三角恒等变换解析版

1、考点27 三角恒等变换（1）在考点详解1 1st【命题解读】能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换【基础知识回顾】知识梳理.两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin（ a # Sin a cos B cos a sin B , 简记作 S（士 b）；cos（ a 书 Cosa cos 3 ?sin a sin 3 , 简记作 C（“士 B）;tan a tantan（ 士# 1?tan a tan 3 , 简记作 T（“ 士 b）.二倍角公式sin2 2 = 2sin a cos a;2tan

2、归tan2 i = 1 tan2 a ；cos2 a = cos2 a sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a .辅助角公式aby= asinx + bcosx = Va2 + b2sin（x+ 3 ）其中（）为辅助角，且其中 cos（j）=不年靛，sin j =不2+取,tan b= a.公式的逆用及有关变形tan a tan 3 = tan（ a 6?tan a tan 6 ）;.sin a cos a = V2sin（ 4 4）；1sin c , cos a = 2sin2 a;21 + sin2 a = （sin a + cos a ）;1 - sin2 a =

3、（sin a cos a ）2;1 cos2 a TOC o 1-5 h z sin2 a =2；+ cos2 a HYPERLINK l bookmark103 o Current Document =cos a =2，1 cos2 atan2 a = 1 + cos2 a （降塞公式）；1 cos2 a = 2sin2a ; 1 + cos2 a = 2cos2 a （升哥公式）.在热身训练43jt工1、知 cos a= 5, aC 兀，2 ,则 sin a+ 4 等于（） TOC o 1-5 h z 227.2A. 10B. 10C. - 10【答案】 C【解析】 -& 2,且 cos

4、a= 5， sin 3 5,3 通 4y2谑sin a+ 4 = 5X 2 + -5 X 2 = 10.2、已知 tan a+ 4 =2,则 tan a=() HYPERLINK l bookmark156 o Current Document 114A.3B.-3C.3【答案】A_k 1 + tan a1【解析】tan a+ 4 = 1_tan a = 2, 解得 tan a= 3.1_7tf(x)的最小正周期T=2f(x)是偶函数1c. f(x)的最大值为4D. f(x)的最小正周期丁=兀7,2 D.而4 d.-33、(多选)已知f(x)=2(1 + cos 2x)sin2x(xC R),

5、则下面结论正确的是【答案】ABC1【解析】因为f(x)= 4(1 + cos2x)(1 cos 2x) = 4(1 cos22x) = 4sin22x= 8(1cos 4x), / f(x)= f(x), /. T2兀 工11= 4= 2，f(x)的最大值为8* 2 = 4.故D错.4、(多选)下列式子的运算结果为 43的是()tan 25 平 tan 35 平 V3tan 25 tan 35 2(sin 35 cos-2feos 35 cos 65 )+ tan 15 C.1 tan 15 %tan6D. 卫 tan26【答案】ABC【解析】对于 A,tan 25 + tan 35 +/3t

6、an 25 tan 35tan(25。+ 35 )(Jtan 25 tan 35+)3tan 25 tan 35 v3-T3tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35=乖；对于 B, 2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65= 2(sin 35 cos 25 cos_1 + tan 15 tan 45 举 tan 15 35 sin 25 = 2sin 60 =X3；对于 C, 1 tan 15 =1 tan 45tan 15tan 60 =V3； TOC o 1-5 h z 兀兀tar)612tar)61 兀 3对于 D，%= 2X %= 2 x tan3=

7、2z- HYPERLINK l bookmark161 o Current Document 221 tan 61 tan 6综上，式子的运算结果为 、豆的是A、B、C.?35、【2020江苏南京三校联考】已知 sin(?+ 4) = 5,则sin2?=【解析】: sin（?+?j=I，. . sin2x=- cos（2x+?）=2sin2（x+?）-1=18-1=-鼻,故答案为：-7-.4524252525兀35 兀sin2a+ sin 2 a6、（ 一题两空）已知 0 VoeV 2，且 sin a= 5 ,则 tan a+ 4=, cos2a+ cos 2 a=133【答案】：7 2353

8、 4sin a 3【解析】因为 0v a 2,且 sin a= 5,所以 cos a= 1 sin2 a= 3，所以 tan a= cos a = 4，5_k工 tan a+1则 tan “+ 4 = tan “+ 4 =1 _ tan 7.9 6sin2 a+ sin 2 s sin2 a+ 2sin ocos a tan2a+ 2tan a 16 + 4 33cos2 a+ cos 2 a= 2cos2 a sin2 a =2 tan2 a =_9_= 23.163c典”剖析考向一利用两角和（差）公式运用式出1例 1、已知 0 V 万 a Tt ,且 cos a- 2 = - 9，a. 2

9、sin 2 3 = 3，求 cos（升 3 ）式工/ 工工 于【解析】0V 3V 2 V n， 4 2一 M 2， 4 V a 2V n，aa5cos 2- 3 = ： 1-sin2 2 - 3 = 3 ,J2J 端sin a 2 = 1 cos2 a 2 = 9 ,a+ 3J3 _a- cos 2 = cos a 223 =J3 _aJ3 _acos a 2 cos 2- 3 + sin a 2 sin 2- 3 =15 4 5 2 7 59 X 3 + 9 X 3= 27，cos（时 4a+ 349 X 52392cos2 2 T = 2X 729 1 = 729.变式1、(2020江苏梁

10、阳上学期期中考试)如图，在平面直角坐标系 xoy中，以0X轴为始边做两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A, B的横坐标分别为叵，费，则sin( 105【解析】由三角函数的定义得:cos所以sin()sin coscossin变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】,cos遮,所以sin3 .而,sin2.551053、.记-102.5巨.故答案为10510522已知是f象临角，且sin,tain510102,则tan是第二象PM角，且sin ,可得cos2x55由tan2,tan tan可得1 tan tan2,代入tan可得tan故答案为:4变式 3、在 AB

11、C 中，若 tan Atan B = tan A+tan B + 1,则 cos C =(1)由 tan Atan B = tan A+ tan B + 1,tan A+ tan B可得 1 tan Atan B= 【答案】(1)4 (2)-1，即 tan(A+B) = 1,又因为 A+ B C (0 ,兀)3 it兀J2所以 A+B=4，则 C=4，cos C = 2 .方法总结：考查两角和差的三角函数.公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异 ，再选择适当的三角公式恒等变形.求角问题的关键在于选择恰当的三角函数选择的标准是，在角的范围内根据函数值

12、，角有唯一解.本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想.考向二二倍角公式的运用例 2、(1)已知 cos( x)=5，贝U sin2x=.4一，3 冗冗1.一(2)已知 sin(x )cos(x -) 一，则 cos4x 的值为.444717【答案】:(1) -25 (2) -32JTJTJT【解析】：(1)因为 sin2x= cos 万一2x = cos2 % x = 2cossin 10 sin 10 cos 10【斛析】1 #3tan 10 =cos 10 3sin 10 %x 1,所以 sin2x= 2X5 -1 = 25-1 = -25,(2)由已知得sin x兀 1cos x_ 4

13、 = 一 4,至 1cos2 x-4 =4.1 sin2x= cos 2 2x = 2cos2 4 x 1 = 2.1 1 cos4x= 1 2sin22x= 1-2=2-变式 1、(1)1_*tan 10 =.1sin235 - 2(2)化简 cos 10 cos 802sin 10 cos 10 sin 20 1短10枭10 =411 cos 70 11sin235。 22 2 2cos 70 (2)cos 10 cos 80 c Os 10 sin 1R 1 =一1.2sin 20 工jt1_n：%变式 2、已知 cos 6+a cos 3-a = - 4，a 3，2.(1)求sin 2

14、 a的值；1 (2)求tan a而7的值.【解析】(1)cos 6+ a cos 3 a = cos g+ s sin 6 + a = 2sin 2a+ 3 = 4,51即 sin 2 a+ 3 = - 2.3, 2 ,2 叶 A . 4f ,多33.cos 2 a+ 3 = - 2 ，_5 jtsin 2 a= sin 2a+ 3 3jt jt工 工=sin 2 a+ 3 cos3 cos 2 a+ 3 sin31133 1=-2*2 2 X 2 =2.(2) : 氐 3，2 , 1 2 a 万，兀，13又由(1)知 sin 2 a= 2， cos 2a= 2 .1 sin a cos a

15、tan tan a= cos 厂 sin a3 sin2 a cos2 a 2cos 2 n 2 = sin acos a = sin 2a =-2X 1 =2*.2方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用.三角函数式的化简要注意以下3点：看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” “遇到根式一般要升哥”等.本题 考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想.考向三公式的综合运用_0 J（1 + sin 0+ cos 0） sin co.例=22、2 2 cos 5

16、 2 sin 5 4cos 50 _=，5cos 50 = 2m.、化简：及2+2COS。（0长兀）0兀0【解析】：由。（0,兀）得020., / j J因此2 + 2cos 9= V 4cos22= 2cos2.J _0_0_00 J _0又（1 + sin 0+ cos 0） sin2 cos，= 2sin2cos2 + 2cos22 sin2 cos2_0=2cos2 sin22 cos22 = 2cos2cos 0._02cos2cos0故原式=0= cos 0.2cos244兀变式1、设a是锐角，且cos（计6）= 5,则sin（2时12）的值为.17 2【答案】50【解析】 : ”

17、是锐角，1- 6 a+ 6 V 3，; cos（时 6 ）= 5，sin（时 6 ） = 5$in2（时 6 ）=2sin（计 6 ）cos（计 6 ） = 25, cos2（计 6）=1 2sin2（计 6 ） = 25, sin（2 a+ 12）= 汽汽汽汽sin 2 （ a+ 6）-4 =sin2（计 6 ）cos 4 一2 工 24 血工退 17亚cos2（时 6 ）sin 4 =25x 2 -25x 2 = 50 .2cos 10 : 2v3cos 100变式2、计算1 ；访10 0=.【答案】2 22cos 10 二 2，3cos 100 2cos 10 4 2捷sin 10 【解

18、析】；1 sin 10 =$ sin 10 4 2cos 10 + sin 10 4cos 50 =，12sin 5 cos 5 = cos 5 : sin 5 4cos 50 兀变式3、已知sin a+ 4二=10，求：（1）cos a的值;(2)sin 2 a 4 的值.【解析】（1）由sin兀a+ 42=10，71712得 sin ocos+ cos osin= 10,1化简得sin a+ cos a= 5,又 sin2cos2 a= 1 ,且工2，兀3由解得cos a= 5.兀324-5 =25,(2) : 氏 2，兀，cos a=cos 2 a= 1 2sin2 a= 25, sin

19、 2 a= 2sin acos a= 2 x 5 x_K_K_k 2sin 2 a 4 = sin 2 acos4 cos 2sin4= 224717 2X 25 + 25 = 50 .方法总结：（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则:看角，二看名，三看式子结构与特征（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点.学优化提升*实战演练1、（ 2020全国I理9）已知0,冗，且 3cos28cos 5 ,贝U sinB.C.cos3cos28cos5,得 6cos28cos0，即 3cos24cos 4 0，解得2一或 cos

20、 32 （舍去），又；0,sin1 cos22、（ 2020 全国 n 理 2）若为第四象限角，则A cos 20cos2C.sin 2D sin 20【解析】当cos 2cosB错误；当一时，cos2 3cos选项A错误；由在第四象限可得:sin0,cos2sincos选项C错误，选D正确，故选D.3、（2020全国出文5)已知sinsinA.B 3B.3从而有:由题意可得:sin1 . sin2则sin2。3D.sin cos cos6sin 64、（ 2020全国出理9）已知2 tanA.2B.理得t2.2tantan4t 4 0 ,解得t5、（2019?新课标 n ,理 10）B.3c

21、os2 31 ,则:-sin23cos21sin21一 cos2tan7,C. 12tan已知（0,-）【解析】T2sin2 cos 21 , 4sin cos理.故选B.3则tantan1 tan2 .故选D.D. 2,t1,7,2sin 2 cos 2cT32cos2则sinD.2.552sin.22. 22_ . 2sincos sin (2sin ) 5sin 1 , sin6、【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知0,sin(1)求 sin的值;(2)求tan+ 的值.所以sin(1)(1)1(2)35x22因为2 cos0,-，故所以cos()1sin 2(所以sinsin()sin(714.22 293933)(2)1)得，sin所以cos,1 sin213所以tansi