5.3.1 正弦函数的图象和性质

1、函数函数函数函数5.3.1 正弦函数的图象和性质 在单位圆中，如何作出一个角的正弦线？ o11PM正弦线 MP三角问题几何问题单位圆与正弦线 复习 利用正弦线作出 的图象.-11-1-作法:(1) 等分;(2) 作正弦线;(3) 平移;(4) 连线. 一、正弦函数的图象新授正 弦 曲 线-1-1 由终边相同的角三角函数值相同，所以 ysin x 的图象在 ，-4 ，-2 ， -2 ，0 ， 0，2 ，2 ，4 ， 与 ysin x，x0，2 的图象相同 ，于是平移得正弦曲线 . 新授与 x 轴的交点:图象的最高点:图象的最低点: 观察 y sin x ，x 0，2 图象的最高点、最低点和图象与

2、 x 轴的交点？坐标分别是什么？-11-五点作图法新授列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标连线：用光滑的曲线顺次连结五个点描点：定出五个关键点五 点 作 图 法新授例1 画出函数 ysin x + 1， x0，2 的简图解 列表描点作图-例题讲解x6yo-12345-2-3-41 定义域(1) 值域xR 1, 1 二、正弦函数的性质时，取最小值1；时，取最大值1；观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：新授周 期 的 概 念一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( xT ) f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常

3、数 T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期新授 由公式 sin (xk 2 )sin x (kZ) 可知： 正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ， ，2 ，4 ， ， 2k (kZ 且 k0)都是正弦函数的周期 2 是其最小正周期 . (2) 正弦函数的周期性新授 (3) 正弦函数的奇偶性由公式 sin(x)sin x图象关于原点成中心对称 .正弦函数是奇函数xyo-1234-2-31新授在闭区间 上, 是增函数； (4) 正弦函数的单调性xyo-1234-2-31 xsinx 0 -1 0 1 0 -1在闭区间 上，

4、是减函数.？观察正弦函数图象新授最值单调性2周期性奇函数奇偶性-1,1值域R定义域正弦函数的性质小结1 、 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。解：使y=2+sinx取得最大值的x的集合是： 使y=2+sinx取得最小值的x的集合是： 周期 练习2、 不求值，比较下列各对正弦值的大小：（）（） 解：（）且y=sinx在 上是增函数， （）且y=sinx在 上是减函数， 3、求y= 5+sinx这个函数的最大值、最小值和周期，并求这个函数分别取得最大值及最小值的x的集合。使y= 5+sinx取得最大值的x的集合是:使y= 5+sinx取得最小值

5、的x的集合是:解：4、不求值，比较下列各对正弦值的大小：（）（）解:(1)课堂小结：1.正弦函数的图像形状及画法.2.正弦函数的性质：定义域值域周期奇偶性单调区间取最值集合1.求使ysin2x，xR并说出最大值是什么2.求y1+的定义域取得最大值的自变量x的集合，补偿练习：3.求函数 的最值4.求下列函数取最大值时X的取值集合（1）（2）5.求下列函数的单调区间（1）（2） 例1.作y=2sinx及y= sinx的图像. 解：两个函数的周期都是2 ，先作0,2 上的简图. 列表：x0sinx010- 102sinx020- 20 sinx00-0yxo2-2y=2sinxy=sinxy= si

6、nx. 一、y=Asinx的图像 小结:一般地函数y=Asinx,xR(其中A0,且A1)的图像,可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A1时)或缩短(当0A0且 1)的图像,可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 1时)或伸长(当0 0时)或向右(当 0时)平行移动 个单位长度而得到. x+ 叫相位， 叫初相. 由y=sinx到y=sin（x+ ）的变换叫相位变换.练习:不画图,说明下列函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到:1.y=4cosx 2.y=sin x 3.y= sin4x 4.y=sin(x+ )总结: 1.会用五点作图法作y=Asinx y=sin x y=s

7、in(x+ )的简图2.A 有关名称及意义: 振幅周期频率相位初相3.掌握: y=Asinxy=sin xy=sin(x+ ) 的图像与y=sinx的图像的关系探究二：（ 0）对 的图象的影响 思考1：函数 周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？2oyx思考2：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 2oyx函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 2oyx思考3：用“五点法”作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 2oyx3函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐

8、标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的.2oyx3思考4：一般地，对任意的 （ 0），函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的横坐标缩短（当 1时）或伸长（当0 1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 思考5：上述变换称为周期变换，据此理论，函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.思考6：函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 函数 的图象，可以看作是先把 的图象向右平移 ,再把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.理论迁移 例1 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 ( )A向左平移个 单位 B向右平移个 单位 C向左平移个 单位 D向右平移个 单位D 例2 画出函数 的简图，并说明它是由函数 的图象进行怎样变换而得到的？ 2oyx小结作业1.函数 的图象可以由函数 的图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位分别由的符号和绝对值所确定.2.对函数 的图象作周期变换，它只改变