第7章-动态电路的时域分析-课件

1、第 7 章 动态电路的时域分析7.1 换路定律及初始值的计算7.2 一阶电路的零输入响应7.3 一阶电路的零状态响应7.4 一阶电路的全响应7.5 一阶电路的三要素法*7.6 二阶电路分析 7.1 换路定律及初始值的计算7.1.1 过渡过程的概念如图7.1所示电路。 图 7.1 实验电路7.1.2 换路定律及初始值的计算前已述及，若电容电流和电感电压为有限值，则电容电压和电感电流均不能跃变，即 (7-1)式(7-1)表述的换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变的结果，通常称为换路定律。例 7.1 图7.2(a)所示电路中，已知US=18 V，R1=1 ，R2=2 ，R3=3 ，L=0.5 H，

2、C=4.7 F，t=0时，S闭合，设S闭合前电路已处稳态。求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。图 7.2 例 7.1 图解 第一步，作t=0等效电路如图7.2(b)所示，电感相当于短路，电容相当于开路。第二步，根据t=0等效电路，计算换路前的电感电流和电容电压： 根据换路定律，可得第三步，作t=0+等效电路如图7.2(c)所示，电感L相当于一个 6 A的电流源，电容C相当于一个 12 V的电压源。第四步，根据t=0+等效电路，计算其它的相关初始值： 例 7.2 图7.3(a)所示电路在t=0时换路，即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定，求换路后的

3、初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。图7.3 例 7.2 图解 (1) 作t=0等效电路如图7.3(b)所示。则有 (2) 作t=0+等效电路如图7.3(c)所示。由此可得例7.3 如图7.4(a)所示电路，t=0时刻开关S闭合，换路前电路无储能。试求开关S闭合后各电压、电流的初始值。图 7.4 例 7.3 图解 (1) 根据题中所给定条件，换路前电路无储能，故有(2) 作t=0+等效电路如图7.4(b)所示，电容相当于短路，电感相当于开路。则有 7.2 一阶电路的零输入响应零输入响应是指动态电路无激励，仅由初始储能产生的响应。工程实际中典型的无电源一阶电路有电容放电电路(称RC电

4、路)和发电机磁场的灭磁回路(称LC电路)。7.2.1 RC电路的零输入响应 根据图7.6所示电路电压、电流的参考方向，依KVL有图7.6 RC电路的零输入响应将 (式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致)，将其代入上式可得 (7-2)式(7-2)为常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学知其通解形式为uC=Aept。其中p是特征方程的根，A为待定积分常数。式(7-2)的特征方程可将uC=Aept 代入而得RCp+1=0特征根将初始条件uC(0+)=Uo 代入上式，可得A=Uo，则 (7-3)式(7-3)就是零输入响应，即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。电路中的放电电流i(t

5、)和电阻电压uR(t)分别为 (7-4) (7-5) 从式(7-3)、(7-4)和式(7-5)中可以看出，电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的，它们随时间变化的曲线如图7.7(a)、(b)所示。图7.7 RC电路零输入响应曲线式(7-3)、(7-4)及式(7-5)中的RC具有时间的量纲，因为所以称其为时间常数，并令=RC(7-6)引入时间常数后，式(7-3)、(7-4)和式(7-5)可表示为图7.8 时间常数对暂态过程的影响例 7.4 如图7.9(a)所示电路，在t=0时刻开关S闭合，S闭合前电路已稳定。试求t0 时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。图 7.9

6、 例 7.4 图解 (1) 作t=0等效电路如图7.9(b)所示。则有(2) 作t0电路如图7.9(c)所示，其等效电路如图7.9(d)所示。则等效电阻故电路的时间常数 根据式(7-3)可得在图7.9(c)所示电路中，可求得7.2.2 RL电路的零输入响应如图7.10(a)所示电路。 图7.10 RL电路的零输入响应在图7.10(b)中，依KVL，可得将电感的伏安关系 (7-7)式(7-7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，与式(7-2)相似，其通解的形式为其中，是电路的时间常数。特征方程为则代入初始条件iL(0+)=Io，可得A=Io，故电路的零输入响应为 (7-8)电阻和电感上的电压分别

7、为 (7-9) (7-10)图7.11 RL电路的零输入响应曲线从以上分析可见，RC电路和RL电路中所有的零输入响应都是由初始值开始以指数规律衰减的，且都可写成相同的形式，即(7-11)例 7.5 如图7.12(a)所示为一测量电路，已知L=0.4 H，R=1，US=12 V，电压表内阻RV=10 k，量程为 50 V。开关S原闭合，电路已处稳态。t=0时，开关S打开，试求： (1) 电流i(t)和电压表两端的电压uV(t)。(2) t=0时(S刚打开)电压表两端的电压。图7.12 例 7.5 图解 (1) t0电路如图7.12(b)所示，为一RL电路。电路的时间常数为电感中电流的初始值为根据

8、式(7-11)，可得电感电流的表达式为电压表两端的电压为(2) 当t=0时该数值远远超过电压表的量程，将损坏电压表。在断开电感电路时，必须先拆除电压表。图7.13 RL电路切断电源时的保护措施7.3 一阶电路的零状态响应零状态响应是指当电路初始状态为零时，由外加激励产生的响应。外加激励可为直流电源(电压或电流)，也可为交流电源。 7.3.1 RC电路的零状态响应如图7.16所示RC串联电路，开关S闭合前uC(0)=0，t=0时，S闭合，US接入电路，US向电容充电。在t=0+瞬间，依换路定律，有uC(0+)=uC(0)=0，则US全部加在R两端(电容相当于短路)，此时i(0+)=US/R为最大

9、。随着时间的推移，电容被充电，uC随之升高，此时i=(USuC)/R将逐渐减小, 直至uC=US，i=0，充电结束，电路进入稳态。图7.16 RC电路的零状态响应根据图7.16中S闭合后的电路，依KVL有将R、C的伏安关系：代入上式后可得(7-12)式(7-12)为常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数学知识知，其解由特解ucp和相应齐次方程的通解uch两部分组成，即uC=ucp+uch 对应于式(7-12)的齐次微分方程即式(7-2)，其通解为非齐次方程式(7-12)的特解为电路达到稳态时的解 ucp=US因此uC的全解为将初始条件uC(0+)=0代入上式，可得A=US则电容电压的零状态响应

10、为 (7-13)式(7-13)为充电过程中电容电压的表达式。它表明uC的变化规律。令=RC，则 (7-14)充电电流i(t)和电阻电压uR(t)为 (7-15)(7-16)uC(t)、uR(t)和i(t)随时间变化的曲线如图7.17(a)、(b)所示。图7.17 RC电路的零状态响应曲线7.3.2 RL电路的零状态响应如图7.18所示RL串联电路，开关S闭合前iL(0)=0，t=0 时，S闭合，US接入电路。 图7.18 RL电路的零状态响应根据图7.18中S闭合后的电路，依KVL，有 (7-17)式(7-17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程，它的解同样由其特解icp和相应的齐次方程的通解

11、ich组成，即iL=icp+ich其中，特解仍是电路达到稳态时的解齐次微分方程的通解与RL串联电路的零输入响应形式相同，即令将iL(0+)=0代入上式可得则电路的零状态响应iL(t)为 (7-18)电感电压uL(t)和电阻电压uR(t)分别为 (7-19)iL(t)、uL(t)和uR(t)随时间变化的波形曲线如图7.19(a)、(b)所示。图7.19 RL电路零状态响应曲线由上述分析可知： RC电路的零状态响应电压uC(t)和RL电路的零状态响应电流iL(t)都是由零状态逐渐上升到新的稳态值，而且都可以写成相同的形式，即 (7-20)式(7-20)中，f()是响应的稳态值。套用此式即可求得RC

12、电路的零状态响应电压uC(t)和RL电路的零状态响应电流iL(t)。例 7.6 图7.20所示电路，t=0时开关S闭合。已知uC(0)=0，求t0时的uC(t)、iC(t)和i(t)。图7.20 例 7.6 图解 因为uC(0)=0，故换路后电路属于零状态响应。因此电容电压可套用式(7-20)求出。又因为电路稳定后，电容相当于开路，所以时间常数根据式(7-20)得则例 7.7 图7.21所示电路，换路前电路已达稳态，在t=0时开关S打开，求t0时的iL(t)和uL(t)。图7.21 例 7.7 图解 因为iL(0)=0，故换路后电路的响应为零状态响应。因此电感电流表达式可套用式(7-20)。又

13、因为电路稳定后，电感相当于短路，所以时间常数根据式(7-20)得则7.4 一阶电路的全响应 以图7.23所示RC电路为例。UC(0+)=Uo，t=0时，S闭合，计算电路的全响应uC(t)。图7.23 RC电路的全响应根据图7.23中S闭合后的电路，依KVL，有 (7-21)对应于式(7-21)的齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的特解为因此，微分方程式(7-21)的全解为代入初始条件uC(0+)=Uo，可得 (7-22)则全响应 (7-23)可以看出，上式右边第一项是受输入激励制约的稳态分量；第二项是随时间增长而衰减的暂态分量，也就是说电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即图7.24给

14、出了UoUS三种不同初始状态下，RC电路的全响应uC(t)的曲线。图7.24 三种情况下uC随时间变化的曲线(a) UoUS还可将式(7-23)写成下列形式 (7-24)可以看出，上式右边第一项是uC的零输入响应，第二项是uC的零状态响应，也就是说，电路的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加。即当US=0时，响应uC(t)由初始状态uC(0+)作用所产生，它就是零输入响应，则当uC(0+)=0时，响应uC(t)由外加激励US所产生，它就是零状态响应，则因此，电路的全响应为上式与式(7-24)完全相同。图7.25给出了UoUS 三种情况下，用零输入响应和零状态响应叠加而得到的uC(t)

15、的全响应曲线，其结果与稳态分量和暂态分量叠加是一样的。图7.25 三种情况下uC随时间变化的曲线(a) UoUS例 7.8 图7.26所示电路，在t=0时开关S打开，已知uC(0+)=5 V。求t0电路的全响应uC(t)。图7.26 例 7.8 图解 作t0电路如图7.26(b)所示。用响应的两种分解方法求全响应uC(t)。方法1 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加。按图7.26(b)所示电路，当IS=0时，uC(0+)=5 V，则电路的零输入响应为故得出按图7.26(b)所示电路，当uC(0+)=0 时，IS=1 A，则电路的零状态响应为电路的全响应电容电压则为方法2 全响应分解为稳态

16、分量和暂态分量的叠加。稳态分量uC()=20 V暂态分量为所以全响应为7.5 一阶电路的三要素法由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和，因此全响应是动态电路响应的一般形式。用f(t)表示全响应，则全响应可由下式求出 (7-25)例 7.9 图7.28(a)所示电路，t=0时S打开，设S打开前电路已处于稳态, 已知US=24 V、R1=8 、R2=4 、L=0.6 H。求t0时的iL(t)和uL(t)并画出其波形。图7.28 例 7.9 图解 (1) 求初始值iL(0+)、uL(0+)。作t=0等效电路如图7.28(b)所示。依图有作t=0+等效电路如图7.28(c)所示。依KVL有(

17、2) 求稳态值iL()、uL()。作t=稳态等效电路如图7.28(d)所示，依图有(3) 求时间常数 。先计算电感断开后端口输入电阻，电路如图7.28(e)所示，依图有则时间常数为根据式(7-25)计算出各响应量为iL(t)、uL(t)的波形如图7.28(f)所示。例 7.10 图7.29(a)所示电路，在t=0时开关S闭合，S闭合前电路已处稳态。求t0 时uC(t)、iC(t)和i(t)。图7.29 例 7.10 图解 (1) 求初始值uC(0+)、iC(0+)、i(0+)。作t=0等效电路如图7.29(b)所示。依图有作t=0+等效电路如图7.29(c)所示。列出网孔电流方程联立求解(=3

18、2，i=40，ic=80)，得(2) 求稳态值uC()、iC()、i()。作t=时等效电路如图7.29(d)所示，依图有(3) 求时间常数。将电容元件断开，电压源短路，如图7.29(e)所示，求得等效电阻时间常数(4) 根据式(7-25)得出电路的响应电压、电流分别为例 7.11 如图7.30(a)所示含受控源电路，开关S闭合前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。求t0时的iL(t)、uL(t)和i(t)。图7.30 例 7.11 图解 (1) 求iL(0)，因此时电路已处于稳态，2 H电感相当于短路线，故iL(0)=1 A。(2) 求初始值iL(0+)、uL(0+)、i(0+)，因iL(0

19、)=1 A，故由换路定律得iL(0+)=iL(0)=1 A 作t=0+等效电路如图7.30(b)所示，电感相当于 1 A的电流源。列节点方程解之，得则(3) 求稳态值iL()、uL()、i()。作t=时等效电路如图7.30(c)所示，依图有(4) 求时间常数。用外加电压法求电感元件两端电路的戴维南等效电阻R，其等效电路如图7.30(d)所示，依图有故则时间常数为(5) 根据式(7-25)计算出各响应量为例 7.12 如图7.31(a)所示电路中，已知US=12 V，R1=3 k，R2=6 k，C=5 F，电容中无储能。t=0时将开关S闭合，经0.02 s后又重新打开，试求t0时的uC(t)及其

20、波形。图7.31 例 7.12 图解 由于开关S闭合后又打开，故电路的过渡过程分为两个阶段。(1) t=0时S闭合后，电容充电，用三要素法求电容电压uC。则(2) 以t=0.02 s为换路时刻，S打开后，电容放电，用三要素法求电容电压uC。则*7.6 二阶电路分析如图7.33所示的RLC串联电路，若电容电压及电感电流的初始值分别为uC(0+)和iL(0+)，开关S在t=0时闭合，则储能元件将通过电路进行放电。这是一个零输入响应电路。下面对电路的响应情况进行分析。依KVL，得uR+uLuC=0图7.33 RLC串联电路的零输入响应按图中标定的电压、电流参考方向有将以上各式代入KVL方程，便可以得

21、出以uC为响应变量的微分方程，为 (7-26)式(7-26)为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为LCp2+RCp+1=0其特征根为 (7-27)式中，由式(7-27)可见，特征根由电路参数R、L、C的数值来确定，反映了电路本身的固有特性。根据电路参数R、L、C数值的不同，特征根p1、p2可能出现如下四种情况。(1) 当时，p1、p2为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为微分方程的通解为 (7-28)式中待定常数A1、A2由初始条件来确定，其方法是当t=0+时刻，则由式(7-28)可得uC(0+)=A1+A2(7-29)对式(7-28)求导，可得 t=0+时刻uC(t)对t的导数的初

22、始值为 (7-30)联立求解式(7-29)和式(7-30) ，便可以解出A1、A2。由式(7-28)可见，零输入响应uC(t)是按指数规律衰减的，为非振荡，其波形如图7.34所示。图7.34 过阻尼时的uC(t)波形(2) 当时，p1、p2为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为微分方程的通解为(7-31)式中常数A1、A2由初始条件uC(0+)和uC(0+) 来确定。根据式(7-31)可知，这种情况的响应也是非振荡。uC(t)随时间变化的波形图如图7.35 所示。图7.35 临界阻尼情况零输入响应uC(t)的波形图 (3) 当时，p1、p2为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。特征根为式中 (7-32)称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为 (7-33)式中常数A和由初始条件确定。由式(7-33)可知，响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性，其振幅Aet随时间按指数规律衰减，衰减的快慢取决于衰减系数的大小，越大则衰减越快。衰减振荡的角频率为d，d越大，则振荡周期T=2/d 就越小。uC(t)的波形图如图7.36所示。图 7.36 欠阻尼情况电路零输入响应uC(t)波形曲线(4) 当R=0时，p1、p2为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为响应的表达式为 (7-34)A和可以直接由初始条件