2,2),a2a3)eq f(aoal(2,n1),an1an)eq f(aoal(2,n),ana1)(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,r(a1a2)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,r(a2a3)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a3,r(a3a4)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an1,r(an1an)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an,r(ana1)eq sup21(2)eq f(1,2)(eq r(a1a2)2(eq r(a2a3)2(eq r(an1an)2(eq r(ana1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1,r(a1a2)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,r(a2a3)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an1,r(an1an)eq sup21(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(an,r(ana1